第 12 讲 代数式全章复习与测试 【学习目标】 1. 理解并掌握单项式与多项式的相关概念； 2. 理解整式加减的基础是去括号和合并同类项，并会用整式的加减运算法则，熟练进行整 式的加减运算、求值； 【基础知识】 1．代数式 代数式：代数式是由运算符号（加、减、乘、除、乘方、开方）把数或表示数的字母连接 而成的式子．单独的一个数或者一个字母也是代数式．带有“＜（≤）”“＞（≥）” “＝”“≠”等符号的不是代数式． 例如：ax+2b，﹣13，2b23，a+2 等． 注意：①不包括等于号（＝）、不等号（≠、≤、≥、＜、＞、≮、≯）、约等号≈． ② 可以有绝对值．例如：|x|，|﹣2.25|2.25|等． 2．列代数式 （1）定义：把问题中与数量有关的词语，用含有数字、字母和运算符号的式子表示出来， 就是列代数式． （2）列代数式五点注意：①仔细辨别词义． 列代数式时，要先认真审题，抓住关键词语， 仔细辩析词义．如“除”与“除以”，“平方的差（或平方差）”与“差的平方”的词义 区分． ②分清数量关系．要正确列代数式，只有分清数量之间的关系． ③注意运算顺 序．列代数式时，一般应在语言叙述的数量关系中，先读的先写，不同级运算的语言，且 又要体现出先低级运算，要把代数式中代表低级运算的这部分括起来．④规范书写格式． 列代数时要按要求规范地书写．像数字与字母、字母与字母相乘可省略乘号不写，数与数 相乘必须写乘号；除法可写成分数形式，带分数与字母相乘需把代分数化为假分数，书写 单位名称什么时不加括号，什么时要加括号．注意代数式括号的适当运用． ⑤正确进行 代换．列代数式时，有时需将题中的字母代入公式，这就要求正确进行代换． 【规律方法】列代数式应该注意的四个问题 1．在同一个式子或具体问题中，每一个字母只能代表一个量． 2．要注意书写的规范性．用字母表示数以后，在含有字母与数字的乘法中，通常将“×”简 写作“•”或者省略不写． 3．在数和表示数的字母乘积中，一般把数写在字母的前面，这个数若是带分数要把它化成 假分数． 4．含有字母的除法，一般不用“÷”（除号），而是写成分数的形式． 3．代数式求值 （1）代数式的值：用数值代替代数式里的字母，计算后所得的结果叫做代数式的值． （2）代数式的求值：求代数式的值可以直接代入、计算．如果给出的代数式可以化简，要 先化简再求值． 题型简单总结以下三种： ① 已知条件不化简，所给代数式化简； ② 已知条件化简，所给代数式不化简； ③ 已知条件和所给代数式都要化简． 4．同类项 （1）定义：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同，这样的项叫做同类项． 同类项中所含字母可以看成是数字、单项式、多项式等． （2）注意事项： ① 一是所含字母相同，二是相同字母的指数也相同，两者缺一不可； ② 同类项与系数的大小无关； ③ 同类项与它们所含的字母顺序无关； ④ 所有常数项都是同类项． 5．合并同类项 （1）定义：把多项式中同类项合成一项，叫做合并同类项． （2）合并同类项的法则：把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不 变． （3）合并同类项时要注意以下三点： ① 要掌握同类项的概念，会辨别同类项，并准确地掌握判断同类项的两条标准：带有相同 系数的代数项；字母和字母指数； ② 明确合并同类项的含义是把多项式中的同类项合并成一项，经过合并同类项，式的项数 会减少，达到化简多项式的目的； ③“合并”是指同类项的系数的相加，并把得到的结果作为新的系数，要保持同类项的字母 和字母的指数不变． 6．去括号与添括号 （1）去括号法则：如果括号外的因数是正数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号 相同；如果括号外的因数是负数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反． （2）去括号规律：① a+（b+c）＝a+b+c，括号前是“+”号，去括号时连同它前面的“+” 号一起去掉，括号内各项不变号；② a﹣2.25|（b﹣2.25|c）＝a﹣2.25|b+c，括号前是“﹣”号，去括号 时连同它前面的“﹣”号一起去掉，括号内各项都要变号． 说明：①去括号法则是根据乘法分配律推出的；②去括号时改变了式子的形式，但并没 有改变式子的值． （3）添括号法则：添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变号，如果括 号前面是负号，括号括号里的各项都改变符号． 添括号与去括号可互相检验． 7．规律型：数字的变化类 探究题是近几年中考命题的亮点，尤其是与数列有关的命题更是层出不穷，形式多样，它 要求在已有知识的基础上去探究，观察思考发现规律． （1）探寻数列规律：认真观察、仔细思考，善用联想是解决这类问题的方法，通常将数字 与序号建立数量关系或者与前后数字进行简单运算，从而得出通项公式． （2）利用方程解决问题．当问题中有多个未知数时，可先设出其中一个为 x，再利用它们 之间的关系，设出其他未知数，然后列方程． 8．规律型：图形的变化类 图形的变化类的规律题 首先应找出图形哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的，通过分析找到各部分的变 化规律后直接利用规律求解．探寻规律要认真观察、仔细思考，善用联想来解决这类问题． 9．整式 （1）概念：单项式和多项式统称为整式． 他们都有次数，但是多项式没有系数，多项式的每一项是一个单项式，含有字母的项都有 系数． （2）规律方法总结： ① 对整式概念的认识，凡分母中含有字母的代数式都不属于整式，在整式范围内用“ +”或 “﹣”将单项式连起来的就是多项式，不含“+”或“﹣”的整式绝对不是多项式，而单项 式注重一个“积”字． ② 对于“数”或“形”的排列规律问题，用先从开始的几个简单特例入手，对比、分析其 中保持不变的部分及发展变化的部分，以及变化的规律，尤其变化时与序数几的关系，归 纳出一般性的结论． 10．单项式 （1）单项式的定义：数或字母的积组成的式子叫做单项式，单独的一个数或字母也是单项 式． 用字母表示的数，同一个字母在不同的式子中可以有不同的含义，相同的字母在同一个式 子中表示相同的含义． （2）单项式的系数、次数 单项式中的数字因数叫做单项式的系数，一个单项式中所有字母的指数的和叫做单项式的 次数． 在判别单项式的系数时，要注意包括数字前面的符号，而形如 a 或﹣a 这样的式子的系数 是 1 或﹣1，不能误以为没有系数，一个单项式的次数是几，通常称这个单项式为几次单项 式． 11．多项式 （1）几个单项式的和叫做多项式，每个单项式叫做多项式的项，其中不含字母的项叫做常 数项．多项式中次数最高的项的次数叫做多项式的次数． （2）多项式的组成元素的单项式，即多项式的每一项都是一个单项式，单项式的个数就是 多项式的项数，如果一个多项式含有 a 个单项式，次数是 b，那么这个多项式就叫 b 次 a 项 式． 12．整式的加减 （1）几个整式相加减，通常用括号把每一个整式括起来，再用加减号连接；然后去括号、 合并同类项． （2）整式的加减实质上就是合并同类项． （3）整式加减的应用： ① 认真审题，弄清已知和未知的关系； ② 根据题意列出算式； ③ 计算结果，根据结果解答实际问题． 【规律方法】整式的加减步骤及注意问题 1．整式的加减的实质就是去括号、合并同类项．一般步骤是：先去括号，然后合并同类项． 2．去括号时，要注意两个方面：一是括号外的数字因数要乘括号内的每一项；二是当括号 外是“﹣”时，去括号后括号内的各项都要改变符号． 13．整式的加减—化简求值 给出整式中字母的值，求整式的值的问题，一般要先化简，再把给定字母的值代入计算， 得出整式的值，不能把数值直接代入整式中计算． 【考点剖析】 一．代数式（共 1 小题） 1．（2021 秋•宽城县期末）代数式 a2﹣2.25| 的正确解释是（ ） A．a 的平方与 b 的倒数的差 B．a 与 b 的倒数的差的平方 C．a 的平方与 b 的差的倒数 D．a 与 b 的差的平方的倒数 二．列代数式（共 1 小题） 2．（2022•南京一模）李奶奶买了一筐草莓，连筐共 akg，其中筐 1kg．将草莓平均分给 4 位小朋友，每位小朋友可分得（ A． kg ） B．（ ﹣1）kg 三．代数式求值（共 1 小题） C． kg D． kg 3．（2021 秋•广陵区期末）已知 a﹣2.25|2b2＝3，则 2022﹣2.25|2a+4b2 的值是（ A．2016 B．2028 C．2019 ） D．2025 四．同类项（共 1 小题） 4 ． （ 2022• 姑 苏 区 一 模 ） 若 单 项 式 2xym+1 与 单 项 式 是 同 类 项 ， 则 m﹣2.25|n ＝ ． 五．合并同类项（共 1 小题） 5．（2021 秋•射阳县校级期末）若 3xm+5y2 与 23x8yn+4 的差是一个单项式，则代数式 nm 的值 为（ ） A．﹣8 B．6 C．﹣6 D．8 六．去括号与添括号（共 1 小题） 6．（2021 秋•海门市期末）计算﹣（4a﹣2.25|5b），结果是（ A．﹣4a﹣2.25|5b B．﹣4a+5b ） C．4a﹣2.25|5b D．4a+5b 七．规律型：数字的变化类（共 1 小题） 7．（2022 春•邗江区校级月考）我们将如图所示的两种排列形式的点数分别称作“三角形 点数”（如 1，3，6，10…）和“正方形点数”（如 1，4，9，16，…）．在小于 300 的点数中，设最大的“三角形点数”为 m，最大的“正方形点数”为 n，则 m+n 的值为 （ ） A．589 B．565 C．556 D．532 八．规律型：图形的变化类（共 1 小题） 8．（2021 秋•宣化区期末）如图所示，由一些点组成形如三角形的图形，每条“边”（包 括两个顶点）有 n（n＞1）个点，记第 1 个图形中总的点数为 S2＝3，第 2 个图形中总的 点数为 S3＝6，依次为 S4＝9，S5＝12．以下说法错误的是（ ） A．S7＝18 B．S11＝30 C．若 Sn＝60，则 n＝21 D．若 Sn+Sn+1＝57，则 n＝11 九．整式（共 1 小题） 9．（2021 秋•襄都区校级期末）下列代数式：（1） ，（5）2m+1，（6） （ ，（7） mn，（2）m，（3） ，（4） ，（8）x2+2x+ ，（9）y3﹣2.25|5y+ 中，整式有 ） A．3 个 B．4 个 C．6 个 D．7 个 一十．单项式（共 1 小题） 10．（2021 秋•崇川区期末）关于单项式 的说法，正确的是（ A．系数为 2，次数是 2 B．系数为 ，次数是 3 C．系数为 D．系数为 ，次数是 2 ） ，次