2 动点问题 知识互联网 题型一：绝对值方程 教师备课提醒：由于绝对方程会以“解普通一元一次方程”为基础，所以授课老师在讲解本部分内容 时候根据班级情况复习普通的一元一次方程解法． 含绝对值的一次方程的解法 ⑴形如 ax + b = c ( a ≠ 0 ) 型的绝对值方程的解法： ①当 c < 0 时，根据绝对值的非负性，可知此时方程无解； b ； a −c − b c−b c 或 ax + b =−c ，解得 x = ③当 c > 0 时，原方程变为 ax + b = 或x= ． a a 0 ，即 ax + b = 0 ，解得 x = − ②当 c = 0 时，原方程变为 ax + b = ⑵形如 ax + b = cx + d ( ac ≠ 0 ) 型的绝对值方程的解法： ①根据绝对值代数意义将原方程化为两个方程 ax + b = cx + d 和 ax + b =− ( cx + d ) ； 第一级（上） ·动点问题·短期班·教师版 1 ②分别解方程 ax + b = cx + d 和 ax + b =− ( cx + d ) ． ⑶形如 ax + b = cx + d ( ac ≠ 0 ) 型的绝对值方程的解法： ①根据绝对值的非负性可知 cx + d ≥ 0 ，求出 x 的取值范围； ②根据绝对值的代数意义将原方程化为两个方程 ax + b = cx + d 和 ax + b =− ( cx + d ) ； ③分别解方程 ax + b = cx + d 和 ax + b =− ( cx + d ) ； ④将求得的解代入 cx + d ≥ 0 检验，舍去不合条件的解． 例题赏析 【例题1】 2 ，则 x = ⑴若 x + 5 = 4 ，则 x = ⑵若 3x + 1 = 【解析】 【例题2】 【解析】 【例题3】 【解析】 ． ． 1 1 1． ⑶解关于 x 的绝对值方程： 1 − 2 x − = 3 6 5 9 5 ⑴ x = −3 或 x = −7 ；⑵ x = 1 或 x = − ；⑶ x = 或 x = − 3 4 4 ⑴ 2x + 3 = 4 − x ； ⑵ −3x + 2 = 3 + x ． 1 1 5 ⑴ x = 或 x = −7 ；⑵ x = − 或 x = 3 4 2 ． ⑴若 5 x + 6 = 6 x − 5 ，则 x = ⑵解方程 4 x + 3 = 2 x + 9 ． ⑴ 11 ； ⑵解法一： 3 0 得 x = − ，将数分成两段进行讨论： 令 4x + 3 = 4 3 3 ①当 x ≤ − 时，原方程可化简为： −4 x − 3 = 2 x + 9 ， x = −2 在 x ≤ − 的范围内，是方程 4 4 的解． 3 3 ②当 x > − 时，原方程可化简为： 4 x + 3 = 2 x + 9 ， x = 3 在 x > − 的范围内，是方程的 4 4 解． 综上所述 x = −2 和 x = 3 是方程的解． 解法二： 9 依据绝对值的非负性可知 2 x + 9 ≥ 0 ，即 x ≥ − ．原绝对值方程可以转化为 2 ① 4 x + 3 = 2 x + 9 ，解得： x = 3 ，经检验符合题意． ) x = −2 ，经检验符合题意． ② 4 x + 3 =−(2 x + 9 ，解得 综合①②可知 x = −2 和 x = 3 是方程的解． 2 第一级（上） ·动点问题·短期班·教师版 题型二：数轴上动点问题 思路导航 1．数轴上两点的距离①两点间的距离=这两点分别所表示的数的差的绝对值，②两点间的距离= 右端点表示的数 − 左端点表示的数。 例如： a，b 两点的距离可表示为 b − a ，也可表示为 a − b 或者 b − a 2．点在数轴上运动时，满足左减右加，即一个点表示的数为 a，向左运动 b 个单位后表示的数为 a − b ；向右运动 b 个单位后所表示的数为 a + b 。 3．线段中点坐标：如上图，线段 ab 的中点所表示的数是 a+b 2 4．解绝对值方程例如 10 − 19t =4t + 7 ． 例题赏析 【例题4】 如图，已知数轴上的三点 A、B、C，若 AC=120，点 B 为线段 AC 的中点，且点 C 对应 的数为 40. （1）点 A 对应的数是_______；点 B 对应的数是_______. （2）动点 P、Q 分别从 A、C 两点同时出发向左运动，同时动点 R 从 A 出发向右运动， 点 P、Q、R 的速度分别为 2 个单位长度每秒、5 个单位长度每秒、1 个单位长度每秒. ①当点 Q 追上点 P 时，求此时点 R 对应的数是多少？ ②若点 M 为线段 PR 的中点，点 N 为线段 RQ 的中点，运动多少秒时恰好满足 MR=RN？ （2014 年育才期末第 30 题） 【解析】 ⑴ −80 ； −20 −80 − 2t ； q=40 − 5t ； r = −80 + t ⑵① p = 若点 Q 追上点 P, 则 p=q，即 −80 − 2t = 40 − 5t ，解得 t = 40 当 t = 40 ，则 1 3 −80 − t ； n = t ②m = 2 2 1 3 MR =m − r =− t − 80 + 80 − t = t 2 2 RN =r − n =−80 + t + 20 + 2t =−60 + 3t MR=RN 第一级（上） ·动点问题·短期班·教师版 3 3 即 −60 + 3t =t 2 40 3 【例题5】 如图，A、B、C 是数轴上的三点，O 是原点，BO=3，AB=2BO，5AO=3CO． （1）写出数轴上点 A、C 表示的数； （2）点 P、Q 分别从 A、C 同时出发，点 P 以每秒 2 个单位长度的速度沿数轴向右匀速运 动，点 Q 以每秒 6 个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，M 为线段 AP 的中点，点 N 2 在线段 CQ 上，且 CN= CQ．设运动的时间为 t（t＞0）秒． 3 ①数轴上点M、N表示的数分别是 （用含t的式子表示）； ②t 为何值时，M、N 两点到原点 O 的距离相等？ 解得： t = 40 或 （2014 校级期末） 【解析】 ⑴点 A、C 表示的数分别是﹣9，15； ⑵①m=t﹣9，n=15﹣4t； ② OM = m − o = −9 + t ON = n − o = 15 − 4t ∵ OM = ON ∴ −9 + t = 15 − 4t 24 5 24 ∴t=2 秒或 t= 秒时，M、N 两点到原点 O 的距离相等． 5 如图，已知 A、B、C 是数轴上三点，对应的数分别是 −10 ，2，6，点 O 为原点，动点 P、 Q 分别从 A、C 出发，分别以每秒 6 个单位和 3 个单位的速度沿数轴正方向运动，M 为 解得： t = 2 或 【例题6】 AP 的中点，N 在线段 CQ 上，且 CN= 1 CQ，设运动时间为 t （ t > 0 ）. 3 （1）求点 M、N 对应的数（用含 t 的式子表示）. （2） t 为何值时，OM=2BN. （3）若点 P 运动到点 B 后，点 P 继续按原方向原速度运动，但点 Q 立即以每秒 3 个单位 的速度掉头沿数轴负方向运动，当点 Q 到达点 C 后点 P、Q 同时停止运动. 从点 Q 掉头开始到停止运动， MB 的值改变吗？如果不改变，请求出这个值；如果改变请 CQ 说明理由. （2014 年西大附中期末） 4 第一级（上） ·动点问题·短期班·教师版 a + p −10 + (−10 + 6t ) = = 3t − 10 2 2 1 n − c = CQ 3 ∴n= 6 + t 【解析】 ⑴ m= ⑵ OM= m − o = 3t − 10 BN=n-b = t + 4 ∵ OM=2 BN t 4． ∴ 3t − 10 =+ 2 或 18 5 2 综上所述： t = 或 18 ． 5 解得： t = 3t − 10 = −4 ， ⑶ t = 2 时，P 到达 B 点，此时 m = q = 3t + 6 = 12 ， Q 掉头需要用 2 秒返回 C 点，在整个过程中，M 始终在 B 点左侧， MB =2 − ( 3t − 10 ) =12 − 3t ， CQ = 12 − ( t − 2 ) × 3 − 6 = 12 − 3t ， MB 12 − 3t = = 1． CQ 12 − 3t 题型三：面积问题 例题赏析 【例题7】 如图，在长方形 ABCD 中，AB=12 厘米，BC=6 厘米，点 P 沿 AB 边从点 A 开始向点 B 以 2 厘米/秒的速度移动；点 Q 沿 DA 边从点 D 开始向点 A 以 1 厘米/秒的速度移动，如 果 P、Q 同时出发，用 t（秒）表示移动的时间，那么： （1）如图 1，当 t 为何值时，线段 AQ 的长度等于线段 AP 的长度？ 1 ？ 4 （3）如图 3，点 P 到达 B 后继续运动，到达 C 点后停止运动；Q 到达 A 后也继续运动， 当 P 点停止运动的同时点 Q 也停止运动．当 t 为何值时，线段 AQ 的长度等于线段 CP 长度的一半？ （2014 校级期末） （2）如图 2，当 t 为何值时，AQ 与 AP 的长度之和是长方形 ABCD 周长的 【解析】 ⑴由题意可得：QD=tcm，AQ=（6﹣t）cm，AP=2tcm， 第一级（上） ·动点问题·短期班·教师版 5 则 6﹣t=2t， 解得：t=2； ⑵由题意可得：QD=tcm，AQ=（6﹣t）cm，AP=2tcm， 则 6﹣t+2t= ×2×（6+12）， 解得：t=3； ⑶由题意可得：AQ=（t﹣6）cm，CP=（18﹣2t）cm， 1 （18﹣2t）， 2 解得：t=7.5． 则 t﹣6= 【例题8】 如图，在长方形 ABCD 中，AB=8cm，BC=6cm，点 E 是 CD 的中点，动点 P 从 A 点出发， 以每秒 2cm 的速度沿 A→B→C→E 运动，最终到达点 E．若设点 P 运动的时间是 t 秒， 那么当 t 取何值时，△APE 的面积会等于 10？ （2013 重庆校级期末） 【解析】 图1 图2 解：①如图 1，当点 P 在 AB 上，即 0＜t≤4 时， ∵四边形 ABCD 是矩形， 图3 ∴AD=BC=6，AB=CD=8． ∵AP=2t， ∴S△APE= 1 ×2t×6=10， 2 5 解得 t= ． 3 ②如图 2，当点 P 在 BC 上，即 4＜t≤7 时， ∵E 是 DC 的中点， ∴DE=CE=4． ∵BP=2t﹣8，PC=6﹣（2t﹣8）=14