二 比和比例 一、比的意义 1.比的认识。 比的意义:两个数相除,又叫作两个数的比。 认识比的符号:比用符号“∶”表示,读作:比。 比的写法:21 比 14 记作 21∶14 或 21 。 14 比的读法:21∶14 读作:二十一比十四。 比的各部分的名称: 21 ∶ 14=21÷14= 21 3 = 14 2 ↓ ↓ ↓ ↓ 前 比 后 比值 2.求比值的方法。 用比的前项除以比的后项。 3 2 3 1 2 4 例: ∶4= × = 3 8 a b 比与分数、除法之间的联系用字母表示为 a∶b=a÷b= (b≠0)。 3.比与分数、除法之间的区别。 意义不同:比表示两个量(或数)之间的一种关系;除法是一种运算;分数是一个数。 表示方法不同:作为一种运算,除法算式不能用分数表示;比可以用分数表示;分数不一定 表示两个量的比。 结果表达不同:除法一般要求出商;比只有求比值时才通过计算求出商;分数本身就是一 个数值,无需计算。 4.比的基本性质。 比的前项和比的后项同时乘或除以相同的数(0 除外),比值不变,这叫作比的基本性质。 用字母表示为 a∶b=(a×c)∶(b×c)=(a÷c)∶(b÷c)(c≠0)。 5.最简整数比。 指比的前项和后项都是整数,并且是一对互质数,即比的前项和比的后项的最大公因数 是 1。 6.化简比的方法。 化简整数比:把比的前项和后项同时除以它们的最大公因数。 化简小数比:先移动小数点,化成整数比,再化成最简单的整数比。 化简分数比:先用比的前项除以比的后项,求出商,再化成最简单的整数比。 二、比的应用 按一定的比进行分配的问题的解题方法: 可以先求出总量一共被平均分成了几份,然后采用平均分的方法求出每份的具体数量, 最后求出各部分量对应的具体数量。 也可以先求出总量一共被平均分成了几份,再用相应的分数来表示各部分量,最后用分 数乘总量求出各部分量对应的具体数量。 三、比例的意义 表示两个比相等的式子叫作比例。用字母表示为 a∶b=c∶d(b、d 均不为 0)。 组成比例的四个数,叫作比例的项。两端的两项叫作比例的外项,中间的两项叫作比例 的内项。 例: 判断两个比能否组成比例,关键要看它们的比值是否相等。若比值相等,则能组成比例; 若比值不相等,则不能组成比例。 比例的基本性质:在比例中,两个外项的积等于两个内项的积。用字母表示比例的基本 性质:a∶b=c∶d(b、d 均不为 0),那么 ad=bc。 在每个分数形式的比例中,等号两边的分子和分母分别交叉相乘,它们的积都相等。 解比例:求比例中的未知项,叫作解比例。 解比例的方法:根据比例的基本性质解比例,先把比例转化成外项乘积与内项乘积相等 的形式(即方程),再解方程求出未知项的值。 注意:计算完后要检验,检验时把 x 的值代入到原比例式,看比例的左边的比值是否等于 右边的比值,比值相等则解正确,不相等则解错误。 四、比例尺 一幅图的图上距离和实际距离的比,叫作这幅图的比例尺。 求比例尺的方法: 图上距离 =比例尺。 实际距离 图上距离∶实际距离=比例尺或 比例尺的类型: 数值比例尺:用数字形式表示的比例尺,就是数值比例尺。例:1∶70000 或 1 。 70000 线段比例尺:在图上附有一条注有数量的线段来表示和地面上相对应的实际距离,这样 的比例尺叫作线段比例尺。 例: 。 文字比例尺:用文字直接写出图上 1 厘米代表的实际距离是多少,这样的比例尺叫作文 字比例尺。例:图上 1 厘米相当于实际距离 60 千米。 缩小比例尺:在绘图时,有时需要把实际距离按一定的比缩小后在纸上画出来,用这种方 法得到的比例尺就是缩小比例尺。例:1∶20。 放大比例尺:在绘图时,有时需要把实际尺寸按一定的比放大后画在纸上,这样得到的比 例尺就是放大比例尺。例:20∶1。 五、正比例和反比例 正比例:两种相关联的量,一种量变化,另一种量也随着变化,如果这两种量中相对应的两 个数的比值(商)一定,这两种量就叫作成正比例的量,它们的关系叫作正比例关系。如果用字 母 x、y 分别表示这两种相关联的量,用 k 表示它们的比值,上面的数量关系可以用式子表示 y x 为 =k(一定)。 判断两种量是否成正比例的方法:先找变量(一种量是否随着另一种量的变化而变化),再 找定量(两种量中相对应的两个数的比值是否一定),如果两个相关联的量的比值一定,则成正 比例,如果比值不一定,则不成正比例。 正比例关系图像的特征:正比例关系的图像是一条经过原点的直线。从图像上可以直观 地看到两种量的变化情况,不用计算,由一个量的值可以直接找到对应的另一个量的值。 反比例:两种相关联的量,一种量变化,另一种量也随着变化,如果这两种量中相对应的两 个数的积一定,这两种量就叫作成反比例的量,它们的关系叫作反比例关系。 如果用字母 x、y 分别表示这两种相关联的量,用 k 表示它们的积,上面的数量关系可以 用式子表示为 xy=k(一定)。 判断两种量是否成反比例的方法:先判断这两种量是不是相关联的量,再根据数量关系 式判断这两种量中相对应的两个数的积是否一定,若积一定,则这两种量就成反比例,否则不 成反比例。 判断两种量成正比例还是成反比例的方法: (1)判断这两种量是否相关联,即一种量是否随另一种量的变化而变化。 (2)看这两种相关联的量中相对应的两个数的比值一定还是积一定 ,如果比值一定,就成 正比例;如果积一定,就成反比例。 六、解决问题 用比例知识解决实际问题的方法:根据问题中的不变量找出两种相关联的量,并判断这 两种量成什么比例,根据正、反比例关系式列出相应的比例,求解即可。 保持物体的图像或图形的形状不变而使物体的图像或图形变大,叫作放大。 保持物体的图像或图形的形状不变而使物体的图像或图形变小,叫作缩小。 在方格纸上按一定的比将图形放大或缩小分为三步: (1)看图形各边分别占几个格; (2)计算按给定的比将图形的各边放大或缩小后得到的图形的各边分别占几个格; (3)按计算出的各边的长画出放大或缩小后的图形。