第 11 讲 线段、射线、直线及比较线段的长短 目标导航 1．理解直线、射线、线段的概念，掌握它们的区别和联系； 2. 利用直线、线段的性质解决相关实际问题； 3．利用线段的和差倍分解决相关计算问题． [来源:学,科,网] 知识精讲 知识点 一、直线 1．概念：直线是最简单、最基本的几何图形之一，是一个不作定义的原始概念，直线常用“一根拉得紧的 细线”、“一张纸的折痕”等实际事物进行形象描述． 2. 表示方法：（1）可以用直线上的表示两个点的大写英文字母表示，如图 1 所示，可表示为直线 AB(或直 线 BA)． （2）也可以用一个小写英文字母表示，如图 2 所示，可以表示为直线 l ． 3.基本性质：经过两点有一条直线，并且只有一条直线．简单说成 ：两点确定一条直线． 要点诠释： 直线的特征：（1）直线没有长短，向两方无限延伸． （2）直线没有粗细． [来源:Z#xx#k.Com] （3）两点确定一条直线 ． （4）两条直线相交有唯一一个交点． 4.点与直线的位置关系： （1）点在直线上，如图 3 所示，点 A 在直线 m 上，也可以说：直线 m 经过点 A． （2）点在直线外，如图 4，点 B 在直线 n 外，也可以说：直线 n 不经过点 B． 二、线段 1.概念：直线上两点和它们之间的部分叫做线段． 2.表示方法： （1）线段可用表示它两个端点的两个大写英文字母来表示，如图所示，记作：线段 AB 或线段 BA． （2）线段也可用一个小写 英文字母来表示，如图 5 所示，记作：线段 a． 3. “作一条线段等于已知线段”的两种方法： 法一：用圆规作一条线段等于已知线段．例如：下图所示，用圆规在射线 AC 上截取 AB＝a． 法二：用刻度尺作一条线段等于已知线段．例如：可以先量出线段 a 的长度，再画一条等于这个长度的线 段． 4.基本性质：两点的所有连线中，线段最短．简记为：两点之间，线段最短． 如图 6 所示，在 A，B 两点所连的线中 ，线段 AB 的长度是最短的． 图6 要点诠释： （1）线段是直的，它有两个端点，它的长度是有限的，可以度量，可以比较长短． （2）连接两点 间的线段的长度，叫做这两点的距离． （3）线段的比较： ①度量法：用刻度尺量出两条线段的长度，再比较长短． ②叠合法：利用直尺和圆规把线段放在同一条直线上，使其中一个端点重合，另一个端点位于重合端 点同侧，根据另一端点与重合端点的远近来比较长短． 5.线段的中点：把一条线段分成两条相等线段的点，叫做线段的中点．如图 7 所示，点 C 是线段 AB 的中点， 则 AC  CB  1 AB ，或 AB＝2AC＝2BC． 2 图7 要点诠释： 若点 C 是线段 AB 的中点，则点 C 一定在线段 AB 上． 三、射线 1.概念：直线上一点和它一侧的部分叫射线，这个点叫射线的端点． 如图 8 所示，直线 l 上点 O 和它一旁的部分是一条射线，点 O 是端点． l 图8 2.特征：是直的，有一个端点，不可以度量，不可以比较长短，无限长． 3.表示方法： （1）可以用 两个大写英文字母表示，其中一个是射线的端点，另一个是射线上除端点外的任意 一点，端点写在前面，如图 8 所示，可记为射线 OA． （2）也可以用一个小写英文字母表示，如图 8 所示，射线 OA 可记为射线 l． 要点诠释： (1)端点相同，而延伸方向不同，表示不同的射线．如图 9 中射线 OA，射线 OB 是不同的射线． 图9 (2)端点相同且延伸方向也相同的射线，表示同一条射线．如图 10 中射线 OA、射线 OB、射线 OC 都表示同 一条射线． 图 10 四、直线、射线、线段的区别与联系 1.直线、射线、线段之间的联系 （1）射线和线段都是直线上的一部分，即整体与部分的关系．在直线上任取一点，则可将直线分成两条射 线；在直线上取两点，则可将直线分为一条线段和四条射线． （2）将射线反向延伸就可得到直线；将线段一方延伸就得到射线；将线段向两方延伸就得到直线． 2．三者的区别如下表 要点诠释： （1） 联系与区别可表示如下： （2）在表示直线、射线与线段时，勿忘在字母的前面写上“直线”“射线”“线段”字样． 【知识拓展 1】相关概念 1、下列说法中，正确的是( ) [来源:Z&xx&k.Com] A．射线 OA 与射线 AO 是同一条射线 B．线段 AB 与线段 BA 是 同一条线段 C．过一点只能画一条直线 D．三条直线两两相交，必有三个交点 2、如图所示，指出图中的直线、射线和线段． 【知识拓展 2】有关作图 1、如图所示，线段 a，b，且 a＞b． 用圆规和直尺画线段：(1)a+b；(2)a－b． 2、如图(1)所示，已知线段 a，b(a＞b)，画一条线段，使它等于 2a－2b． 【知识拓展 3】有关条数及长度的计算 1、如图，A、B、C、D 为平面内任意三点都不在同一条直线上的四点，那么过其中两点，可画出 条 直线. 2、如图所示，AB＝40，点 C 为 AB 的中点，点 D 为 CB 上的一点，点 E 是 BD 的中点， 且 EB＝5，求 CD 的长． 3、已知线段 AB＝14cm，在直线 AB 上有一点 C，且 BC＝4cm，M 是线段 AC 的中点，求线段 AM 的长． 【知识拓展 4】最短问题 1、如图所示，在一条笔直公路 a 的两侧，分别有 A、B 两个村庄，现要在公路 a 上建一个汽 车站 C，使汽 车站到 A、B 两村的距离之和最小，问汽车站 C 的位置应如何确定? 能力拓展 知识点一 线段、直线、射线的联系与区别 1．直线、射线、线段的性质 名称 直线 射线 线段 基本 图形 表示 方法 直线 AB（ BA ） （字母无序） 射线 OB （字母有序） 直线 l 射线 l 端点 个数 图形 性质 0 向两旁无限延伸； 不可延长； 不可度量． 1 只向一旁无限延伸； 可反向延长； 不可度量． 线段 AB （ AB ）（字母无 序）线段 l 2 不能延伸； 可向两旁任意延长； 可度量． 2．直线的性质 直线的基本事实：经过两点有且只有一条直线，可简述为“两点确定一条直线”. 直线的其他性质： ①直线没有端点，是向两方无限延伸的，直线不能测量； ②直线上有无穷多个点； ③过一点可以画无数条直线； ④两直线相交只有一个交点. 1.（2019 秋•嘉祥县期末）如图，下列不正确的几何语句是 ( ) A．直线 AB 与直线 BA 是同一条直线 B．射线 OA 与射线 OB 是同一条射线 C．射线 OA 与射线 AB 是同一条射线 D．线段 AB 与线段 BA 是同一条线段 2.（2019 秋•北海期末）对于直线 AB ，线段 CD ，射线 EF ，在下列各图中能相交的是 ( A． B． C． D． ) 3.（2018 秋•福田区校级期末）直线 a 上有 5 个不同的点 A 、 B 、 C 、 D 、 E ，则该直线上共有 ( )条 线段． A．8 知识点二 B．9 C．12 D．10 线段中点及计算 1．线段的性质 线段公理：两点之间的所有连线中，线段最短.简述为：两点之间，线段最短. 两点之间线段的长度，叫作这两点之间的距离. 2．线段的中点及等分点 线 段 的 中 点 的 概 念 ： 把 一 条 线 段 分 成 相 等 的 两 条 线 段 的 点 ， 如 图 所 示 ， M 是 线 段 AB 的 中 点 ， 则 AM  BM  1 AB ，另外线段还有三等分点、四等分点等． 2 AM  MB  1 AB 2 AM  MN  NB  1 AB 3 AM  MN  NP  PB  1 AB 4 3．双中点模型 （1）如图，点 C 是线段 AB 上一点，点 M 是 AC 中点，点 N 是 BC 中点，结论： AB  2MN ． （2）如图，点 C 是线段 AB 延长线上一点，点 M 是 AC 中点，点 N 是 BC 中点，结论： AB  2MN ． 4．分类讨论 如：点 C 在直线 AB 上，则分成如下三种情况： ①点 C 在线段 BA 的延长线上时， AB  BC  AC ； ②点 C 在线段 AB 上时， AB  AC +BC ； ③点 C 在线段 AB 的延长线上时， AB  AC  BC ． 1.（2019 秋•沈河区期末）下列说法：①经过一点有无数条直线；②两点之间线段最短；③经过两点，有且 只有一条直线；④若线段 AM 等于线段 BM ，则点 M 是线段 AB 的中点；⑤连接两点的线段叫做这两点之 间的距离．其中正确的个数为 ( A．1 个 ) B．2 个 C．3 个 D．4 个 2.（2019 秋•龙岗区期末）如图，已知线段 AB ，按下列要求自己完成画图并计算，延长线段 AB 到点 C ， 使 BC  2 AB ，取 AC 中点 D ；如果 AB  6 ，则线段 BD 的长度为 ． 3.（2019 秋•唐县期末）两根木条，一根长 20cm ，另一根长 24cm ，将它们一端重合且放在同一条直线上， 此时两根木条的中点之间的距离为 ( A． 2cm B． 4cm ) C． 2cm 或 22cm D． 4cm 或 44cm 4.（2019 秋•郓城县期末）如图，P 是线段 AB 上一点， AB  12cm ，C 、D 两点分别从 P 、B 出发以 1cm / s 、 2cm / s 的速度沿直线 AB 向左运动 (C 在线段 AP 上， D 在线段 BP 上），运动的时间为 ts ． （1）当 t  1 时， PD  2 AC ，请求出 AP 的长； （2）当 t  2 时， PD  2 AC ，请求出 AP 的长； （3）若 C 、 D 运动到任一时刻时，总有 PD  2 AC ，请求出 AP 的长； （4）在（3）的条件下， Q 是直线 AB 上一点，且 AQ  BQ  PQ ，求 PQ 的长． 分层提分 题组 A 基础过关练 一、单选题 1．（2019·山东宁阳·七年级期中）点 C 在线段 AB 上，下列条件中不能确定点 C 是线段 AB 中点的是（ A． AC  BC B． AC  BC  AB C． AB  2 AC D． BC  ） 1 AB 2 2． （2021·浙江衢州·七年级期末）杭衢高铁线上，要保证衢州、金华、义乌、诸暨、杭州每两个城市之间都 有高铁可乘，需要印制不同的火车票（ A．20 种 B．15 种 ） C．10 种 D．5 种 3． （2021·山东博兴·七年级期末）为了让一队学