行程问题 知识互联网 题型一：流水行船 一、流水行船关键点——“水速” 在流水行船问题中，我们的参考系将不再是速度为 0 的参考系，因为水本身也是在流动的， 所以这里我们必须考虑水流速度对船只速度的影响，具体为： ① 顺水速度=船速+水速；②逆水速度=船速-水速．（可理解为和差问题） 由上述两个式子我们不难得出一个有用的结论： 船速=(顺水速度+逆水速度)÷2； 水速=(顺水速度-逆水速度)÷2 此外，对于河流中的漂浮物，我们还会经常用到一个常识性性质，即：漂浮物速度=流水速度。 二、流水行船问题中的相遇与追及 1、两只船在河流中相遇问题，当甲、乙两船（甲在上游、乙在下游）在江河里相向开出： 甲船顺水速度+乙船逆水速度=（甲船速+水速）＋（乙船速-水速）=甲船船速+乙船船速． 2、同样道理，如果两只船，同向运动，一只船追上另一只船所用的时间，与水速无关． 甲船顺水速度-乙船顺水速度=（甲船速+水速）-（乙船速+水速）=甲船速-乙船速． 也有：甲船逆水速度-乙船逆水速度=（甲船速-水速）-（乙船速-水速）=甲船速-乙船速． 说明：两船在水中的相遇与追及问题同静水中的及两车在陆地上的相遇与追及问题一样，与水速没有 关系． 第一级（下）·行程问题·短期班·学生版 1 三、扶梯问题说明 扶梯问题与流水行船问题十分相像，区别只在与这里的速度并不是我们常见的“千米每小时”， 或者“米每秒”，而是“每分钟走多少个台阶”，或是“每秒钟走多少个台阶”。从而在扶梯问题中 “总路程”并不是求扶梯有多少“千米”或者多少“米”，而是求扶梯的“静止时可见台阶总数”． 四、扶梯问题解题关键 1、当人顺着扶梯的运动方向走台阶时，相当与流水行船中的“顺水行驶”，这里的水速就是扶梯自身 的台阶运行速度。有：人的速度+扶梯速度=人在扶梯上的实际速度 扶梯静止可见台阶总数=时间×人速+时间×扶梯速=人走的台阶数+扶梯自动运行的台阶数 2、当人沿着扶梯逆行时，有：人的速度-扶梯速度=人在扶梯上的实际速度 扶梯静止可见台阶总数=时间×人速-时间×扶梯速=人走的台阶数-扶梯自动运行的台阶数． 例题赏析 【例1】 甲、乙两船分别在一条河的 A 、 B 两地同时相向而行，甲顺流而下，乙逆流而行．相遇时， 甲、乙两船行了相等的航程，相遇后继续前进，甲到达 B 地，乙到达 A 地后，都立即按原来 路线返航，两船第二次相遇时，甲船比乙船少行 1 千米．如果从第一次相遇到第二次相遇时间 相隔 1 小时 20 分，则河水的流速为多少？ 【解析】 第一次相遇时两船航程相等，所以两船速度相等，即 V甲  V水  V乙  V水 ，得 V乙 V甲  2V 水 ；第 一次相遇后两船继续前行，速度仍然相等，所以会同时到达 A 、 B 两地，且所用时间与从出 发到第一次相遇所用时间相同，所行的路程也相等；从两船开始返航到第二次相遇，甲、乙 两船又共行驶了 A 、 B 单程，由于两船的速度和不变，所以所用的时间与从出发到第一次相 遇所用时间相同，故与从第一次相遇到各自到达 A 、 B 两地所用的时间也相同，所用的时间 2 4 2 为：  2  (小时)①；返回时两船速度差为： V乙  V水  V甲  V水  4V水 ②，故 4V水   1 ， 3 3 3 3 得 V水  (千米/时) 8 题型二：火车过桥 思路导航 火车过桥问题 1、火车过桥（隧道） ：一个有长度、有速度，一个有长度、但没速度， 解法：火车车长＋桥(隧道)长度(总路程) ＝火车速度×通过的时间； 2、火车＋树(电线杆)：一个有长度、有速度，一个没长度、没速度， 解法：火车车长(总路程)＝火车速度×通过时间； 3、火车＋人：一个有长度、有速度，一个没长度、但有速度， ⑴火车＋迎面行走的人：相当于相遇问题， 解法：火车车长(总路程) ＝(火车速度＋人的速度)×迎面错过的时间； ⑵火车＋同向行走的人：相当于追及问题， 解法：火车车长(总路程) ＝(火车速度—人的速度) ×追及的时间； ⑶火车＋坐在火车上的人：火车与人的相遇和追及问题 ； 解法：火车车长(总路程) ＝(火车速度  人的速度) ×迎面错过的时间（追及的时间） 2 第一级（下）·行程问题·短期班·学生版 4、火车＋火车：一个有长度、有速度，一个也有长度、有速度， ⑴错车问题：相当于相遇问题， 解法：快车车长＋慢车车长(总路程) ＝ (快车速度＋慢车速度) ×错车时间； ⑵超车问题：相当于追及问题， 解法：快车车长＋慢车车长(总路程) ＝ (快车速度—慢车速度) ×错车时间； 例题赏析 【例2】 某日，学而思老师集体出游，大家在火车上玩起抢幸运数的游戏．到国宇老师出题时，国宇 老师在纸上任性写下“火车长度即谜底”的纸条递给了主持人猩猩老师．猩猩老师嘀咕到， “我 怎么知道这火车长度呢” ，此时宗辉老师支招到，“我刚刚看过标识牌又测了一下咱们火车完 全通过一条 340 米的隧道用了 35 秒，又完全通过一座长 646 米的大桥用了 53 秒，你知道了 吧？” “原来如此。 ”猩猩老师得意一笑，请问： ⑴你知道这列火车的长度是多少米吗？ ⑵如果这列火车通过一根笔直的电线杆需要多少秒？ 【解析】 ⑴速度：  646  340    53  35  17 （米/秒） 长度： 17  35  340  255 （米） ⑵ 255 17=15 （秒） 【例3】 ⑴一列长 110 米的列车，以每小时 30 千米的速度向北驶去，14 点 10 分火车追上一个向北走 的工人，15 秒后离开工人，14 点 16 分迎面遇到一个向南走的学生，12 秒后离开学生．问工 人、学生何时相遇？ ⑵米老鼠沿着铁路旁的一条小路向前走，一列货车从后面开过来，8：00 货车追上了米老鼠， 又过了 30 秒，货车超过了它；另有一列客车迎面驶来，9：30 客车和米老鼠相遇，又过了 12 秒客车离开了它．如果客车的长度是货车的 2 倍，客车的速度是货车的 3 倍．请问：客车和 货车什么时间相遇？两车错车需要多长时间？ 【解析】 ⑴火车速度：30 千米/小时= 25 （米/秒）； 3 25   工人速度： 15   110   15  1 （米/秒） ； 3   25  5  学生速度： 110  12    12  （米/秒） ； 3  6  从 14 点 16 分算起，工人、学生相遇所需时间， 11  25   5  22 ．   1  6  1     6   24 （分） 3 6 3 6     所以工人、学生在 14 时 40 分相遇． 答：工人、学生 14 时 40 分相遇． ⑵设米老鼠速度是 a，货车速度是 b，则客车速度是 3b，货车车长 c，则客车车长 2c 1 c  b  a   2 第一级（下）·行程问题·短期班·学生版 3 2c   3b  a   1 5 得， 2a  b ， c  a ， 2 9：30 时，货车距离米老鼠 90×（b﹣c） ，即 270c， 此时客车与货车距离等于货车与米老鼠距离，即 270c， 可得 270c=（3b﹣b）×t，得 t=33.75 客车和货车在 10：03 又 45 秒相遇． 3c=t×（3b﹣b） ，得 t=0.375 两车错车需要 22.5 秒时间． 答：客车和货车在 10：03 又 45 秒相遇，两车错车需要 225 秒． 【例4】 梁邦文老师家在两路口，如果骑车到学而思工贸教学点，每隔 3 分钟就能见到一辆 332 路公 共汽车迎面开来； 如果步行到工贸教学点， 每隔 4 分钟能见到一辆 332 路公共汽车迎面开来．已 知任意两辆 332 路汽车的发车间隔都是一样的，并且梁邦文老师骑车速度是梁邦文老师步行 速度的 3 倍，那么如果梁邦文老师乘 332 路汽车到工贸教学点的话，每隔几分钟能见到一辆 332 路公共汽车迎面开来． 【解析】 可设梁邦文老师步行的速度为 V步 ，公交的速度为 V车 ，则梁邦文老师骑车的速度=3 V步 ， 由此可得： 3   3V步  V车   4  V步  V车  ，解得： 5V步  V车 ． 3  3V步  5V步    5V步  5V步   24V步 10V步  2.4 （分钟） ． 答：梁邦文老师坐 332 路汽车到人大附中的话，每隔 2.4 分钟就能见到一辆 332 路公共汽车 迎面开来． 【例5】 国涛老师上午八时多开始做早餐时，钟表上的时针和分针正好重合在一起．九时多做完早餐时时针和分 针恰好又重合在一起．国涛老师花了多长时间做完早餐的？ 【解析】 40  1  5  60   43 7 （分） ， 11 8 点多时针与分针正好重合在一起的时间是： 8  43 45  1  5  60   49 7 7  8 时 43 分， 11 11 1 （分） ， 11 9 点多时针与分针正好重合在一起的时间是： 9  49 答：国涛老师花了 1 小时 5 1 1  9 时 49 分． 11 11 5 分做完早餐． 11 题型三：多个对象间的行程问题 4 第一级（下）·行程问题·短期班·学生版 思路导航 多人相遇追及的解题关键 去掉多余人，分析路程差 多次相遇追及的解题关键 几个全程 多次相遇与全程的关系 1. 两地相向出发：第 1 次相遇，共走 1 个全程； 第 2 次相遇，共走 3 个全程； 第 3 次相遇，共走 5 个全程； …………， ………………； 第 N 次相遇，共走 2N-1 个全程； 注意：除了第 1 次，剩下的次与次之间都是 2 个全程。即甲第 1 次如果走了 N 米，以后每次都走 2N 米． 2. 同地同向出发：第 1 次相遇，共走 2 个全程； 第 2 次相遇，共走 4 个全程； 第 3 次相遇，共走 6 个全程； …………， ………………； 第 N 次相遇，共走 2N 个全程． 例题赏析 【例6】 从 A 城到 B 城有一段公路，分成三段，在第一段上，汽车速度是每小时 40 千米．在第二段 上，汽车速度是每小时 90 千米，在第三段上，汽车速度是每小时 50 千米．已知第一段公路 的长恰好是第三段的 2 倍，现在有两辆汽车分别从 A、B 两城同时出发，相向而行，1 小时 20 分后，在第二段的 处相遇，那么 A、B 两城相距多少千米？ 【解析】 根据题意可知第一段速度慢，那么相遇时是在离 A 城近的地方相遇． 设第三段公路长 x 千米，那么第一段公路长 2x 千米，由题意得： 1 小时 20 分=