第 11 讲 有理数全章复习与测试 【学习目标】 1.有理数的概念及运算，数轴，绝对值及科学记数法的相关内容． 2.重点是有理数的四则运算， 3.难点是绝对值的相关运算以及有理数的混合运算． 【基础知识】 1．正数和负数 1、在以前学过的 0 以外的数叫做正数，在正数前面加负号“﹣”，叫做负数，一个数前面的“+”“﹣” 号叫做它的符号． 2、0 既不是正数也不是负数．0 是正负数的分界点，正数是大于 0 的数，负数是小于 0 的数． 3、用正负数表示两种具有相反意义的量．具有相反意义的量都是互相依存的两个量，它包含两个要素，一 是它们的意义相反，二是它们都是数量． 2．有理数 1、有理数的概念：整数和分数统称为有理数． 2、有理数的分类： ①按整数、分数的关系分类：有理数 ②按正数、负数与 0 的关系分类：有理数 ； ． 注意：如果一个数是小数，它是否属于有理数，就看它是否能化成分数的形式，所有的有限小数和无限循 环小数都可以化成分数的形式，因而属于有理数，而无限不循环小数，不能化成分数形式，因而不属于有 理数． 3．数轴 （1）数轴的概念：规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴． 数轴的三要素：原点，单位长度，正方向． （2）数轴上的点：所有的有理数都可以用数轴上的点表示，但数轴上的点不都表示有理数．（一般取右方 向为正方向，数轴上的点对应任意实数，包括无理数．） （3）用数轴比较大小：一般来说，当数轴方向朝右时，右边的数总比左边的数大． 4．相反数 （1）相反数的概念：只有符号不同的两个数叫做互为相反数． （2）相反数的意义：掌握相反数是成对出现的，不能单独存在，从数轴上看，除 0 外，互为相反数的两个 数，它们分别在原点两旁且到原点距离相等． （3）多重符号的化简：与“+”个数无关，有奇数个“﹣”号结果为负，有偶数个“﹣”号，结果为正． （4）规律方法总结：求一个数的相反数的方法就是在这个数的前边添加“﹣”，如 a 的相反数是﹣a，m+n 的相反数是﹣（m+n），这时 m+n 是一个整体，在整体前面添负号时，要用小括号． 5．绝对值 （1）概念：数轴上某个数与原点的距离叫做这个数的绝对值． ①互为相反数的两个数绝对值相等； ②绝对值等于一个正数的数有两个，绝对值等于 0 的数有一个，没有绝对值等于负数的数． ③有理数的绝对值都是非负数． （2）如果用字母 a 表示有理数，则数 a 绝对值要由字母 a 本身的取值来确定： ①当 a 是正有理数时，a 的绝对值是它本身 a； ②当 a 是负有理数时，a 的绝对值是它的相反数﹣a； ③当 a 是零时，a 的绝对值是零． 即|a|＝{a（a＞0）0（a＝0）﹣a（a＜0） 6．非负数的性质：绝对值 在实数范围内，任意一个数的绝对值都是非负数，当几个数或式的绝对值相加和为 0 时，则其中的每一项 都必须等于 0． 根据上述的性质可列出方程求出未知数的值． 7．倒数 （1）倒数：乘积是 1 的两数互为倒数． 一般地，a• ＝1 （a≠0），就说 a（a≠0）的倒数是 ． （2）方法指引： ①倒数是除法运算与乘法运算转化的“桥梁”和“渡船”．正像减法转化为加法及相反数一样，非常重要．倒 数是伴随着除法运算而产生的． ②正数的倒数是正数，负数的倒数是负数，而 0 没有倒数，这与相反数不同． 【规律方法】求相反数、倒数的方法 求一个数的相反数 求一个数的相反数时，只需在这个数前面加上“﹣”即可 求一个数的倒数 求一个整数的倒数，就是写成这个整数分之一 求一个分数的倒数，就是调换分子和分母的位置 注意：0 没有倒数． 8．有理数的加法 （1）有理数加法法则： ①同号相加，取相同符号，并把绝对值相加． ②绝对值不等的异号加减，取绝对值较大的加数符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值．互为相反数 的两个数相加得 0． ③一个数同 0 相加，仍得这个数． （在进行有理数加法运算时，首先判断两个加数的符号：是同号还是异号，是否有 0．从而确定用那一条法 则．在应用过程中，要牢记“先符号，后绝对值”．） （2）相关运算律 交换律：a+b＝b+a； 结合律（a+b）+c＝a+（b+c）． 9．有理数的减法 （1）有理数减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数． 即：a﹣b＝a+（﹣b） （2）方法指引： ①在进行减法运算时，首先弄清减数的符号； ②将有理数转化为加法时，要同时改变两个符号：一是运算符号（减号变加号）； 二是减数的性质符号（减 数变相反数）； 【注意】：在有理数减法运算时，被减数与减数的位置不能随意交换；因为减法没有交换律． 减法法则不能与加法法则类比，0 加任何数都不变，0 减任何数应依法则进行计算． 10．有理数的加减混合运算 （1）有理数加减混合运算的方法：有理数加减法统一成加法． （2）方法指引： ①在一个式子里，有加法也有减法，根据有理数减法法则，把减法都转化成加法，并写成省略括号的和的 形式． ②转化成省略括号的代数和的形式，就可以应用加法的运算律，使计算简化． 11．有理数的乘法 （1）有理数乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘． （2）任何数同零相乘，都得 0． （3）多个有理数相乘的法则：①几个不等于 0 的数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数有奇数 个时，积为负；当负因数有偶数个时，积为正．②几个数相乘，有一个因数为 0，积就为 0． （4）方法指引： ①运用乘法法则，先确定符号，再把绝对值相乘． ②多个因数相乘，看 0 因数和积的符号当先，这样做使运算既准确又简单． 12．有理数的除法 （1）有理数除法法则：除以一个不等于 0 的数，等于乘这个数的倒数，即：a÷b＝a• （b≠0） （2）方法指引： （1）两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除．0 除以任何一个不等于 0 的数，都得 0． （2）有理数的除法要分情况灵活选择法则，若是整数与整数相除一般采用“同号得正，异号得负，并把绝 对值相除”．如果有了分数，则采用“除以一个不等于 0 的数，等于乘这个数的倒数”，再约分．乘除混 合运算时一定注意两个原则：①变除为乘，②从左到右． 13．有理数的乘方 （1）有理数乘方的定义：求 n 个相同因数积的运算，叫做乘方． 乘方的结果叫做幂，在 an 中，a 叫做底数，n 叫做指数．an 读作 a 的 n 次方．（将 an 看作是 a 的 n 次方的 结果时，也可以读作 a 的 n 次幂．） （2）乘方的法则：正数的任何次幂都是正数；负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；0 的任何正整 数次幂都是 0． （3）方法指引： ①有理数的乘方运算与有理数的加减乘除运算一样，首先要确定幂的符号，然后再计算幂的绝对值； ②由于乘方运算比乘除运算又高一级，所以有加减乘除和乘方运算，应先算乘方，再做乘除，最后做加减． 14．非负数的性质：偶次方 偶次方具有非负性． 任意一个数的偶次方都是非负数，当几个数或式的偶次方相加和为 0 时，则其中的每一项都必须等于 0． 15．有理数的混合运算 （1）有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算； 如果有括号，要先做括号内的运算． （2）进行有理数的混合运算时，注意各个运算律的运用，使运算过程得到简化． 【规律方法】有理数混合运算的四种运算技巧 1．转化法：一是将除法转化为乘法，二是将乘方转化为乘法，三是在乘除混合运算中，通常将小数转化为 分数进行约分计算． 2．凑整法：在加减混合运算中，通常将和为零的两个数，分母相同的两个数，和为整数的两个数，乘积为 整数的两个数分别结合为一组求解． 3．分拆法：先将带分数分拆成一个整数与一个真分数的和的形式，然后进行计算． 4．巧用运算律：在计算中巧妙运用加法运算律或乘法运算律往往使计算更简便． 16．科学记数法—表示较大的数 （1）科学记数法：把一个大于 10 的数记成 a×10n 的形式，其中 a 是整数数位只有一位的数，n 是正整数， 这种记数法叫做科学记数法．【科学记数法形式：a×10n，其中 1≤a＜10，n 为正整数．】 （2）规律方法总结： ①科学记数法中 a 的要求和 10 的指数 n 的表示规律为关键，由于 10 的指数比原来的整数位数少 1；按此 规律，先数一下原数的整数位数，即可求出 10 的指数 n． ②记数法要求是大于 10 的数可用科学记数法表示，实质上绝对值大于 10 的负数同样可用此法表示，只是 前面多一个负号． 17．计算器—有理数 计算器包括标准型和科学型两种，其中科学型使用方法如下： 如果按错可用（DEL）键消去一次数值，再重新输入正确的数字． 功能键，进行第一功能相应的计算． （1）键入数字时，按下相应的数字键， （2）直接输入数字后，按下对应的 （3）按下（﹣）键可输入负数，即先输入（﹣）号再输入数值． （4）开方运算按用到乘方运算键 x2 的第二功能键 ”和 的第二功能键“ （5）对于开平方运算的按键顺序是：2ndfx2 被开方数 ENTE 或直接按键 ”． ，再输入数字后按“＝”即可． （6）对于开立方运算的按键顺序是：32ndf∧被开方数 ENTE 或直接按 x3，再输入数字后按“＝”即可 注意：由于计算器的类型不一样操作方式也不尽相同，可以参考说明书进行操作． 18．无理数 （1）、定义：无限不循环小数叫做无理数． 说明：无理数是实数中不能精确地表示为两个整数之比的数，即无限不循环小数． 如圆周率、2 的平方根 等． （2）、无理数与有理数的区别： ①把有理数和无理数都写成小数形式时，有理数能写成有限小数和无限循环小数， 比如 4＝4.0，13＝0.33333…而无理数只能写成无限不循环小数，比如 2＝1.414213562． ②所有的有理数都可以写成两个整数之比；而无理数不能． （3）学习要求：会判断无理数，了解它的三种形式：①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有π 的数，如分数π2 是无理数，因为π是无理数． 无理数常见的三种类型 （1）开不尽的方根，如 等． （2）特定结构的无限不循环小数， 如 0.303 003 000 300 003…（两个 3 之间依次多一个 0）． （3）含有π的绝大部分数，如 2π． 注意：判断一个数是否为无理数，不能只看形式，要看化简结果．如 是有理数，而不是无理数． 【考点剖析】 一．正数和负数（共 1 小题） 1．（2021 秋•海沧区期末）如果向西走 3km，记作+3km，那么﹣6km 表示（ A．向东走 6km B．向南走 6km C．向西走 6km ） D．向北走 6km 【分析】根据向西与向东是一对具有相反意义的量即可作出判断． 【解答】解：如果向西