第5讲 有理数乘方及科学记数法 目标导航 1.在现实背景中，理解有理数乘方的意义 2.能进行有理数的乘方计算 3.体会乘方运算时数的变化速度，培养数感 4.学会用科学记数法表示绝对值大于 1 的有理数 知识精讲 知识点 01 乘方 （1）一般地，我们把 n 个相同因数 a 相乘，记作 a n ，即 a  a  a  …… a  a n ． n个a （2）定义：求 n 个相同因数的积的运算，叫做乘方．乘方的运算结果叫做幂，在 a n 中， “2 次方”又可以读作“平方” ，“3 次方” a 叫做底数，n 叫做指数． a n 读作 a 的 n 次方（ 又可以读作“立方”）． （3）读法： a n 读作 a 的 n 次方， a n 看作运算结果时，读作 a 的 n 次幂． （4）特别地： 1n  1 ， 0n  0 ．（n 为正整数） （5）正数的任何次幂都是正数；负数的奇数次幂是负数，负数的偶数次幂是正数． 【例】 a n 表示有 n 个 a 连续相乘：  表示      ，  表示 (    ) ， () 表示 ()  ()  ()  ()  () ． 【注】当 n 为奇数时， ( a ) n   a n ；当 n 为偶数时， ( a) n  a n ． 4  3 【知识拓展 1】 32 的底数是______，指数是______；    的底数是______，指数是______；  4 53 的底数是______，指数是______． 【难度】★ 3 【答案】3，2；  ，4；5，3． 4 【解析】乘方的结果叫做幂，在 a n 中， a 叫做底数， n 叫做指数． 【总结】本题主要考察乘方的定义． 【即学即练 1】（1） 32  ______；（2）  3  ______；（3） 32  ______；（4）  3  ______． 2 【难度】★ 【答案】（1）9；（2）9；（3）-9；（4）-27． 【解析】负数的偶次幂为正数，负数的奇次幂为负数． 更多全科提分笔记请咨询老师微信：ｙｌｓ０９２３１０ 3 【总结】本题主要考察有理数的乘方． 2 3 3  3  3  1 【即学即练 2】计算：（1）     ______；（2）      ______；（3）  1   ______；  2  2  2 （4） 1.54  ______；（5）  33 4  ______；（6）  0.25  ______． 2 【难度】★ 【答案】（1） 9 27 27 81 27 1 ；（2） ；（3）  ；（4）  ；（5）  ；（6） ． 4 8 8 16 2 256 【解析】 a  a  a  …… a  a n ． n个a 【总结】本题主要考察有理数的乘方． 【知识拓展 2】计算： （1） 2   3 ； （2） 33   2  ； 3 2 2  1 （4）  6      ．  3 （3） 12  2   1 ； 2 【难度】★★ 【答案】（1） 54 ； （2）  108 ； （3） 3 ； （4） 54 ． 【解析】（1） 2   3  2   27   54 ； 3 （2） 33   2   27  4  108 ； 2 （3） 12  2   1  1  2  3 ； 2 2 1  1 （4）  6       6   6  9  54 ． 9  3 【总结】本题主要考察有理数的乘方和乘除计算，需要注意计算顺序先乘方再乘除．  【即学即练 1】（1）      () （2）   ()    ( )    （3）      [  () ]      （4） ()               【解析】（1）原式              （3）原式                                  （4）原式                 （2）原式      更多全科提分笔记请咨询老师微信：ｙｌｓ０９２３１０         【提示】有理数乘方常考学生的易错点，即“奇负偶正”在乘方运算中的应用．    知识点 02 一、科学记数法 [来源:学#科#网] 把一个大于 10 的数表示成 a  10 n 的形式（其中 a 是整数数 位只有一位的数，l≤| a |<10， n 是正整数） ， 这种记数法叫做科学记数法，如 42 000 000 ＝ 4.2 10 7 . 要点诠释： 3 （1）负数也可以用科学记数法表示，“  ”照写，其它与正数一样，如 -3 000 = 3  10 ； n （2）把一个数写成 a  10 形式时，若这个数是大于 10 的数，则 n 比这个数的整数位数少 1. 【知识拓展 1】用科学记数法表示下列各数： （1）7013 =___________________； （2）123000000 =______________； （3） 304500 =________________； （4）101010．1 =_______________； （5） 490.04 =________________； （6）0．00036 =________________； （7） 924.75 10 4 =______________； （8） 0.0031  105 =_______________． 【难度】★ 【答案】（1） 7.013  103 ；（2） 1.23  108 ；（3） 3.045  10 5 ；（4） 1.010101  10 5 ； （5） 4.9004  10 2 ； （6） 3.6  10 4 ；（7） 9.2475 10 6 ；（8） 3.1  10 2 ． 【解析】科学计数法的表示形式为 a  10n （其中 1  a  10 ， n 是整数），a 与原数相比小数点移动几位，a 的绝对值就是几；原数绝对值小于 1 时，n 取负数，原数绝对值大于 1 时，n 取正数． 【总结】本题主要考察科学计数法的意义及用科学计数法表示一个数的方法，关键是确定 a 与 n 的值． 【即学即练 1】（1） 30070000 =______ 107 ； （2）5432000 =5．432 10n ，则 n =______． 【难度】★ 【答案】（1） 3.007 ；（2）6． 【解析】用科学计数法表示绝对值大于 10 的数时，10 的指数 n 比原数的整数位数少 1． 【总结】本题主要考察科学计数法表示大数． 【即学即练 2】据统计，地球上每分钟约有 8500000 吨污水排入江河湖海，用科学技术法表示每天的排污量 为______________千克． 【难度】★★ 【答案】 1.224  1013 ． 【解析】8500000 吨=8500000000 千克= 8.5  109 千克， 更多全科提分笔记请咨询老师微信：ｙｌｓ０９２３１０ 故每天的排污量为： 8.5  109  60  24  1.224  1013 （千克）． 【总结】本题主要考察科学计数法表示数，注意单位换算． 【知识拓展 2】下列用科学记数法表示的数，原来各是什么数： （1） 3  103 =________________； （2） 1.34  10 4 =________________； （3） 3.012  10 5 =________________； （4） 9.8  10 3 =________________． 【难度】★ 【答案】（1）3000；（2）13400；（3）-301200；（4）-9800． 【解析】将科学计数法 a  10n 还原成原来的数时，当 n>0 时，这个数乘以 10 的几次方，就把这个数的小数 点向右移动几位；当 n<0 时，这个数乘以 10 的几次方，就把这个数的小数点向左移动几位． 【总结】本题主要考察科学计数法的应用 【即学即练 1】一个数的科学记数法是 3.14  10 7 ，它的原数是______________． 【难度】★ 【答案】31400000． 【解析】科学计数法中，指数 n>0 时，将小数点向右移动七位即可． 【总结】本题主要考察科学计数法的定义． 【即学即练 2】（1）若一个数等于 5.62  109 ，则这个数的整数位有______位； （2）若一个数等于 0.000185 10 5 ，则这个数的整数位有______位． 【难度】★ 【答案】（1）10；（2）2． 【解析】判断一个数的整数位时，将这个数化成原数再判断． 【总结】本题主要考察科学计数法表示有理数． 能力拓展 2 3 4  【能力拓展 1】若  a   与  b  5 互为相反数，则 a =______，b =______． 4  【难度】★★★ 3 【答案】 ， 5 ． 4 2 2 3 3 4 4   【解析】∵  a    0 ，  b  5  0 ，  a      b  5  ， 4 4   2 3  ∴a    0 ， 4   b  5 4 3  0 ， 即 a  ，b  5 ． 4 【总结】本题主要考察有理数的乘方及相反数的概念． 更多全科提分笔记请咨询老师微信：ｙｌｓ０９２３１０ 1  【能力拓展 2】已知 x 的倒数是 5，y 的相反数是 2，求代数式  4 x 2  2 x    y 2 的值． 4  【难度】★★★ 81 【答案】 ． 400 1 【解析】由题意得： x  ，y  2 ， 5 1 81 1 81   4 2 1   代入得：  4