一 圆柱和圆锥 一、圆柱的认识和表面积 1.认识圆柱。 圆柱是由两个大小相等的圆和一个侧面组成的。 (1)圆柱的底面:圆柱的上、下两个面,叫作圆柱的底面。圆柱的上、下两个面是大小相 等的圆。 (2)圆柱的侧面:围成圆柱的曲面叫作圆柱的侧面。圆柱的侧面是曲面。 (3)圆柱的高:圆柱两底面之间的距离,叫作圆柱的高。圆柱有无数条高。 (4)把圆柱的侧面沿高剪开,展开后是长方形(或正方形)。 2.圆柱的表面积。 (1)圆柱的侧面积。 图中圆柱的侧面展开图是长方形,长方形的长等于圆柱的底面周长,宽等于圆柱的高。 长方形的面积= 长 × 宽 ↓ ↓ ↓ 圆柱的侧面积=底面周长×高 如果用 C 表示圆柱的底面周长,用 d 表示圆柱的底面直径,用 r 表示圆柱的底面半径,用 h 表示圆柱的高,用 S 表示圆柱的侧面积,那么 S=Ch 或 S=πdh 或 S=2πrh。 (2)圆柱的表面积。 圆柱的表面积是指圆柱的侧面积与两个底面的面积之和,即圆柱的表面积=圆柱的侧面 积+两个底面的面积。 如果用 S 侧表示圆柱的侧面积,用 S 表表示圆柱的表面积,用 S 底表示圆柱的底面积,那么 S 表=S 侧+2S 底。 (3)特殊圆柱表面积的计算方法。 在实际生活中会遇到特殊的圆柱形物体,如: ① 圆柱形烟囱(通风管),两头都没有底面,所以烟囱(通风管)的表面积就是烟囱(通风管) 的侧面积,等于底面周长×高; ② 无盖的圆柱形水桶(鱼缸),只有一个底面,因此它的表面积包括两部分,即侧面积和一 个底面积,S 表=S 侧+S 底。 二、圆柱的体积 1.圆柱体积的意义。 一个圆柱所占空间的大小,叫作这个圆柱的体积。 2.圆柱体积公式的推导。 由上图可知拼成的长方体和圆柱相比,形状变了,体积没变,长方体的体积等于圆柱的体 积。 长方体的长等于圆柱底面周长的一半,长方体的宽等于圆柱的底面半径。圆柱的底面积 =πr2,长方体的底面积= C ×r=r=πr2,圆柱的底面积=长方体的底面积。 2 长方体的高等于圆柱的高。 长方体的体积=底面积×高 ↓ ↓ ↓ 圆柱的体积= 底面积×高 如果用 V 表示圆柱的体积,用 S 表示圆柱的底面积,用 h 表示圆柱的高,那么圆柱的体积 计算公式为 V=Sh。 3.圆柱形容器容积的计算方法。 圆柱形容器容积的计算方法与体积的计算方法相同,圆柱形容器容积=底面积×高,用字 母表示为 V=Sh。 三、圆锥的认识和体积 1.圆锥的认识。 圆锥是由一个底面(圆形)和一个侧面(曲面)两部分组成的。 (1)圆锥的顶点:圆锥只有一个顶点。 (2)圆锥的底面:圆锥中圆形的面就是它的底面,它只有一个底面。 (3)圆锥的侧面:圆锥周围的面就是它的侧面,圆锥的侧面是一个曲面,展开后是一个扇形。 (4)圆锥的高:从圆锥的顶点到底面圆心的距离叫作圆锥的高,圆锥只有一条高。 2.测量圆锥高的方法: (1)先把圆锥的底面放平; (2)把一块平板水平放在圆锥的顶点上面; (3)竖直测量出平板和底面之间的距离,这个距离就是圆锥的高。 3.直角三角形以任意一条直角边所在的直线为轴,快速旋转一周,它扫过的空间是圆锥 形状。 4.圆锥的体积。 先准备好等底等高的圆柱和圆锥形容器,把圆柱形容器装满水,倒入圆锥形容器中,正好 倒满 3 次。由此发现:等底等高的圆柱和圆锥,圆柱的体积是圆锥的 3 倍,也可以说圆锥的体 1 3 积是圆柱的 。 1 3 圆锥的体积公式=底面积×高× ,如果用 V 表示圆锥的体积,用 S 表示圆锥的底面积,用 1 3 h 表示圆锥的高,那么 V= Sh。