【重点题一】 长方体油箱长 50 厘米，宽 35 厘米，高 20 厘米。做这个油箱至 少需要铁皮多少平方分米？如果每升汽油重 0.86 千克，这个油 箱最多能装多少千克汽油？（铁皮厚度忽略不计） 【思路点睛】 第 1 问是求长方体油箱的表面积，计算时要注意 单位：（50×35+50×20+35×20）×2=6900（平方厘米），6900 平方厘米=69 平方分米。第 2 问要先求出油箱的容积，再求能装 多少汽油：50×35×20=35000 立方厘米，35000 立方厘米=35 升，0.86×35=30.1（千克）。第 2 问是易错题，有的同学在完成 第 1 问后，直接用表面积与 0.86 相乘：69×0.86，这样做就错 了。 【重点题二】 一个泡沫包装盒厚 3 厘米，从外面量，长 30 厘米，宽 26 厘 米，高 21 厘米，它的体积和容积各是多少立方厘米？能装下多 少个棱长 5 厘米的正方体木块？ 【思路点睛】求体积用的是外尺寸：30×26×21=16380（立方厘 米）；求容积用的是内尺寸：长： 30-2×3=24cm，宽：26-2× 3=20cm，高：21-2×3=15cm，容积是 24×20×15=7200（立方 厘米）。第二问有些同学会错误地用“容积÷每个小立方体的体 积”来算。我们来算一算：沿着长只能放进 4 个木块，剩下的空 间只好浪费了，沿着宽正好能放下 4 个木块，这样一层就放了 16 个木块，沿着高可放 3 层，一共能装下 16×3=48（个）木 块。 【重点题三】 3 个相同的长方体木块，长 15 厘米，宽 8 厘米，高 4 厘米，拼 成一个大长方体，表面积最大是多少平方厘米？最小呢？ 【思路点睛】把 3 个相同的长方体拼成一个大长方体有 3 种拼 法，但是同学们不必将 3 种拼法的表面积都算出来。思考一下： 要使表面积最大，应该把小长方体的什么面拼在一起？当然是把 最小的面拼在一起（如上图）。要使表面积最小，应该把小长方 体的什么面拼在一起？当然是把最大的面拼在一起（如下图）。 【重点题四】 游泳池长 50 米，宽 34 米，高 2 米。 （1）在池底和四壁贴瓷砖，贴瓷砖的面积是多少平方米？ （2）在距池口 50cm 处画一圈红色水位线，水位线长多少米？ （3）池内的水深正好在水位线上，池内有水多少立方米？ 【思路点睛】解答第一问时要注意贴瓷砖的部分是哪几个面，50 ×34+（50×2+34×2）×2=2036（平方米），相信同学们已经非 常熟练了。 解答第二问的关键是理解“水位线”，水位线是在游泳池的 4 个侧 面上，并且与长、宽分别平行的一圈线，与池口的周长相等，即 （50+34）×2=168（米）。 解答第三问的关键是正确求出水深，同时还要注意单位。用 2 米 减去 50 厘米就是水深，即水深 2-0.5=1.5（米），池内有水 50× 34×1.5=2550（立方米）。 【重点题五】 王师傅 2/5 小时织布 8/3 米，照这样计算，每小时可织布（ ） 米，织 1 米长的布要（ ）小时。 【思路点睛】求每小时织布多少米，是求工作效率，工作效率= 工作量÷工作时间，即 8/3÷2/5=20/3（米）。求织 1 米长的布 要多少小时，是求工作时间，工作时间=工作量÷工作效率，即 1÷20/3= 3/20（时），第二问也可以根据“织布时间÷织布米数= 每米需要的时间”来解答:2/5 ÷8/3=3/20（时）。 【重点题六】 15:（ ）=（ ）÷8 = 0.375 = 6 / ( ) = 30÷（ ） 【思路点睛】这道题的考点是分数、除法、比之间的关系，要顺 利解答这道题，除了以 0.375 为突破口外，还需同学们能熟记常 用分数、小数的互化值，这样可节省大量的时间。0.375=3/8 ， 即 3÷8，完成第 2 空，根据商不变的规律完成第 4 空；3/8 也是 3:8，根据比的基本性质完成第 1 空；根据分数的基本性质完成 第 3 空。 【重点题七】 大洋洲的面积大约是 900 万平方千米。欧洲的面积是大洋洲的 10/9，是北美洲的 5/12，欧洲和北美洲的面积各是多少万平方 千米？ 【思路点睛】本题检验同学们是否能正确分析题目中各个量之间 的关系。求欧洲的面积就是求“大洋洲的 10/9”，即 900×10/9， 而求北美洲的面积时，则要根据“欧洲是北美洲的 5/12”即“北美 洲×5/12=欧洲”，从而列方程或列除法算式来求出北美洲的面 积。很多同学会用“欧洲×5/12”来算北美洲的面积，这是一个典 型错误。 【重点题八】 两根同样长的绳子，第一根剪去 1/2 ，第二根剪去 1/2 米，剩 下部分的（ ）长。 A．第一根 B．第二根 C．同样长 D．不确定 【思路点睛】这题需要分 3 种情况讨论。 第 1 种情况：两根绳子原来各长 1 米，则剩下的一样长，这种情 况容易理解； 第 2 种情况：两根绳子原来都小于 1 米，为方便理解，假定就是 1/2 米 ，第一根剪去 1/2 ，还剩 1/2（想一想，这个 1/2 代表的 是多少米？），第二根剪去 1/2 米后就用完了，则第一根剩下的 长； 第 3 种情况：原来的两根绳子都大于 1 米，为方便理解，假定都 是 2 米，第一根剪去 1/2 后剩一半，是 1 米，第二根则剩 1 又 1/2 米。所以答案是不确定，选 D。解决本题的关键是弄清楚第 一根剩下的是这根绳子的 1/2，即绳长×1/2，第二根剩下的是这 根绳子的长再减去 1/2 米。 【重点题九】 等腰三角形两条边的比是 5:2，周长是 36 厘米，求底和腰各是 多少厘米？ 【思路点睛】本题是按比例分配的一个变式，先要正确判断这个 等腰三角形 3 条边的长度比是 5:5:2 还是 5:2:2，根据“三角形两 边之和大于第三边”，可知这个比是 5:5:2，再按比例分配即可求 出底和腰的长度。腰是 15 厘米，底是 6 厘米。 【重点题十】 下面每个方格的边长是 1 厘米。 （1）画一个长方形，面积是 24 平方厘米，长与宽的比是 3:2； （2）画一个长方形，周长是 24 厘米，长与宽的比是 3:1。 【思路点睛】这是一道易错题。第 1 问中，24 平方厘米是长与 宽的乘积，可以想 24=（ ）×（ ），当 24=6×4 时，长与宽的 比正好是 3:2，所以长画 6 格、宽画 4 格。第 2 问是按比例分 配，要注意 24 厘米是长宽之和的 2 倍，可以这样解答：24÷ 2=12（厘米），长：12×(3/(3+1))=9（厘米），宽：12× (1/(3+1))=3（厘米），长画 9 格，宽画 3 格。 【重点题十一】 计算下面各题：6500÷25×4；106－43+57；84×10÷84×10 【问诊】学生中常见的错误分别为：6500÷25×4＝6500÷100＝ 65；106－43+57＝106－100=6；84×10÷84×10＝（84×10）÷ （84×10）＝1。显然受简便计算思维定势的影响，他们把 “6500÷25×4”与“6500÷（25×4）”，“106－43+57”与 106（43+57）”，“84×10÷84×10”与“（84×10）÷（84×10）”混淆。 引导孩子对简便计算进行审题，明确其运算的意义尤其重要。 【练习】6÷ ÷6 ；4×3÷4×3；125×125×64 【重点题十二】 一根 5 米长的绳子如果用去 米，还剩多少米？如果用去 ，还 剩多少米？ 【问诊】学生对于 2 个 和“用去 的意义理解不清楚，误以为“用去 ”是一回事。第一个“用去 米” 米”，是用去了一个具体的 长度，而第二个指的是分率，用去的占全长的 ，剩下全长的 。因此，理解题目中分数的意义是解决此类问题的基础。 【练习】把 米长的绳子平均分成 4 份，每份占全长的几分之 几？每份长多少米？ 【重点题十三】 把一张半径为 3 厘米的圆形纸片平均剪成两个半圆，每个半圆的 周长是多少？ 【问诊】半圆的周长≠圆周长的一半。不少学生误以为圆周长的 一半就是每个半圆形纸片的周长，直接用 2×3.14×3÷2=9.42 （厘米）。半圆周长与圆周长的一半，两个看似相同，实则不 同，半圆的周长=圆周长的一半+直径的长，半圆周长比圆周长 的一半多出了一条直径。因此本题还要用 9.42+3×2=15.42（厘 米）。解决类似的问题要学会画图分析，并注意概念间的不同。 【练习】下图的周长是（ A．25.7 B．31.4 ）米。 C．15.7 D．39.25 【重点题十四】 给 3、5、9 再配上一个数，组成比例。这个数是（ ）。 【问诊】这道题目的答案并不唯一，不少学生在完成此题时，常 常考虑问题不全面，只考虑了其中的一种情况，忽略了其他的情 况。本题可以分三种情况讨论：如果补充的数是最大数，则为 5×9÷3=15；如果补充的数是最小数，则为 3×5÷9= ；如果补 充的数是中间的数，则为 3×9÷5= 。因此，对于一个数学问 题，考虑是否全面，影响着解题的正确率。 【练习】一个等腰三角形的两条边是 8cm 与 15cm。这个三角形 的周长是（ ）。 【重点题十五】 下面哪些是质数，哪些是合数？1，16，19，57，51，23，91， 97，87，79，29 【问诊】完成本题时，有些学生判断质数和合数时受到奇数和偶 数的影响 ，误认为奇数 51 和 91 是质数。其实 51 是 3 的倍数，91 是 7 的 倍数，所以它们都是合数。有些学生认为 19、79、29 是合数， 他们看到这几个数的个位是 9，9 是合数，所以这些数也是合 数，其实这些数都是质数。有些学生对判断 97 是否是质数时， 不知如何思考，凭空猜测。其实我们只要用 97 分别去除以 2、 3、5、7 等质数，发现都不是它们的倍数，所以 97 是质数。 【练习】请找出 100 以内的所有质数。 【重点题十六】 如图，请你把梯形绕 A 点顺时针旋转 900，并画出来。 【问诊】图形旋转有三个关键要素：一是旋转的中心，即绕哪一 个点旋转；二是旋转的方向，三是旋转的角度。本题有 3 种典型 错例： 图 1 旋转的中心点、方向和角度都没有问题，但旋转时把梯形的 上底和下底搞混淆，导致梯形“斜腰”的方向明显出现了错误。图 2 乍一看挺有道理，仔细观察会发现梯形没有绕着 A 点进行旋 转，旋转的中心点发生了错误。图 3“叠加”了图 1 和图 2 的错 误，旋转中心点以及梯形的上底和下底在旋转时都出现了偏差。 【练习】把下图绕 O 点顺时针旋转 90°，并画出来。 【重点题十七】 做一节底面直径为 2 分米