第7讲 有理数章节复习 目标导航 1．理解正负数的意义，掌握有理数的概念. 2．理解并会用有理数的加、减、乘、除和乘方五种运算法则进行有理数的混合运算. 3．学会借助数轴来理解绝对值、有理数比较大小等相关知识. 4. 理解科学记数法及近似数的相关概念并能灵活应用； 5. 体会数学知识中体现的一些数学思想. 知识精讲 知识点 01 有理数的相关概念 1．有理数的分类： （1）按定义分类： （2）按性质分类： 要点诠释：（1）用正数、负数表示相反意义的量； （2）有理数“0”的作用： 作用 举例 表示数的性质 表示没有 表示某种状态 表示正数与负数的界点 0 是自然数、是有理数 3 个苹果用+3 表示，没有苹果用 0 表示 00 C 表示冰点 0 非正非负，是一个中性数 2．数轴：规定了原点、正方向和单位长度的直线． 要点诠释：（1）一切有理数都可以用数轴上的点表示出来，数轴上的点不都表示的是有理数，如  ． （2）在数轴上，右边的点所对应的数总比左边的点所对应的数大． 3．相反数：只有符号不同的两个数互称为相反数，0 的相反数是 0． 要点诠释：（1）一对相反数在数轴上对应的点位于原点两侧，并且到原点的距离相等，这两点是关于原 点对称的． 更多全科提分笔记请咨询老师微信：ｙｌｓ０９２３１０ （2）求任意一个数的相反数，只要在这个数的前面添上“  ”号即可． （3）多重符号的化简：数字前面“  ”号的个数若有偶数个时，化简结果为正，若有奇数个时，化简结果 为负． 4．绝对值： （1)代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0 的绝对值是 0． 数 a 的 绝对值记作 a ． （2)几何意义：一个数 a 的绝对值就是数轴上表示数 a 的点与原点的距离． 【知识拓展 1】已知 x 与 y 互为相反数，m 与 n 互为倒数，|x+y |+（a-1）2＝0，求 a2-(x+y+mn)a+(x+y)2009+(-mn)2010 的值． 【思路点拨】(1)若有理数 x 与 y 互为相反数，则 x+y＝0，反过来也成立． (2)若有理数 m 与 n 互为倒数，则 mn＝1，反过来也成立． 【答案与解析】 解：因为 x 与 y 互为相反数，m 与 n 互为倒数，（a-1）2≥0， 所以 x+y＝0，mn＝1，a＝1， 所以 a2-(x+y+mn)a+(x+y)2009+(-mn)2010 ＝a2-(0+1)a+02009+(-1)2010 ＝a2-a+1． ∵a＝1，∴原式＝12-1+1＝1 【总结升华】要全面正确地理解倒数，绝对值，相反数等概念. 【即学即练 1】选择题 （1）已知四种说法： ①|a|=a 时，a>0；|a|=-a 时， a<0. ③|a|就是数轴上 a 到原点的距离. 其中说法正确的个数是（ A．1 B．2 C．3 ②|a|就是 a 与-a 中较大的数. ④对于任意有理数，-|a|≤a≤|a|. ） D．4 （2）有四个说法： ①有最小的有理数 ②有绝对值最小的有理数 ③有最小的正有理数 ④没有最大的负有理数 上述说法正确的是（ ） 更多全科提分笔记请咨询老师微信：ｙｌｓ０９２３１０ A．①② B．③④ C．②④ （3）已知(-ab)3>0，则（ A．ab<0 D．①② ） B．ab>0 C．a>0 且 b<0 D．a<0 且 b<0 （4）若|x-1|+|y+3|+|z-5|=0，则(x+1)(y-3)(z+5)的值是（ A．120 B．-15 C．0 D．-120 （5）下列各对算式中，结果相等的是（ A．-a6 与(-a)6 B．-a3 与|-a|3 ） ） C．[(-a)2]3 与(-a3)2 D．(ab)3 与 ab3 【答案】（1）C；（2）C； （3）A；（4）D；(5)C 【即学即练 2】中国的陆地面积约为 9 600 000km2，把 9 600 000 用科学记数法表示为 ． 【答案】9.6×106． 【知识拓展 2】 在下列两数之间填上适当的不等号：  99 100 ________  ． 100 101 【思路点拨】在 a、b 均为正数的条件下，根据“ a a a  1 ，  1 ，  1 分别得到 a＞b，a＝b，a＜b”来比 b b b 较两数的大小． 【答案】 ＞ 99 100 ） （ 100 101 99 100 99 101  100 100 1 =     0， 100 101 101 100 10100 99 100 ∴ ．  100 101 99 100 99 101 9999 99 100 法二：作商法：由于 ．      1 ，所以  100 101 100 100 10000 100 101 99 100 再根据两个负数，绝对值大的反而小，得到：  ．  100 101 【解析】法一：作差法：  【总结升华】比较大小常用的有五种方法，要根据数的特征选择使用． 【即学即练 1】在下列两数之间填上适当的不等号．  111 1111 _________  ． 1111 11111 【答案】＞ （提示：倒数法较简便） 知识点 02 有理数的运算 1 ．法则： （1）加法法则：①同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加．②绝对值不相等的异号两数相加取 更多全科提分笔记请咨询老师微信：ｙｌｓ０９２３１０ 绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值．③一个数同 0 相加，仍得这个数． （2）减法法则：减去一个数，等于加这个数的相反数．即 a-b=a+(-b) ． （3）乘法法则：①两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘．②任何数同 0 相乘，都得 0． （4）除法法则：除以一个不等于 0 的数，等于乘这个数的倒数．即 a÷b=a· 1 (b≠0) ． b （5）乘方运算的符号法则：①负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；②正数的任何次幂都是正数， 0 的任何非零次幂都是 0． (6)有理数的混合运算顺序：①先乘方，再乘除，最后加减；②同级运算，从左到右进行； ③如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行． 要点诠释：“奇负偶正”口诀的应用： （1）多重负号的化简，这里奇偶指的是“－”号的个数，例如：－[－（－3）]=－3，－[+（－3）]=3． （2）有理数乘法，当多个非零因数相乘时，这里奇偶指的是负因数的个数，正负指结果中积的符号，例如： （－3）×（－2）×（－6）=－36，而（－3）×（－2）×6=36． （3）有理数乘方，这里奇偶指的是指数，当底数为负数时，指数为奇数，则幂为负；指数为偶数，则幂为 2 3 正，例如： ( 3)  9 ， ( 3)  27 ． 2．运算律： （1）交换律: ① 加法交换律:a+b=b+a； ②乘法交换律:ab=ba； （2）结合律: ①加法结合律： (a+b)+c=a+(b+c)； ②乘法结合律：（ab）c=a(bc) （3）分配律：a(b+c)=ab+ac 2  3    1  3  1  2  1 4 【知识拓展 1】．(1)  4    3    6    2  (2) (  5 15 3 )   (1.5)  ( ) 12 4 4 2 3 1 (3)  2   4      12  15  2 4  2 5  1  3  3  4 (4) 1  1  7 7   7  5  1        2.5      8 12   8  6  3  1  12    2   2  2 1  1  3  2 53   1 100 (5) 【答案与解析】 解：（1）原式  4 2 1 1 1 11 3 6 2  2 3 3 2 4 12 更多全科提分笔记请咨询老师微信：ｙｌｓ０９２３１０ 5 4 3 4 2     12 15 2 3 9 1 3 （3）原式  32  (4)   12  (15  16)  10 4 1 2 5 6 1 （4）原式  [1  (2)  1  ]    ( )  2 3 3 2 5 3 （2）原式   1 125  1  12  ( ) （5） 原式  4  3.9 1  1  9  2 【总结升华】有理数的混合运算有很多技巧，如：正、负数分别相加；分数中，同分母或分母有倍数关 系的分数结合相加；除法转化为乘法、正向应用乘法分配律：a(b+c)＝ab+ac；逆向应用分配律：ab+ac ＝a(b+c)等. 【即学即练 1】 5 2 11 7 8 3 2   0.25]  199   [(  ) 2  2] 7 14 8 9 2 3 1 2 5 5 1 1 3 5 （2） ( 1 )  (  )  (  )  ( 2 )  (  )  2 9 9 2 2 9 （1） [(  )  1 【答案】 5 2 11 7 8 3 2   0.25]  199   [(  ) 2  2] 7 14 8 9 2 3 25 14 7 1 8 3 4  (    )  199   (  2) 49 25 8 4 9 2 9 1 1 8 3 4 3  (  )  199  (    2) 4 4 9 2 9 2 2  0  (  3) 3 2  0 3 3 1 2 3 1 2 5 5 1 1 3 5 （2） ( 1 )  (  )  (  )  ( 2 )  (  )  2 9 9 2 2 9 9 5 5 5 1 5   ( )  ( )  ( )  ( )  4 9 9 2 8 9 解：（1） [(  )  1 5 9 5 1  ( )  (   ) 9 4 2 8 17  2 24 更多全科提分笔记请咨询老师微信：ｙｌｓ０９２３１０ 【知识拓展 2】．先观察下列各式： 1 1 1 1 11 1  1   ；    ； 1 4 3  4  4  7 3  4 7  1 11 1  1 11 1     