第 12 讲 角、角的比较及 多 边 形 和 圆 的 初 步 认 识 目标导航 在这一部分对知识点的认知最为重要，在学习过程中要注意结合小学的几何知识，使学生熟练的认识 各种线，为几何的学习打下牢固的基础. 本讲的知识是我们初中几何知识的基石，其中最为重要的是对各种线的认知，通过本讲会对几何有一 个初步的认识. 知识精讲 知识点 1 角的定义 角：由两条具有公共端点的射线组成，两条射线公共端点是这个角的顶点. 射线绕它的端点旋转，当终边和始边成一条直线时，所成的角叫做平角.终边继续旋转，当它又和始边 重合时，所成的角叫做周角.1 平角=180°，1 周角=360°. 单位转换： 1 度=60 分，符号表示：1°=60′. 1 分=60 秒，符号表示：1′=60″ 2 角的大小比较 重叠比较法：由线段的重叠比较法知，将要比较的两条线段一端重合，再看另一端的位置 度量法：因为角可以用量角器来量出度数，度数大的角大于度数小的角，通过角的度数来比较角的大 小. 角平分线定义：一条射线把一个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线. 3 多边形和圆的初步认识 多边形：三角形、四边形、五边形、六边形等都是多边形.连接多边形不相邻的两个顶点之间的线段叫 做多边形的对角线. 圆：如下图，平面上，一条线段绕着它固定的一个端点旋转一周，另一个端点形成的图形叫做圆.固定 的端点 O 称为圆心.线段 OA 称为半径.圆上任意两点 A，B 间的部分叫做圆弧，简称弧，记作 ，读作“圆 弧 AB”或“弧 AB”.由一条弧 AB 和经过这条弧的端点的两条半径 OA、OB 所组成的图形叫做扇形；顶点在 圆心的角叫做圆心角. 更多全科提分笔记请咨询老师微信：ｙｌｓ０９２３１０ 【知识拓展 1】角的定义 从点 O 出发有五条射线，可以组成的角的个数是（ A． 4 个 B.5 个 ） C. 7 个 D. 10 个 【解析】D 4+3+2+1=10 【总结与反思】根据角的定义查找即可. 【知识拓展 2】角度计算 下列计算错误的是（ A．0.25°=900″ C．1000″=（ 5 ）° 18 ） B．1.5°=90′ D．125．45°=1254．5′ 【解析】D 125.45×60=7527′ 【总结与反思】 根据角度的换算公式即可得出正确答案. 【知识拓展 3】 角平分线 如图所示，已知 O 是直线 AB 上一点，∠1＝40°，OD 平分∠BOC，则∠2 的度数是（ A.20° B.25° C.30° ） D.70° 【解析】D ∠2= 1 （180°-40°）70 = ° 2 【总结与反思】根据角平分线的性质计算即可. . 【知识拓展 4】多边形与正多边形 如图，一个多边形纸片按图示的剪法剪去一个内角后，得到一个内角和为 2340°的新多边形，则原多边形 的边数为（ ） 更多全科提分笔记请咨询老师微信：ｙｌｓ０９２３１０ A.13 B.14 C.15 D.16 【解析】B 2340°÷180°=13,13+2-1=14 【总结与反思】 根据多边形内角和计算即可. 【知识拓展 5】圆、弧、扇形、圆心角 说法中，结论错误的是（ ） A.直径相等的两个圆是等圆 B.长度相等的两条弧是等弧 C.圆中最长的弦是直径 D.一条弦把圆分成两条弧，这两条弧可能是等弧 【解析】B 没有强调在同一个圆中 【总结与反思】 根据圆的性质即可解答. 能力拓展 知识点一 角的有关概念 1．角的定义 静态定义：角是由两条具有公共端点的射线组成的图形，两条射线的公共端点是这个角的顶点，这两条射 线是角的两边． 动态定义：角也可以看做一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形．起始位置的射线叫 做角的始边，终止位置的射线叫做角的终边． 注意： （1）角的大小与角两边的长短没有关系，只与构成角的两边的张开幅度有关； （2）没有特殊说明，角都是指小于平角的角. 2．角的表示 （1）用三个大写字母表示（注意把顶点字母写在中间）； （2）当顶点处只有一个角时，也可以用一个大写字母（角的顶点处的字母）来表示角； （3）用一个数字或希腊字母表示角. 更多全科提分笔记请咨询老师微信：ｙｌｓ０９２３１０ 3．角的分类 角的分类：锐角、直角、钝角 注：当一条射线绕着它的端点旋转时，角逐渐由小变大，依次形成锐角、直角、钝角、平角、周角. 4．角的单位换算 我们常用量角器量角，度、分、秒是常用的角的度量单位． 把一个周角 360 等分，每一份就是 1 度的角，记作 1 ； 把 1 度的角 60 等分，每一份叫做 1 分的角，记作 1； 把 1的角 60 等分，每一份叫做 1 秒的角，记作 1 ． 1周角  360 ， 1平角  180 ， 1  60 ， 1  60 5．方向角 方向角的常用表示方法： （1）北偏东，北偏西；南偏东，南偏西；（2）东北，东南，西北，西南；（3）正东，正西，正南，正北. 1.（2019 秋•孝南区期末）如图所示，能用 AOB ，  O ， 1 三种方法表示同一个角的图形是 ( A． B． C． D． 【解答】解： A 、以 O 为顶点的角不止一个，不能用 O 表示，故 A 选项错误； B 、以 O 为顶点的角不止一个，不能用 O 表示，故 B 选项错误； C 、以 O 为顶点的角不止一个，不能用 O 表示，故 C 选项错误； D 、能用 1 ， AOB ， O 三种方法表示同一个角，故 D 选项正确． 故选： D ． 2.（2019 秋•成都期末） 2700   度． 【解答】解： 2700  (2700  60)  (2700  60  60) ， 更多全科提分笔记请咨询老师微信：ｙｌｓ０９２３１０ )  2700  45  0.75 度． 3.（2019•闵行区一模）如果从甲船看乙船，乙船在甲船的南偏东 30 方向，那么从乙船看甲船，甲船在乙 船的 ( ) A．北偏东 30 B．北偏西 30 C．北偏东 60 D．北偏西 60 【解答】解： 从甲船看乙船，乙船在甲船的南偏东 30 方向，  从乙船看甲船，甲船在乙船的北偏西 30 方向． 故选： B ． 知识点二 角平分线及计算 1．角平分线 一般地，从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的平分线．如图所示， OM 1 平分 AOB ，则 AOM  BOM  AOB ，另外角还有三等分线、四等分线等． 2 1 AOM  BOM  AOB 2 1 AOM  MON  NOB  AOB 3 更多全科提分笔记请咨询老师微信：ｙｌｓ０９２３１０ 1 AOM  MON  NOP  POB  AOB 4 2．双角分线 1 （1）如图 1，OP 为 AOB 内一条射线，OM 平分 BOP ，ON 平分 AOP ，结论： MON  AOB ． 2 1 （2）如图 2，OP 为 AOB 外一条射线，OM 平分 BOP ，ON 平分 AOP ，结论： MON  AOB ． 2 2．综合：角度的旋转 （1）角旋转后的度数  角的旋转速度  时间 t ； （2）注意位置所产生的多解问题； （3）利用角度的和差关系． 1.（2019 秋•福田区校级期末）射线 OC 在 AOB 内部，下列条件不能说明 OC 是 AOB 的平分线的是 ( A． AOC  1 AOB 2 B． BOC  C． AOC  BOC  AOB 1 AOB 2 D． AOC  BOC 【解答】解： A 、射线 OC 在 AOB 内部，当 AOC  1 AOB 时， OC 是 AOB 的平分线，故本选项不符 2 合题意； B 、射线 OC 在 AOB 内部，当 BOC  ) 1 AOB 时， OC 是 AOB 的平分线，故本选项不符合题意； 2 C 、如图所示， 射线 OC 在 AOB 内部， AOC  BOC  AOB ， OC 不一定是 AOB 的平分线，故本选项符合题意； D 、射线 OC 在 AOB 内部，当 AOC  BOC 时， OC 是 AOB 的平分线，故本选项不符合题意． 故选： C ． 更多全科提分笔记请咨询老师微信：ｙｌｓ０９２３１０ 1 2.（2018 春•高密市期末）如图，两块直角三角板的直角顶点 O 重合在一起，若 BOC  AOD ，则 BOC 7 的度数为 ( ) A． 22.5 B． 30 C． 45 D． 60 【解答】解：由两块直角三角板的直顶角 O 重合在一起可知： DOC  BOA  90 ， DOB  BOC  90 ， AOC  BOC  90 ， DOB  AOC ， 设 BOC  x ，则 AOD  7 x ， DOB  AOC  AOD  BOC  6 x ， DOB  3x ， DOB  BOC  4 x  90 ， 解得： x  22.5 ． 故选： A ． 3.（2019 秋•甘州区期末）已知 AOB  20 ，AOC  4AOB ，OD 平分 AOB ，OM 平分 AOC ，则 MOD 的度数是 ( A． 20 或 50 ) B． 20 或 60 C． 30 或 50 D． 30 或 60 【解答】 解：分为两种情况：如图 1，当 AOB 在 AOC 内部时，  AOB  20 ， AOC  4AOB ， AOC  80 ， 更多全科提分笔记请咨询老师微信：ｙｌｓ０９２３１０  OD 平分 AOB ， OM 平分 AOC ， AOD  BOD  1 1 AOB  10 ， AOM  COM  AOC  40 ， 2 2 DOM  AOM  AOD  40  10  30 ； 如图 2，当 AOB 在 AOC 外部时， DOM  AOM  AOD  40  10  50 ； 故选： C ． 4.（2019 秋•成华区期末）如图 AOB  60 ，射线 OC 平分 AOB ，以 OC 为一边作 COP  15 ， 则 BOP 