第8讲 字母表示数、代数式、整式 目标导航 1.知道字母能表示什么;能解字母写出简单问题中的数量关系;能用字母和代数式表示以前学过的运算律和计 算公式。 2.了解代数式的概念,用代数式表示简单的数量关系,培养学生的符号感,掌握代数式有关的书写格式.在运算 过程中能合理使用运算律，简化运算。 3.知识目标:理解掌握单项式、多项式及其次数、系数、整式等概念，弄清它们之间的区别和联系。 知识精讲 知识点 01 字母表示数 【知识拓展 1】一个两位数为 x ，三位数为 y ，将 x 放在 y 的左边得到一个五位数，用含 x ．y 代数式表 示这个五位数． 【难度】★★ 【答案】1000x  y ． 【解析】解：x 移向 y 的左边，因为 y 是三位数，所以 x 扩大了 1000 倍，所以是 1000x，而 y 没有改变还是原来的三位数，所以这个五位数是：1000x  y ． 【总结】本题考查代数式的表示． 【即学即练 1】一个三位数 M，一个四位数 N，用 M、N 的代数式表示： （1）把 M 放在 N 左边所组成的七位数； （2）把 M 放在 N 右边所组成的七位数． 参考答案： （1）1000M+N ；（2） 100 N+M 【知识拓展 1】某公司在 11 月 11 日这一天，上午卖出某品牌手机 75 部，下午又卖出 100 部，已知每部手 机的售价为 a 元，每部手机的成本为 b 元. （1）求这一天该公司卖出该品牌手机的总销售额. （2）求这一天该公司卖出该品牌手机所得的利润. （3）当 a=6800,b=2700 时，总销售额和利润分别是多少？ 【答案】（1）175a 元;（2） （175a-175b）元;（3）1190000 元；717500 元 【详解】 （1）根据题意，得 a   75  100   175a 答：这一天该公司卖出该品牌手机的总销售额是 175a 元； 更多全科提分笔记请咨询老师微信：ｙｌｓ０９２３１０ （2）根据题意，得 这一天卖出手机的成本是： b   75  100   175b 元， 由（1）中所得， 所得利润为 175a  175b  元， 答：这一天该公司卖出该品牌手机所得的利润是 175a  175b  元； （3）当 a=6800,b=2700 时， 总销售额是 175a = 6800 175  1190000 元 利润是 175a  175b   a  b  175   6800  2700  175  4100 175  717500 元. 知识点 02 代数式 用运算符号和括号把数或表示数的字母连接而成的式子叫做代数式.(单独的一个数或者一个字母也是代数 式) 书写代数式时要注意问题： （1）弄清运算顺序和括号的使用。一般按“先读先写”的原则列代数式。 （2）数字与字母相乘时数字写在前面，乘号省略不写，字母与字母相乘时乘号省略不写。 （3）在代数式中出现除法时，用分数线表示。 用数值代替代数式里的字母，按照代数式中的运算关系计算得出的结果叫做代数式的值. 【知识拓展 1】下列用字母表示数的写法中哪些不规范，请改正过来． (1)3x＋1；(2)m×n－3；(3)2·y；(4)a·m＋b×n 元；(5)a÷(b＋c)；(6)a－1÷b． 【答案】见解析 【详解】 解：(1)3x＋1 书写规范； (2)m×n－3 应该是 mn－3； (3)2·y 应该是 2y； (4)a·m＋b×n 元应该是(am＋bn)元； (5)a÷(b＋c)应该是 a ； bc (6)a－1÷b 应该是 a－ 1 ． b 【知识拓展 2】已知：当 x  1 时，代数式 px  qx  1 的值为 2014；求当 x  1 时，代数式 px  qx  1 的 3 值． 更多全科提分笔记请咨询老师微信：ｙｌｓ０９２３１０ 3 解：把 x  1 带入 px  qx  1 得： p  1  q  1  1  2014 ，所以 p  q  2013 3 3 当 x  1 时， px  qx  1  p (1)  q (1)  1   ( p  q )  1  2012  1  2011 3 3 2a  b 2(2a  b) 3( a  b) 的值．  5 ，求代数式  ab ab 2a  b 2a  b ab 1 解：  5 ，  ab 2a  b 5 2(2a  b) 3(a  b) 1 3 53    2  5  3   10   ab 2a  b 5 5 5 【知识拓展 3】如图，自行车每节链条的长度为 2.5cm ，交叉重叠部分的圆的直径为 0.8cm ． 【即学即练 1】已知 （1） 4 节链条拉直后长度为 cm； （2） n 节链条拉直后长度为 cm； （3）如果一辆自行车的链条由 50 节这样的链条首尾环形相连组成，那么该自行车链条环的长度是多少？ 【答案】（1） 7.6 ；（2） 1.7n  0.8 ；（3）85cm 【详解】解：（1）根据图形可得出： 2 节链条的长度为：2.5×2-0.8cm， 3 节链条的长度为：2.5×3-0.8×2cm， 4 节链条的长度为：2.5×4-0.8×3=7.6cm． 故答案为： 7.6 ； （2）由（1）可得 n 节链条长为：2.5n-0.8（n-1）=（1.7n+0.8）cm． 故答案为： 1.7n  0.8 ； （3）因为自行车上的链条为环形，首尾环形相连，展直的长度减 1 个 0.8 ，故这辆自行车链条的总长为 1.7  50  0.8  0.8  85cm ． 【即学即练 2】公园内有一半径为 R 的圆形花坛，里面不重叠地摆放 9 个半径为 r 的小圆形花盆，其余地方 铺上草坪． （1）请用关于 R，r 的多项式表示草坪的面积（阴影部分），并将结果分解因式． 更多全科提分笔记请咨询老师微信：ｙｌｓ０９２３１０ （2）当 R  8.5 米， r  0.5 米，求草坪的面积（结果保留  ） 【答案】（1）   R  3r  R  3r  ；（2） 70 平方米． 【详解】解：（1）由题意可得： 草坪的面积为：  R 2  9 r 2 =   R  3r  R  3r  ； （2）将 R  8.5 米， r  0.5 代入， 原式=   8.5  1.5  8.5  1.5  = 70 平方米， ∴草坪的面积为 70 平方米． 知识点 03 整式 1.整式：单项式和多项式统称为整式。 ①单项式：都是数字和字母乘积的形式的代数式叫做单项式。单项式中，所有字母的指数之和叫做这个单 项式的次数；数字因数叫做这个单项式的系数。 注意：1.单独的一个数或一个字母也是单项式；2.单独一个非零数的次数是 0；3.当单项式的系数为 1 或-1 时，这个“1”应省略不写，如-ab 的系数是-1，a3b 的系数是 1。 ②多项式：几个单项式的和叫做多项式。多项式中，每个单项式叫做多项式的项；次数最高的项的次数叫 做多项式的次数。 【知识拓展 1】单项式的有关概念 2 2 （1）下列各式 a b , A．4 个 1 ab 2 x  1, 25, , a  2ab  b 2 中单项式的个数有（ 3 2 B．3 个 C．2 个 ） D．1 个 【答案】C 【详解】解： a 2b 2 ，是数与字母的积，故是单项式； 1 ab 2 x  1, , a  2ab  b 2 是单项式的和，故是多项式； 3 2 -25 是单独的一个数，故是单项式． 故共有 2 个． 故选：C． （2）下列说法正确的是（ A． 3 xy 的系数是 3 C．  2 2 2 xy 的系数是  3 3 ） B． 3 xy 的次数是 3 D．  2 2 xy 的次数是 2 3 【答案】C 【详解】A. 3 xy 的系数是 3 ，  是数字，不符合题意， 更多全科提分笔记请咨询老师微信：ｙｌｓ０９２３１０ B. 3 xy 的次数是 2，x,y 指数都为 1,不符合题意 C.  2 2 2 xy 的系数是  ，符合题意 3 3 D.  2 2 xy 的次数是 3，不符合题意 3 故选 C （3）请你写出一个含有字母 x 、 y ，且系数为 3 ，次数是 4 的单项式________． 【答案】答案不唯一，如 3x 2 y 2 等 【知识拓展 2】多项式的有关概念 （1）多项式 3 x 2 y  xy 3  y 3  3 的次数是________． 【答案】4 【详解】解：多项式 3x2y-xy3+y3-3 的次数是 4， 故答案为：4． （2）多项式 5 xy 2  x  1 是____次____项式． 【答案】三 三 【详解】解：多项式 5xy2+x-1 是三次三项式， 故答案为：三，三． 能力拓展 【能力拓展 1】若 x、y 分别表示 1﹣9 中一个数字，小明想用 x、y 来组成一个两位数且把 x 放在 y 的右边， 则这个两位数可以表示为_____． 【答案】10y+x 【详解】 解：由题意可知，这个两位数可以表示为 10y+x． 故答案为 10y+x． 【能力拓展 2】一个没有关紧的水龙头一天滴水约 0.09 m3，n 个这样的水龙头一天滴水约____m3． 【答案】0.09n 【详解】一个没有关紧的水龙头一天滴水约 0.09 m3，n 个这样的水龙头一天滴水约 0.09n m3， 故答案为：0.09n． 【能力拓展 3】同样大小的黑色棋子按如图所示的规律摆放： 更多全科提分笔记请咨询老师微信：ｙｌｓ０９２３１０ 则前 100 个图形共有___________颗黑色棋子． 【答案】15450 【详解】解：第 1 个图需棋子 6 个，即 3  1  3 ， 第 2 个图需棋子 9 个，即 3  2  3 ， 第 3 个图需棋子 12 个，即 3  3  3 ， 第 4 个图需棋子 15 个，即 3  4  3 ， 第 5 个图需棋子 18 个，即 3  5  3 ，   第 n 个图需棋子 (3n  3) 个，  第 100 个图需棋子 3  100  3  303 (个)，  6  9  12    303  (6  303)  50  15450  前 100 个图形共有 15450 颗黑色棋子， 故答案为： 15450