第3讲 有理数的加减运算 目标导航 1．掌握有理数加法的意义，法则及运算律，并会使用运算律简算； 2．掌握有理数减法的法则和运算技巧，认识减法与加法的内在联系； 3．熟练将加减混合运算统一成加法运算，理解运算符号和性质符号的意义，运用加法运算律合理简 算，并会解决简单的实际问题. 知识精讲 知识点 01 有理数的加法运算 有理数的加法运算法则 （1）同号两数相加：取相同的符号，并把绝对值相加； （2）异号两数相加：绝对值相等时和为 0；绝对值不等时，取绝对值较大的数的符号，并用较大的绝对 值减去较小的绝对值； （3）一个数同 0 相加，仍得这个数． 【例】 (3)  (5)  (3  5)  8 (3)  (5)  (3  5)  8 2  (2)  0 3  (2)  (3  2)  1 2  (5)  (5  2)  3 3  0  3 符号 数值 正数+正数 正 绝对值相加 负数+负数 负 绝对值相加 正数+负数 取绝大 绝大减绝小 【注】多个数相加时，加法交换律和加法结合律仍然成立． 2．加法运算技巧 （1）化小数为分数：分数与小数均有时，应先化为统一形式； （2）符号相同的数可以先结合在一起； （3）若有可以凑整的数，即相加得整数时，可先结合相加；特别是有互为相反数的两个数时，可先结合相 加得零； （4）若有同分母的分数或易通分的分数，应先结合在一起． 1 1  3 【例】   (0.75)        1 4 4  4 1  1 3 1 3  1 1  1               0 8  2 8 8 8  2 2  2 3.7  ( 7)  6.3  3.7  6.3  ( 7)  10  ( 7)  3 2.4  5  2.4  (2.4  2.4)  5  0  5  5 【知识拓展】有理数的加法运算 1、计算： 更多全科提分笔记请咨询老师微信：ｙｌｓ０９２３１０  1  2   ；  2  3 (2)   (1)(+20)+(+12)； (4)(－3.4)+(+ 4.3)； (3) (+2)+(－11)； (5)(－2.9)+(+2.9)； (6)(－5)+0． 【答案与解析】 （1） （2）属于同一类型，用的是加法法则的第一条;（3）（4）属于同一类，用的是加法法 则的第二条；（5）用的是第二条：互为相反数的两个数相加得 0； （6）用的是法则的第三条． (1)(+20)+(+1 2)＝+(20+12)＝+32＝32； 1  1  2 1 2           1 6  2  3  2 3 (2)   (3)(+2)+(－11)＝－(11－2)＝－9 (4)(－3.4)+(+4.3)＝+(4.3－3.4)＝0.9 (5)(－2.9)+(+2.9)＝0； (6)(－5)+0＝－5． 【总结升华】绝对值不等的异号两数相加，是有理数加法的难点，在应用法则时，一定要先确定符号，再 计算绝对值． 2  1 5  8   1 3 【即学即练】计算：（1）  3        2 5 2 3 （3） 1.125   3  3 4 （2） ( 6 )  ( 2 ) （4） 0  ( 5 ) （5） 3 1  (3.5) 2 【思路点拨】（1）（2）属于同一类型，用的是加法法则的第一条：； （3） （5）属于同一类，用的是加法法则 的第二条； （4）用的是法则的第三条． 【答案与解析】   2  1 5  8 2 1 21 ；  )  3 5 8 40 1 3 1 3 （1）  3       (3 3 4 3 4 （2） ( 6 )  ( 2 )   (6  2 )  8    13 1 9 12 12 2 5 （3） 1.125   3   1.125  ( 3.4)  (3.4  1.125)  2.275 2 3 （4） 0  ( 5 )  5 （5） 3 2 3 1  (3.5)  3.5  3.5  0 2 【总结升华】绝对值不等的异号两数相加，是有理数加法的难点，在应用法则时，一定要先确定符号，再 更多全科提分笔记请咨询老师微信：ｙｌｓ０９２３１０ 计算绝对值． 知识点 02 有理数的减法运算 1．有理数的减法运算法则 减去一个数，等于加上这个数的相反数，即： a  b  a  (b ) ． 【例】 3  (2)  3  2  5 8  (7)  8  7  1 2．有理数的减法运算步骤 （1）把减号变为加号，把减数变为它的相反数； （2）按照加法运算进行计算． 【例】计算： 8  6 解：原式  8  ( 6) Step1：减号变加号，减数变相反  (8  6) Step2：按照加法的运算步骤计算  14 【知识拓展 1】有理数的减法运算 1、 计算：(1)(－32)－(+5)； (2)(+2) －(－25)． 【思路点拨】此题是有理数的减法运算，先按照减法法则将减法转化为加法，再按照有理数的加法进行计 算． 【答案与解析】法一： 法二： （1）原式=－32－5=－32+（－5）=－37； （2）原式=2+25=27 【总结升华】算式中的“+”或“－”既可以看作运算符号按法则进行计算，也可以看作是性质符号按多重 符号化简进行计算.  4 1 3 ． 3  7 【即学即练 1】(1)2－(－3)； (2)0－(－3.72)－(+2.72)－(－4)； (3)   【思路点拨】此题是有理数的减法运算，先按照减法法则将减法转化为加法，再按照有理数的加法进行计 算． 【答案与解析】本题可直接利用有理数的减法法则进行计算． (1)2－(－3)＝2+3＝5 （3）原式= (2)原式＝0+3.72+(－2.72)+4＝(0+4)+(3.72－2.72)＝4+1＝5 4 1 1 4 16  (3 )  (3  )  2 7 3 3 7 21 更多全科提分笔记请咨询老师微信：ｙｌｓ０９２３１０ 【总结升华】算式中的“+”或“－”既可以看作运算符号按法则进行计算，也可以看作是性质符号按多重 符号化简进行计算. 知识点 03 有理数加减法混合运算技巧 （1）把算式中的减法转化为加法； （2）去括号时注意符号，能省掉的“  ”号要省掉； （3）多观察，巧妙利用运算律简便计算． 【知识拓展】1、计算，能用简便方法的用简便方法计算. 26－18+5－16 （1） （2）（+7）+（－21）+（－7）+（+21） ；  2 1  1  1  1  -1  +1 +  +7  +  -2  +  -8   3 2  4  3  2 (3)   (4) 3.587  ( 5)   5 1 8 （5） 2.25  3  2 1  1   ( 7)   3   ( 1.587) 2  4 3  1.875 4 （6） 3 1 3 5 5 5 4 6 2 4 6 18 【答案与解析】 26－18+5－16 （1） =(+26)+(－18)+5+(－16) →统一成加法 =(26+5)+[(－18)+(－16)] →符号相同的数先加 = 31+(－34)=－3 （2）（+7）+（－21）+（－7）+（+21） =[ (+7)+(－7) ] +[(－21)+(+21)] →互为相反数的两数先加 =0   2 3 1  2  （3）  -1  +1 +  +7 1  1  1  +  -2  +  -8  4  3  2  2   1    1  1   1   -1  +  -2   + 1 +  -8   + 7 →同分母的数先加 4  3   3    2  2   3 1    -4  +  -7  + 7   -3 4 4    （4） 3.587  ( 5)   5 1  1   ( 7)   3   ( 1.587) 2  4 更多全科提分笔记请咨询老师微信：ｙｌｓ０９２３１０  1  1  3.587  5   5   7   3   (1.587) →统一成加法  2  4  1   1    [3.587  (1.587)]  (5  7)   5    3    2   4   →整数、小数、分数分别加 1  3  2  12   8   5 4  4 1 8 （5） 2.25  3  2 3  1.875 4  (2.25  2.75)  (3.125  1.875) →统一同一形式（小数或分数），把可凑整的放一起  0.5  5  4.5 1 3 5 5 5 4 6 2 4 6 18 1 3 5 5  3   5   4   6  2 4 6 18 1 3 5 5  (3  5  4  6)  (    ) →整数，分数分别加 2 4 6 18 18  27  30  10  0 36 29  36 （6） 3 【总结升华】在进行加减混合的运算时，(1)先将各式中的减法运算转化为加法运算； （2）观察各加数之间 的关系，再运用“技巧”适当交换加数的位置，注意交换时各加数的带着符号一起交换． 【即学即练】计算：（1）－3.72－1.23+4.18－2.93－1.25+3.72； 1 3 （2）11－12+13－15+16－18+17； （3） 3.76  39  5  68  4.76  2 5 1 1 3   3.87  2  1.54  3.37  6 3