第一单元 分数乘法 一、分数乘法的计算法则： 1、分数与整数相乘：分子与整数相乘的积做分子，分母不变。 （整数和分母约分） 2、分数与分数相乘：用分子相乘的积做分子，分母相乘的积做分母。 3、为了计算简便，能约分的要先约分，再计算。 注意：当带分数进行乘法计算时，要先把带分数化成假分数再进行计算。 二、规律：（乘法中比较大小时） 一个数（ 0 除外）乘大于 1 的数 (即除 1 以外的假分数 ) ，积大于这个数。 一个数（ 0 除外）乘小于 1 的数（即真分数） ，积小于这个数。 三、整数乘法的交换律、结合律和分配律，对于分数乘法也同样适用。 乘法交换律： a × b 乘法结合律： ( a × b )×c 乘法分配律： （ a + b ）× c 四、分数乘法的解决问题（ 1、找单位“ 1”： = b × a a × (b × c) = = a c + b c = （ a + b ）× c ac+bc 如果单位 1 是已知的 , 要求它的几分之几，就用乘法 在分率句中分率的前面； 或 ） “占”、“是”、“比”的后面 2、写数量关系式技巧： （1）“的” 相当于 “×” “占”、“是”、“比”相当于“ = ” （2） 单位 1×比率 =比较量 第二单元 位置与方向 一、确定物体位置的方法： 1、先找观测点； 2、再定方向（看方向夹角的度数） ； 3、最后确定距离（看比例尺） 二、描绘路线图的关键是选好观测点，建立方向标，确定方向和路程。 三、位置关系的相对性： 两地的位置具有相对性在叙述两地的位置关系时， 观测点不同， 叙述的方向正好相反， 数和距离正好相等。 例如：小白家在小黑家的东偏南 小黑家在小白家的西偏北 30 度方向上，距离 20km 。 30 度方向上，距离 20km 第三单元 倒数的意义： 乘积是 1 的两个数互为倒数。 分数除法 1 的倒数是 1； 0 没有倒数 强调：互为倒数，即倒数是两个数的关系，它们互相依存，倒数不能单独存在。 一、分数除法 1、分数除法的计算法则： 除以一个不为 0 的数，等于乘这个数的倒数。 2、 “ [ ] ”叫做中括号。一个算式里，如果既有小括号，又有中括号，要先算小括号里面 的，再算中括号里面的。 二、解决问题（ 单位“ 1”未知的，就用除法 ） 1、谁是谁的几分之几 单位 1×比率 =比较量 2、比谁多比谁少 单位 1×比率 =比较量（增加的量对应增加的比率，减少的量对应减 少的比率，要求的量对应要求的量占单位一的比率） 3、两个未知数 用解方程或者比率的方法 而度 4、工程问题 工作总量 =工作总时间×工作效率 部分工作量 =部分工作时间×工作效率 第四单元 比 一、比的意义 1、比的意义：两个数相除又叫做两个数的比。 2、区分比和比值 比：表示两个数的关系，可以写成比的形式，也可以用分数表示。 比值：相当于商，是一个数，可以是整数，分数，也可以是小数。 二、比的基本性质 1、求比值：直接除（ 15： 12=15÷ 12=1.25） 2、化简比：根据比的前项和后项同时乘以或除以同一个数零除外，比的大小不变 3、路程一定，速度比和时间比成反比（如：路程相同，速度比是 4： 5，时间比则为 5： 4） 工作总量一定，工作效率和工作时间成反比 第五单元 圆 一、圆的周长 1、圆周率：任意一个圆的周长与它的直径的比值是一个固定的数，我们把它叫做圆周率， 用字母 π 表示。 （1）、圆周率 π 是一个无限不循环小数。在计算时，一般取 （2）、在判断时，圆周长与它直径的比值是 π ≈ 3.14 π 倍，而不是 3.14 倍。 （3）、世界上第一个把圆周率算出来的人是我国的数学家祖冲之。 2、圆的周长公式： C= πd C= 2 π r 二、圆的面积 1、圆的面积：圆所占平面的大小叫做圆的面积，用字母 S 表示。 2、一条弧和经过这条弧两端的两条半径所围成的图形叫扇形， 顶点在圆心的角叫做圆心角。 3、圆面积公式的推导： （1）、把一个圆等分（偶数份）成的扇形份数越多，拼成的图像越接近长方形。 （2）、拼出的图形与圆的周长和半径的关系 : 长方形的宽 =r 长方形的长 =C/2 = πr 圆的面积 = 圆周长的一半×圆的半径 =πr× r=πr 2 4、环形的面积： 一个环形，外圆的半径是 2 2 R，内圆的半径是 2 r。（ R＝ r＋环的宽度） 2 S 环 =πR - πr 或 S 环 =π ×(R - r ） 三、常用各 π值结果： π = 3.14 2π = 6.28 3π = 9.42 4π = 12.56 5π = 15.7 6π = 18.84 7π = 21.98 8π = 25.12 9π = 28.26 10π = 31.4 第六单元 百分数（一） 一、百分数的意义和写法 1、百分数的意义：表示一个数是另一个数的百分之几。 百分数是指两个数的比，因此也叫百分率或百分比。 2、 百分数和分数的区别： 百分数只表示两个数的倍比关系，不能表示具体的数量，所以不能带单位； 分数既可以表示具体的数，又可以表示两个数的关系，表示具体数时可以带单位。 二、百分数与小数的互化： 1、小数化成百分数：把小数点向右移两位，同时添上百分号。 2、百分数化成小数：把小数点向左移两位，同时去掉百分号。 三、常见的百分率的计算方法： ①合格率 =合格产品数 /产品总数× 100% ②发芽率 = 发芽种子数 /种子总数× 100% ③出勤率 =出勤人数 /总人数× 100% ④达标率 =达标人数 /总人数× 100% ⑤成活率 =成活数量 /总数量× 100% ⑥出粉率 =粉的重量 /出粉物的重量× 100% ⑦出米率 =米的数量 /出米物的重量 ⑧出油率 =油的重量 /出油物的重量数× 第七单元 扇形统计图 一、扇形统计图的意义： 用整个圆的面积表示总数，用圆内各个扇形面积表示各部分数量同总数之间的关系。 也就是各部分数量占总数的百分比（因此也叫百分比图） 。 二、常用统计图的优点： 1、条形统计图：可以清楚的看出各种数量的多少。 2、折线统计图：不仅可以看出各种数量的多少，还可以清晰看出数量的增减变化情况。 3、扇形统计图：能够清楚的反映出各部分数量同总数之间的关系。 三、扇形的面积大小：在同一个圆中，扇形的大小与这个扇形的圆心角的大小有关，圆心角 越大，扇形越大。 （因此扇形面积占圆面积的百分比，同时也是该扇形圆心角度数占圆周角 度数的百分比。 ） 100% 加法交换律简算例子 0.875+ 加法结合律简算例子 2 1 + 3 8 乘法交换律简算例子 2 1 + +0.8 3 4 5 0.4 × 33× 2 = 7 2 1 + + 8 3 8 = 2 1 4 + + 3 4 5 = 7 1 2 + + 8 8 3 = 2 1 4 +( + ) 3 4 5 = = 2 +1 3 =1×3 =1+ 2 3 含加法交换律与结合律 0.875+ = 16 23×0.375 × 3 2 5 ×33× 5 2 3 16 =23 × × 8 3 2 2 × ×33 5 5 含乘法交换律与结合律 2 1 1 + + 3 8 3 乘法结合律简算例子 3 16 =23 × ( × ) 8 3 =23 ×2 数字换减法式 29 16 7 0.375 × × × 7 3 29 数字换加法式 5 35× 36 9 101 × 10 = 7 2 1 1 + + + 8 3 8 3 = 3 29 16 7 × × × 8 7 3 29 = (36-1) = 7 1 2 1 + + + 8 8 3 3 = 3 16 29 7 × × × 8 3 7 29 5 5 =36 × -1 × 36 36 =( 7 1 2 1 + )+ ( + ) 8 8 3 3 =1+1 =( 3 16 29 7 × )×( × ) 8 3 7 29 =5- 101 ×0.9- 9 9 =100 × +1× 10 10 5 36 9 ×1 10 乘法分配律提取式 95.5÷ 1.6-15.5÷ 1.6 乘法分配律 (添项 ) 101 ×0.9- 9 10 9 9 =101 × ×1 10 10 =(95.5-15.5) ÷ 1.6 9 9 =101 × 10 10 9 9 =101 × -1 × 10 10 =80 ÷ 1.6 9 9 =101 × -1 × 10 10 9 =(101-1) × 10 =800÷ 16 9 =100 × 10 减法的性质简算例子 =18- 9 = (100 +1) × 10 =1+ 9 10 =2×1 乘法分配律提取式 18- 5 × 36 5 -0.375 8 5 3 8 8 =18- ( 5 3 + ) 8 8 =18-1 除法的性质简算例子 3200÷ 2.5÷ 0.4 =(101-1) 9 × 10 9 =100 × 10 减法的性质简算例子 3 7 1 -0.75 4 16 12 3 7 3 4 16 4 =12 3 3 7 - 4 4 16 =12 =1 =1 减法的性质简算例子 =1- 7 16 2 7 -( +0.4) 5 16 乘法分配律 (添项 ) 5 5 52× +29 × -0.625 8 8 5 5 5 =52 × +29 × 8 8 8 5 5 5 =52 × +29 × -1 × 8 8 8 5 =(52 +29 -1) × 8 5 =80 × 8 数字换乘法式 0.56 × 125 2 7 2 -( + ) 5 16 5 =0.7 × 0.8 × 125 2 2 7 - 5 5 16 =0.7 × (0.8 × 125) 7 16 =0.7 × 100 =12- 除法的性质简算例子 除法的性质简算例子 数字换乘法式 2700÷2.5÷ 2.7 5900÷ (2.5 × 5.9) 33333× 33333 =3200÷ (2.5× 0.4) =2700÷ 2.7÷ 2.5 =5900 ÷ 5.9÷ 2.5 =11111× 3× 33333 =3200÷ 1 =1000 ÷ 2.5 =1000÷ 2.5 =11111× 99999 同级运算中，第一个数不能动，后面的数可以带着符号搬家 =11111× (100000-1 )