第8讲 字母表示数、代数式、整式 目标导航 1.知道字母能表示什么;能解字母写出简单问题中的数量关系;能用字母和代数式表示以前学过的运算律和计 算公式。 2.了解代数式的概念,用代数式表示简单的数量关系,培养学生的符号感,掌握代数式有关的书写格式.在运算 过程中能合理使用运算律，简化运算。 3.知识目标:理解掌握单项式、多项式及其次数、系数、整式等概念，弄清它们之间的区别和联系。 知识精讲 知识点 01 字母表示数 【知识拓展 1】一个两位数为 x ，三位数为 y ，将 x 放在 y 的左边得到一个五位数，用含 x ．y 代数式表 示这个五位数． 【即学即练 1】一个三位数 M，一个四位数 N，用 M、N 的代数式表示： （1）把 M 放在 N 左边所组成的七位数； （2）把 M 放在 N 右边所组成的七位数． 【知识拓展 1】某公司在 11 月 11 日这一天，上午卖出某品牌手机 75 部，下午又卖出 100 部，已知每部手 机的售价为 a 元，每部手机的成本为 b 元. （1）求这一天该公司卖出该品牌手机的总销售额. （2）求这一天该公司卖出该品牌手机所得的利润. （3）当 a=6800,b=2700 时，总销售额和利润分别是多少？ 知识点 02 代数式 用运算符号和括号把数或表示数的字母连接而成的式子叫做代数式.(单独的一个数或者一个字母也是代数 式) 书写代数式时要注意问题： （1）弄清运算顺序和括号的使用。一般按“先读先写”的原则列代数式。 （2）数字与字母相乘时数字写在前面，乘号省略不写，字母与字母相乘时乘号省略不写。 （3）在代数式中出现除法时，用分数线表示。 用数值代替代数式里的字母，按照代数式中的运算关系计算得出的结果叫做代数式的值. 【知识拓展 1】下列用字母表示数的写法中哪些不规范，请改正过来． (1)3x＋1；(2)m×n－3；(3)2·y；(4)a·m＋b×n 元；(5)a÷(b＋c)；(6)a－1÷b． 【知识拓展 2】已知：当 x  1 时，代数式 px  qx  1 的值为 2014；求当 x  1 时，代数式 px  qx  1 的 3 值． 【即学即练 1】已知 2a  b 2(2a  b) 3( a  b) 的值．  5 ，求代数式  ab ab 2a  b 【知识拓展 3】如图，自行车每节链条的长度为 2.5cm ，交叉重叠部分的圆的直径为 0.8cm ． 3 （1） 4 节链条拉直后长度为 cm； （2） n 节链条拉直后长度为 cm； （3）如果一辆自行车的链条由 50 节这样的链条首尾环形相连组成，那么该自行车链条环的长度是多少？ 【即学即练 2】公园内有一半径为 R 的圆形花坛，里面不重叠地摆放 9 个半径为 r 的小圆形花盆，其余地方 铺上草坪． （1）请用关于 R，r 的多项式表示草坪的面积（阴影部分），并将结果分解因式． （2）当 R  8.5 米， r  0.5 米，求草坪的面积（结果保留  ） 知识点 03 整式 1.整式：单项式和多项式统称为整式。 ①单项式：都是数字和字母乘积的形式的代数式叫做单项式。单项式中，所有字母的指数之和叫做这个单 项式的次数；数字因数叫做这个单项式的系数。 注意：1.单独的一个数或一个字母也是单项式；2.单独一个非零数的次数是 0；3.当单项式的系数为 1 或-1 时，这个“1”应省略不写，如-ab 的系数是-1，a3b 的系数是 1。 ②多项式：几个单项式的和叫做多项式。多项式中，每个单项式叫做多项式的项；次数最高的项的次数叫 做多项式的次数。 【知识拓展 1】单项式的有关概念 2 2 （1）下列各式 a b , 1 ab 2 x  1, 25, , a  2ab  b 2 中单项式的个数有（ 3 2 A．4 个 B．3 个 （2）下列说法正确的是（ D．1 个 ） A． 3 xy 的系数是 3 C．  C．2 个 ） 2 2 2 xy 的系数是  3 3 B． 3 xy 的次数是 3 D．  2 2 xy 的次数是 2 3 （3）请你写出一个含有字母 x 、 y ，且系数为 3 ，次数是 4 的单项式________． 【知识拓展 2】多项式的有关概念 （1）多项式 3 x 2 y  xy 3  y 3  3 的次数是________． （2）多项式 5 xy 2  x  1 是____次____项式． 能力拓展 【能力拓展 1】若 x、y 分别表示 1﹣9 中一个数字，小明想用 x、y 来组成一个两位数且把 x 放在 y 的右边， 则这个两位数可以表示为_____． 【能力拓展 2】一个没有关紧的水龙头一天滴水约 0.09 m3，n 个这样的水龙头一天滴水约____m3． 【能力拓展 3】同样大小的黑色棋子按如图所示的规律摆放： 则前 100 个图形共有___________颗黑色棋子． 【能力拓展 4】如图是工人师傅在一块边长为 60cm 的正方形玻璃板中挖掉三块圆玻璃后所形成的镂空工艺 品（单位： cm ）． （1）求出该玻璃工艺品的面积 S（用含  ，a，r 的代数式表示） （2）当 a  10，r  5 时，求 S 的大小（  取 3） ． 【能力拓展 5】如果 ( n  5) x 2 y n  2 是关于 x，y 的五次单项式，则常数 n 满足条件（ A． n  5 C． n  5 B． n  5 【能力拓展 6】下列各多项式中，各项系数的积是 20 的是（ A． x 2  4 xy  5 y 2 B． 4x  5y 2 ） D．n 为任意实数 ） C． 2a 2  2ab  5b3 D． 22 a  ab  5b 分层提分 题组 A 基础过关练 一、单选题 1．下列式子表示不正确的是（ ） A．m 与 5 的积的平方记为 5m2 C．比 m 除以 n 的商小 5 的数是 B．a 与 b 的平方差是 a 2  b2 m 5 n D．加上 a 等于 b 的数是 b  a 2．整式－0.3x2y，0， 1 1 1 x 1 1 ，－22abc2， x2，− y，− ab2－ 2 a2b 中单项式的个数有（ 3 3 2 4 A．6 个 B．5 个 3．单项式 4a 2b 2 的系数是（ A．2 C．4 个 D．3 个 C．4 D．5 ） B．3 4．下列代数式属于二次三项式的是（ ） ） A． 3x 2  y 2 x  1 B． 5．下列说法正确的是（ ① 6 和 1  x2  y x C． x  y  2 xy D． xy 2  yx  2 ） mn a3b  2a3b3 都是单项式；② x  1 的项是 x 和 1；③ a 2  x 2 和 都是多项式． 2 3 A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 二、填空题 6．现有 5 元面值人民币 m 张，10 元面值人民币 n 张，共有人民币________元（用含 m、n 的代数式表示） ． 7．方孔铜钱应天圆地方之说，古代人们认为天是圆的，地是方的．如图，现有一枚铜钱，图形外面是一个 半径为 r 的圆，里面是一个边长为 a 的正方形，则阴影部分的面积是__________． （用 r , a 的代数式表示） 8．小明买单价为 x 元的球拍 a 个，结账后还有 27 元，小明出门带了现金____元． 9．我校即将举办第 22 届阳光体育嘉年华，现计划新购进一批体育器材，其中实心球每个 m 元，拔河绳每 根 n 元，则购进 15 个实心球，10 根拔河绳共需______元． 10．单项式 2 a 2 b 的系数是________，次数是_______． 3 11．多项式 3 x 2 y  xy 3  y 3  3 的次数是________． 12．多项式 5 xy 2  x  1 是____次____项式． 三、解答题 13．某校在新建学生宿舍时需如图所示的铅合金窗框（别忘了中间还用了一根），它共用了长 8 米的铝合金， 设长方形窗框的一边长为 x 米（如图）． （1）求长方形窗框的另一边长及窗框的面积（用含 x 的代数式表示） ． （2）若 x 的取值分别为 1，2，3，则哪一种取值所做的窗框面积最大？ 14．把多项式 3mn2﹣2m2n3+5﹣8m3n 重新排列： （1）按 m 的降幂排列． （2）按 n 的升幂排列． 15． （2020·乐平市私立创新中学七年级期中）指出下列各式中，哪些是单项式、哪些是多项式、哪些是整式？ 填在相应的横线上：① m 2  n 2 ；②-x；③ ⑩ a +b 1 1 ；④10；⑤6xy+1；⑥ ；⑦ m2n；⑧2x2-x-5；⑨a7； x 7 3 2 x y 单项式：____________________________； 多项式：________________________； 整式：________________________； 16．（2020·吉林七年级期中）已知多项式 x|m|﹣（m＋2）x＋12 是关于 x 的二次二项式，求 m 的值． 17．（2020·山西朔州市·七年级期末）如图， 在宽为 30 米，长为 48 米的长方形地面上，修筑宽度为 x 米的 两条互相垂直的小路，余下的部分作为草地，现给两条小路铺上地砖，选用地砖的价格是每平米 a 元． （1）买地砖需要多少元? (用含 a, x 的式子表示)； （2）当 a  50, x  3 时，计算地砖的费用． 题组 B 能力提升练 一、单选题 1．（2021·怀宁县教育教学研究室七年级期末）如图，阴影部分面积的表达式为（ 1 A．ab- πa2 8 B．ab- 1 2 πa2 C．ab-πa2 D．ab- ）． 1 2 πa 4 2．（2021·湖南七年级期末）某服装店新开张，第一天销售服装 a 件，第二天比第一天多销售 5 件，第三天 的销售量是第二天的 3 倍少 9 件，则第三天销售了（ ） A． (3a  6) 件 B． (3a  15) 件 C． (3a  9) 件 D． (3a  24) 件 3．（2021·重庆巴南育才中学校九年级三模）已知 x﹣2y＝4，xy＝4，则代数式 5xy﹣3x+6y 的值为（ A．32 B．16 C．8 D．﹣8 4．当 x  2020 时，代数式 px3  qx  1 的值为 2021，则当 x  2020 时，代数式 px3