讲义版： 平面组合图形的计算(一)圆的面积 专题简析 在进行组合图形的面积计算时,要仔细观察,认真思考,看清组合图形是由几个基本单 位组成的,还要找出图中的隐蔽条件与已知条件和要求的问题间的关系。并且同学们应该牢 记几个常见的圆与正方形的关系量:在正方形里的最大圆的面积占所在正方形的面积 而在圆内的最大正方形占所在圆的面积的 3.14 , 4 2 ，这些知识点都应该常记于心,并牢牢掌 3， 14 界! 例 1:求图中阴影部分的面积(单位:厘米)。 【分析】如图所示的特点, 阴影部分的面积可以拼成 1/4 圆的面积。 62 ╳ 3 .14 ╳ 1 = 28.26(平方厘米) 4 练习 1 1.求下面各个图形中阴影部分的面积(单位:厘米)。 2.求下面各个图形中阴影部分的面积(单位:厘米)。 3.求图中阴影部分的面积(单位:厘米)。 例 2: 如图所示,两圆半径都是 1 厘米,且图中两个阴影部分的面积相等,求长方形 ABO1O 的面积。 【分析】因为两圆的半径相等,所以两个扇形中的空白部分相等。又因为图中两个阴影部分 的面积相等,所以扇形的面积等于长方形面积的一半。所以 3.14 ╳ 12 ╳ 1 ╳ 2 = 1.57(平方厘米) 4 练习 2 I.如图所示,圆的周长为 12.56 厘米, AC 两点把圆分 成相等的两段弧,阴影部分(1)的面积与阴影部分 (2)的面积相等,求平行四边形 ABCD 的面积。 2.如图所示,AB=BC=8 厘米,求阴影部分的面积。 例题 3:如图所示,图中圆的直径 AB 是 4 厘米,平行四边形 ABCD 的面积是 7 平方厘米, ∠ABC=30 度,求阴影部分的面积 (得数保留两位小数)。 【分析】阴影部分的面积等于平行四边形的面积减去扇形 AOC 的面积,再减去三角形 BOC 的面积。 半径: 4÷2=2(厘米) 扇形的圆心角: 180º- (180º- 30º╳2) = 60º 扇形的面积:≈2.09 (平方厘米) 三角形 BOC 的面积:7÷2÷2=1.75(平方厘米) 阴影面积：7 - (2.09 + 1.75)=3.16(平方厘米) 练习 3 1．如图所示,平行四边形的面积是 100 平方厘米,求 阴影部分的面积。 2．如图所示,O 是小圆的园心,CO 垂直于 AB,三角形 ABC 的面积是 45 平方厘米,求阴影部分的面积。 平面组合图形的计算面积(二) 例题 1．如图所示,三角形 ABC 是直角三角形,AC 长 4 厘米,BC 长 2 厘米,以 AC、BC 为直径画 半圆,两个半圆的交点在 AB 边上,求图中阴影部分的面积。 练习 1: 1．如图所示,正方形中对角线长 10 厘米,过正方形两个相对的顶点以其边长为半径分别做弧, 求图形中阴影部分的面积(试一试,你能想出几种办法)。 2.求下面各图形中阴影部分的面积(单位:厘米)。 3．求右面各图形中阴影部分的面积(单位:厘米)。 4．求右面各图形中阴影部分的面积(单位:厘米)。 例题 2 如图所示,求图中阴影部分的面积(单位:厘米)。 练习:如图所示,图中平行四边形的一个角为 60º,两条边的长分 别为 6 厘米和 8 厘米,高为 5.2 厘米。求图中阴影部分的面积。 练习 3 1．如图,三角形 ABC 的面积是 31.2 平方厘米,圆的直径 AC=6 厘米,BD:DC=3:1.求阴影部分的 面积。 2.如图所示,求阴影部分的面积(单位:厘米,得数保留两位小数) 3.如图所示,求阴影部分的面积(单位:厘米,得数保留两位小数) 例 4:如图所示,求图中阴影部分的面积。 【分析】以等腰三角形底的中点为中心点 把图的右半部分向下旋转 90 度后,阴影部分的面 积就变为从半径为 10 厘米的半圆面积中,减去两直角边为 10 厘米的等腰直角三角形的面积 所得的差。 1 2 3.14╳102╳ - 10╳10÷2=107(平方厘米) 练习 4 1.如图所示,求阴影部分的面积(单位:厘米) 2.如图所示,用一张斜边为 29 厘米的红色直角三角形纸片,一张斜边为 49 厘米的蓝色直角三 角形纸片,一张黄色的正方形纸片,拼成一个直角三角形 求红蓝两张三角形纸片面积之和是 多少? 答案版： 平面组合图形的计算(一)圆的面积 专题简析 在进行组合图形的面积计算时,要仔细观察,认真思考,看清组合图形是由几个基本单 位组成的,还要找出图中的隐蔽条件与已知条件和要求的问题间的关系。并且同学们应该牢 记几个常见的圆与正方形的关系量:在正方形里的最大圆的面积占所在正方形的面积 而在圆内的最大正方形占所在圆的面积的 3.14 , 4 2 ，这些知识点都应该常记于心,并牢牢掌 3， 14 界! 例 1:求图中阴影部分的面积(单位:厘米)。 【分析】如图所示的特点, 阴影部分的面积可以拼成 1/4 圆的面积。 1 = 28.26(平方厘米) 4 62 ╳ 3 .14 ╳ 练习 1 1.求下面各个图形中阴影部分的面积(单位:厘米)。 阴影面积相当于三角形面积 阴影面积：6╳6÷2=18(cm2) 2.求下面各个图形中阴影部分的面积(单位:厘米)。 通过拼凑，阴影部分面积相当于两个小三角形的面积和 小三角形的高；10÷2=5(cm)) 阴影面积：10╳5÷2╳2=50(cm)2) 3.求图中阴影部分的面积(单位:厘米)。 1 4 阴影部分面积 = 个扇形 阴影面积: - 三角形 1 ╳3.14╳42 - 4╳2÷2 4 =12.56-4 =8.56cm)2) 例 2: 如图所示,两圆半径都是 1 厘米,且图中两个阴影部分的面积相等,求长方形 ABO1O 的面积。 【分析】因为两圆的半径相等,所以两个扇形中的空白部分相等。又因为图中两个阴影部分 的面积相等,所以扇形的面积等于长方形面积的一半。所以 3.14 ╳ 12 ╳ 1 ╳ 2 = 1.57(平方厘米) 4 练习 2 I.如图所示,圆的周长为 12.56 厘米, AC 两点把圆分 成相等的两段弧,阴影部分(1)的面积与阴影部分 (2)的面积相等,求平行四边形 ABCD 的面积。 圆的半径: 12.56÷3.14÷2=2(cm) 圆的面积 = 平行四边形的面积 阴影面积: 3.14╳22 = 12.56(cm2) 2.如图所示,AB=BC=8 厘米,求阴影部分的面积。 阴影面积=扇形 A0D+三角形 DOC 1 4 阴影面积: ╳3.14╳42 + 4╳4÷2 =12.56+8 =20.56 (cm)2) 例题 3:如图所示,图中圆的直径 AB 是 4 厘米,平行四边形 ABCD 的 面 积是 7 平方厘米, ∠ABC=30 度,求阴影部分的面积 (得数保留两位小数)。 【分析】阴影部分的面积等于平行四边形的面积减去扇形 AOC 的面积,再减去三角形 BOC 的面积。 半径: 4÷2=2(厘米) 扇形的圆心角: 180º- (180º- 30º╳2) = 60º 扇形的面积:≈2.09 (平方厘米) 三角形 BOC 的面积:7÷2÷2=1.75(平方厘米) 阴影面积：7 - (2.09 + 1.75)=3.16(平方厘米) 练习 3 1．如图所示,平行四边形的面积是 100 平方厘米,求 阴影部分的面积。 阴影面积=扇形 A0B - 三角形 AOB 设圆的半径为 r，则平行四边形面积为 r╳2r=2r2=100, 所以 r2=50 1 4 扇形面积；3.14╳50╳ =39.25（cm2） 三角行面积：50÷2=25(cm2) 阴影面积：39.25-25=14.25(cm2) 2．如图所示,O 是小圆的园心,CO 垂直于 AB,三角形 ABC 的面积是 45 平方厘米,求阴影部分的面积。 阴影面积=三角形面积+小半圆面积-扇形 ABC 面积 设小圆半径为 r， 三角形面积：r╳2r÷2=r2=45（cm2） 1 2 小半圆面积：3.14╳45╳ =70.65（cm2） 设 AC 为 R， 1 2 R╳R╳ =45（cm2）,R2=90（cm2） 1 4 扇形 ABC 面积：3.14╳90╳ =70.65（cm2） 阴影面积：45+70.65-70.65=45（cm2） 平面组合图形的计算面积(二) 例题 1．如图所示,三角形 ABC 是直角三角形,AC 长 4 厘米,BC 长 2 厘米,以 AC、BC 为直径画 半圆,两个半圆的交点在 AB 边上,求图中阴影部分的面积。 阴影面积=大半圆面积+小半圆面积-三角形面积 阴影面积：3.14╳22╳ 1 +3.14╳12╳ 1 -4╳2╳ 1 2 2 2 =6.28+1.57-4 =3.85（cm2） 练习 1: 1．如图所示,正方形中对角线长 10 厘米,过正方形两个相对的顶点以其边长为半径分别做弧, 求图形中阴影部分的面积(试一试,你能想出几种办法)。 设正方形边长为 r， 正方形面积=边长╳边长=对角线╳对角线÷2 即 r2=10╳10÷2=50（cm2） 1 2 阴影面积=叶形面积= πr2-r2 1 2 阴影面积： ╳3.14╳50-50=28.5（cm2） 2.求下面各图形中阴影部分的面积(单位:厘米)。 1 2 阴影面积=叶形面积╳4=( πr2-r2)╳4=2πr2-4r2 阴影面积: 2╳3.14╳52-4╳52 =157-100 =57（cm2） 3．求右面各图形中阴影部分的面积(单位:厘米)。 阴影面积=半圆面积+扇形面积-三角形面积 1 2 1 8 阴影面积: ╳3.14╳52+ ╳3.14╳102-10╳10÷2 =39.25+39.25-50 =28.5（cm2） 4．求右面各图形中阴影部分的面积(单位:厘米)。 阴影面积=小半圆面积+中半圆面积+三角形面积-大半圆面积 1 1 2 2 1 = ╳3.14╳(1.52+22-2.52)+ 3╳4÷2 2 1 = ╳3.14╳0+6 2 阴影面积: ╳3.14╳1.52+ ╳3.14╳22+3╳4÷2 - 1 ╳3.14╳2.52 2 =6（cm2） 例题 2 如图所示,求图中阴影部分的面积(单位:厘米)。 阴影面积=大扇形面积+小扇形面积-长方形面积 1 1 4 4 1 = ╳3.14╳(62+42)-24 4 阴影面积: ╳3.14╳62+ ╳3.14╳42 - 6╳4 =40.82-24 =16.82（cm2） 练习:如图所示,图中平行四边形的一个角为 60º,两条边的长分别为 6 厘米和 8 厘米,高为 5.2 厘米。求图中阴影部分的面积。 阴影面积=（小扇形面积+大扇形面积-平行四边形面积） ╳2 1 6 1 6 阴影