第 04 讲 有理数乘法与除法 【学习目标】 1．理解有理数的乘法与除法法则； 2．能利用有理数的乘法与除法法则进行简单的有理数乘法运算；(重点) 3．会利用有理数的乘法与除法解决实际问题．(难点) 【基础知识】 一．倒数 （1）倒数：乘积是 1 的两数互为倒数． 一般地，a• 1 （a≠0），就说 a（a≠0）的倒数是 ． （2）方法指引： ①倒数是除法运算与乘法运算转化的“桥梁”和“渡船”．正像减法转化为加法及相反数一样，非常重要．倒 数是伴随着除法运算而产生的． ②正数的倒数是正数，负数的倒数是负数，而 0 没有倒数，这与相反数不同． 【规律方法】求相反数、倒数的方法 求一个数的相反数 求一个数的相反数时，只需在这个数前面加上“﹣”即可 求一个数的倒数 求一个整数的倒数，就是写成这个整数分之一 求一个分数的倒数，就是调换分子和分母的位置 注意：0 没有倒数． 二．有理数的乘法 （1）有理数乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘． （2）任何数同零相乘，都得 0． （3）多个有理数相乘的法则：①几个不等于 0 的数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数有奇数 个时，积为负；当负因数有偶数个时，积为正．②几个数相乘，有一个因数为 0，积就为 0． （4）方法指引： ①运用乘法法则，先确定符号，再把绝对值相乘． ②多个因数相乘，看 0 因数和积的符号当先，这样做使运算既准确又简单． 三．有理数的除法 （1）有理数除法法则：除以一个不等于 0 的数，等于乘这个数的倒数，即：a÷b＝a• （b≠0） （2）方法指引： （1）两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除．0 除以任何一个不等于 0 的数，都得 0． （2）有理数的除法要分情况灵活选择法则，若是整数与整数相除一般采用“同号得正，异号得负，并把绝 对值相除”．如果有了分数，则采用“除以一个不等于 0 的数，等于乘这个数的倒数”，再约分．乘除混 合运算时一定注意两个原则：①变除为乘，②从左到右． 【考点剖析】 一．倒数（共 2 小题） 1．（2021•阳新县校级模拟）﹣ǀ﹣5ǀ的倒数是（ A．5 B．﹣5 ） C． D． 【分析】根据乘积为 1 的两个数互为倒数，可得答案． 【解答】解：﹣ǀ﹣5ǀ＝﹣5 ﹣5 的倒数是： 即﹣ǀ﹣5ǀ的倒数是 ， ． 故选：D． 【点评】此题主要考查了倒数，正确把握倒数的定义是解题的关键． 2．（2022•镇江模拟） 的倒数等于 2 ． 【分析】直接利用倒数的定义得出答案． 【解答】解： 的倒数是：2． 故答案为：2． 【点评】此题主要考查了倒数的定义，正确掌握相关定义是解题关键． 二．有理数的乘法（共 7 小题） 3．（2021 秋•佛山月考）计算：（﹣36）×（ ）． 【分析】根据乘法分配律，可得答案． 【解答】解：原式＝﹣36×（ 36 ）﹣36 ＝16﹣30+21 ＝7． 【点评】本题考查了有理数的乘法，利用乘法分配律是解题关键． 4．（2021 秋•仪征市期中）规定：水位上升为正，水位下降为负：几天后为正，几天前为负．若水位每天 下降 3cm，今天的水位记为 0cm，那么 2 天前的水位用算式表示正确的是（ ） A．（+3）×（+2） B．（+3）×（﹣2） C．（﹣3）×（+2） D．（﹣3）×（﹣2） 【分析】根据题意可以用相应的正负数表示题目中所求的问题，本题得以解决． 【解答】解：由题意可得， 2 天前的水位用算式表示是：（﹣3）×（﹣2）， 故选：D． 【点评】本题考查有理数的乘法的运算法则，涉及正数和负数的理解，解答本题的关键是明确题意，用 相应的正负数表示出来． 5．（2017 秋•亭湖区校级月考）﹣99 【分析】先把﹣99 写成﹣100 ＝﹣3600 ＝﹣3599 ． ，再根据乘法分配律计算即可． 36＝（﹣100 【解答】解：﹣99 ＝﹣100×36 36． 36 ）×36 【点评】本题考查了有理数的乘法，掌握有理数的乘法法则是解题的关键． 6．（2019 秋•天宁区校级月考）学习了有理数之后，老师给同学们出了一道题： 计算：17 （﹣9） 下面是小方给出的答案，请判断是否正确，若错误给出正确解答过程． 9＝﹣17 解：原式＝﹣17 25 ． 【分析】利用乘法分配律进行计算即可． 【解答】解：小方给出的答案错误； 17 （﹣9） ＝﹣[（17 ＝﹣（17×9 ）×9] 9） ＝﹣161 ． 【点评】此题主要考查了有理数的乘法，关键是正确确定积的符号，掌握乘法分配律． 7．（2021 秋•无锡期末）有理数 a、b 在数轴上的对应点的位置如图所示，则下列判断正确的是（ A．a＞﹣3 B．ab＞0 C．a+b＞0 D．|a|＞|b| 【分析】由数轴上的点得出 a 与 b 的正负及绝对值的大小，再结合运算法则进行判断即可． 【解答】解：由数轴可知，﹣4＜a＜﹣3，2＜b＜3， ∵a＜﹣3， ∴A 选项错误，不符合题意； ∵ab＜0， ∴B 选项错误，不符合题意； ∵|a|＞|b|，a＜0，b＞0， ∴a+b＜0， ） ∴C 选项错误，不符合题意； ∵|a|＞|b|， ∴D 选项正确，符合题意． 故选：D． 【点评】本题主要考查数的大小，有理数的加法运算，乘法运算，由数轴上的点得出 a 与 b 的正负及绝 对值的大小关系是解题的关键． 8．（2021 秋•朝阳区校级期末）在数﹣5，1，3，﹣3，4 中，任取两个数相乘，所得积的最大是 15 ． 【分析】在﹣5，1，3，﹣3，4 这五个数中，绝对值最大的四个数是﹣5，3，﹣3，4，再根据正数大于 负数，可得：任取两个数相乘，所得的积最大的是﹣5 与﹣3 的积． 【解答】解：在﹣5，1，3，﹣3，4 这五个数中，任取两个数相乘，所得的积最大的是： （﹣5）×（﹣3）＝15． 故答案为：15． 【点评】本题考查的是有理数的大小比较、有理数的乘法．解答此题的关键是要明确：①正数都大于 0； ②负数都小于 0；③正数大于一切负数；④两个负数，绝对值大的其值反而小． 9．（2022 春•阜宁县校级月考）规定：M（1）＝﹣2，M（2）＝（﹣2）×（﹣2），M（3）＝（﹣2）×（﹣2） ×（﹣2），…M（n） ． （1）计算：M（5）+M（6）； （2）求 2×M（2021）+M（2022）的值； （3）试说明：2×M（n）与 M（n+1）互为相反数． 【分析】（1）根据新定义的法则及有理数乘法的法则进行计算即可； （2）根据新定义的法则进行计算，即可得出结果； （3）根据新定义的法则分别计算 2×M（n）与 M（n+1），即可得出结果． 【解答】解：（1）M +M （5） ＝（﹣2）5+（﹣2）6 ＝﹣32+64 ＝32； （2）2M（2021）+M （2022） ＝2×（﹣2）202l+（﹣2）2022 ＝2×（﹣22021）+22022 （6） ＝﹣22022+22022 ＝0； （3）2M（ M （ n ＝2×（﹣2）n＝﹣（﹣2）×（﹣2）n＝﹣（﹣2）n+1， ） n+1）＝（﹣2） n+1 ， ∵﹣（﹣2）n+1 与（﹣2）n+1 互为相反数， ∴2M（ n 与 M ） （ n+1）互为相反数． 【点评】本题考查了有理数的乘法及相反数，掌握新定义的含义及有理数的乘法法则是解决问题的关键． 三．有理数的除法（共 11 小题） 10．（2022•永嘉县模拟）计算﹣6÷2 的结果是（ A．3 B． ） C．﹣3 D．﹣12 【分析】有理数除法法则：除以一个不等于 0 的数，等于乘这个数的倒数，依此计算即可求解． 【解答】解：﹣6÷2＝﹣3． 故选：C． 【点评】考查了有理数除法，方法指引：（1）两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除．0 除 以任何一个不等于 0 的数，都得 0．（2）有理数的除法要分情况灵活选择法则，若是整数与整数相除一 般采用“同号得正，异号得负，并把绝对值相除”．如果有了分数，则采用“除以一个不等于 0 的数， 等于乘这个数的倒数”，再约分．乘除混合运算时一定注意两个原则：①变除为乘，②从左到右． 11．（﹣81）÷（ ） （﹣16）． 【分析】根据有理数的乘除法法则计算即可． 【解答】解：原式＝（﹣81）×（ ） （ ） ＝﹣1． 故答案为：﹣1． 【点评】本题主要考查了有理数的乘除法，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． 12．计算：（﹣32）÷4×（﹣8）． 【分析】根据有理数乘除法的运算法则进行计算即可． 【解答】解：原式＝32 8 ＝64． 【点评】本题考查了有理数的乘除法，掌握运算法则是解题的关键． 13．（2021 秋•宜兴市月考）如果两个有理数在数轴上对应的点分别在原点的两侧，则这两个数相除所得的 商是（ ） A．一定是负数 B．一定是正数 C．等于 0 D．以上都不是 【分析】根据数轴的性质即可求出答案． 【解答】解：由于两个有理数分布在原点两侧，故必为一正一负， 所以两个数相除所得的商是负数， 故选：A． 【点评】本题考查有理数的运算，解题的关键是熟练运用有理数的运算，本题属于基础题型． 14．（2021 秋•东台市期中）有两个整数 a，b，且 a＜b，把大于等于 a 且小于等于 b 的所有数记作[a，b]．例 如，大于等于 1 且小于等于 4 的所有数记作[1，4]．若整数 m 在[5，15]内，整数 n 在[﹣30，﹣20]内， 那么 的一切值中属于整数的个数为（ A．5 个 B．4 个 ） C．3 个 D．2 个 【分析】根据已知条件得出 5≤m≤15，﹣30≤n≤﹣20，再得出 的范围，即可得出整数的个数． 【解答】解：∵m 在[5，15]内，n 在[﹣30，﹣20]内， ∴5≤m≤15，﹣30≤n≤﹣20， ∴ ，即﹣6 ， ∴ 的一切值中属于整数的有﹣2，﹣3，﹣4，﹣5，﹣6，共 5 个； 故选：A． 【点评】此题考查了有理数的除法，求出 5≤m≤15 和﹣30≤n≤﹣20 是解题的关键． 15．（2021 秋•大丰区期末）有理数 a、b 在数轴上的对应点的位置如图所示，下列式子成立的是（ A．|a|＜|b| B．a＞b C．a+b＞0 D． ） 【分析】根据绝对值的定义判断 A 选项；根据数轴上右边的数总比左边的数大比较大小判断 B 选项；根 据有理数的加法法则判断 C 选项；根据有理数的除法法则判断 D 选项． 【解答】解：A 选项，∵|a|＞1，|b|＜1， ∴|a|＞|b|，故该选项不符合题意； B 选项，a＜b，故该选项不符合题意； C 选项，