专题 3.1 勾股定理-重难点题型 【苏科版】 【题型 1 勾股定理的认识】 【例 1】（2021 春•路南区校级月考）在路南区校级月考）在 Rt△ABC 中，∠C＝90°． （1）已知 a：b＝3：4，c＝10，则 a＝ ，b＝ （2）已知 a＝6，b＝8，则斜边 c 上的高 h＝ ； ． 【变式 1-1】（2020 秋•路南区校级月考）在本溪期末）在 Rt△ABC 中，斜边 AB＝3，则 AB2+BC2+CA2＝ ． 【变式 1-2】（2021 春•路南区校级月考）在广州期中）在△ABC 中，∠A＝25°，∠B＝65°，则下列式子成立的是（ A．AC2+AB2＝BC2 B．AB2+BC2＝AC2 C．AC2﹣BC2＝AB2 D．AC2+BC2＝AB2 ） 【变式 1-3】（2020 春•路南区校级月考）在灵山县期末）在直角三角形 ABC 中，∠C＝90°，两直角边长及斜边上的高分别为 a，b，h，则下列关系式成立的是（ ） A． 2 2 1 + = a2 b 2 h2 B． C．h2＝ab 1 1 1 + = a2 b 2 h2 D．h2＝a2+b2 【题型 2 利用勾股定理解勾股树问题】 【例 2】（2020 秋•路南区校级月考）在惠来县期末）如图，由两个直角三角形和三个大正方形组成的图形，其中阴影部分面积 是（ ） A．16 B．25 C．144 D．169 【变式 2-1】（2021 春•路南区校级月考）在海淀区校级月考）如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形 ， 其中最大的正方形的边长为 8cm，则图中所有正方形的面积的和是（ A．64cm2 B．81cm2 C．128cm2 ） D．192cm2 【变式 2-2】（2021 春•路南区校级月考）在汉阳区期中）如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三 角形都是直角三角形，若正方形 A，B，C，D 的面积分别为 6，10，4，6，则最大正方形 E 的面积是（ ） A．94 B．26 C．22 D．16 【变式 2-3】（2021 春•路南区校级月考）在天津期中）如图，已知在 Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，分别以 AC，BC，AB 为直径作 半圆，面积分别记为 S1，S2，S3，若 S3＝9π，则 S1+S2 等于 ． 【题型 3 利用勾股定理求线段长度】 【例 3】（2020 秋•路南区校级月考）在新吴区期中）已知△ ABC 中，AB＝17，AC＝10，BC 边上的高 AH＝8，则 BC 的长是（ ） A．21 B．15 C．6 D．21 或 9 【变式 3-1】（2021 春•路南区校级月考）在庆云县月考）在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，AB＝25cm，AC＝15cm，CH⊥AB 垂足为 H，CH＝ ． 【变式 3-2】（2021 春•路南区校级月考）在天津期中）如图，已知在 Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，AC＝9，BC＝12，AB 的垂直 平分线交 AB 于点 D，交 BC 于点 E，则 BE 的长为 ． 【变式 3-3】（2020 秋•路南区校级月考）在上海期末）如图，在△ ABC 中，∠ACB＝90°，CD⊥AB 于点 D，如果 AC＝6，AD＝ 3，那么 BD＝ ． 【题型 4 利用勾股定理求面积】 【例 4】（2020 秋•路南区校级月考）在青羊区校级期末）如图，在△ ABC 中，∠B＝90°，AB＝6，BC＝8，AD 为∠BAC 的角平 分线，则三角形 ADC 的面积为（ A．3 B．10 ） C．12 D．15 【变式 4-1】（2020 秋 •路南区校级月考）在肥西县期末）如图，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，AD 平分∠BAC 交 BC 于点 D．若 BC＝3，且 BD：DC＝5：4，AB＝5，则△ABD 的面积是 ． 【变式 4-2】（2020 秋•路南区校级月考）在锦江区校级期中）已知△ ABC 中，AB＝17，BC＝21，CA＝10，求 BC 边上的高及 △ABC 的面积、 【变式 4-3】（2020 秋•路南区校级月考）在中原区校级月考）如图所示，在△ ABC 中，点 D 是 BC 上的一点，已知 AC＝CD＝ 5 2 5，AD＝6，BD¿ ，则△ABC 的面积是（ A．18 B．36 ） C．72 D．125 【题型 5 勾股定理的验证】 【例 1】（2021 春•路南区校级月考）在海淀区校级期中）勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，这是历史上第 一个把数与形联系起来的定理，其证明是论证几何的发端．下面四幅图中，不能证明勾股定理的是（ ） A． B． C． D． 【变式 5-1】（2020 秋•路南区校级月考）在中牟县期中）1876 年，美国总统伽菲尔德利用如图所示的方法验证了勾股定理，其 中两个全等的直角三角形的边 AE，EB 在一条直线上，证明中用到的面积相等关系是（ ） A．S△EDA＝S△CEB B．S△EDA+S△CDE+S△CEB＝S 四边形 ABCD C．S△EDA+S△CEB＝S△CDE D．S 四边形 AECD＝S 四边形 DEBC 【变式 5-2】（2020 秋•路南区校级月考）在仓山区校级期末）在学习勾股定理时，我们学会运用图（Ⅰ）验证它的正确性．图 1 2 1 2 中大正方形的面积可表示为（a+b）2，也可表示为 c2+4× ab，即（a+b）2＝c2+4× ab．由此推出勾股 定理 a2+b2＝c2 这种方法可以极简单地直观推论或验证出数学规律和公式． （1）请你用图（Ⅱ）的面积表达式验证勾股定理（其中四个全等的直角三角形围成一个大正方形 ABCD，中间的部分是一个小正方形 EFGH，AE＝a，BE＝b，AB＝c）； （2）请你用图（Ⅲ）提供的图形进行组合，用组合图形的面积表达式验证：（x+y）2＝x2+2xy+y2． 【变式 5-3】（2020 春•路南区校级月考）在包河区校级期中）教材在探索平方差公式时利用了面积法，面积法除了可以帮助我 们记忆公式，还可以直观地推导或验证公式，俗称“无字证明”，例如，著名的赵爽弦图（如图 ①，其中 四个直角三角形较大的直角边长都为 a，较小的直角边长都为 b，斜边长都为 c），大正方形的面积可以 1 2 表示为 c），也可以表示为 4× ab+（a﹣b）2，由此推导出重要的勾股定理：如果直角三角形两条直角 边长为 a，b，斜边长为 c，则 a2+b2＝c2． （1）图②为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，请你利用图②推导勾股定理． （2）如图③，在△ABC 中，AD 是 BC 边上的高，AB＝4，AC＝5，BC＝6，设 BD＝x，求 x 的值． （3）试构造一个图形，使它的面积能够解释（a+b）（a+2b）＝a2+3ab+2b2，画在如图 4 的网格中，并 标出字母 a，b 所表示的线段． 【题型 6 勾股定理的应用】 【例 6】（2021 春•路南区校级月考）在涪城区校级期中）如图，有一直立标杆，它的上部被风从 B 处吹折，杆顶 C 着地，离杆 脚 2m，修好后又被风吹折，因新断处 D 比前一次低 0.5m，故杆顶 E 着地比前次远 1m，求原标杆的高 度． 【变式 6-1】（2021 春 •路南区校级月考）在 永定区期中）如图，木工师傅将一根长 2.5 米的梯子（AB），斜靠在与地面 （OM）垂直的墙（ON）上，这时梯足 B 到墙底端 O 的距离是 0.7 米，如果梯子的顶端 A 沿墙下滑 0.4 米到点 A′时，梯足将外移多少米？ 【变式 6-2】（2020 秋•路南区校级月考）在沙坪坝区期末）如图是某“飞越丛林”俱乐部新近打造的一款儿童游戏项目，工作人 员告诉小敏，该项目 AB 段和 BC 段均由不锈钢管材打造，总长度为 26 米，长方形 CDEF 为一木质平台 的主视图．小敏经过现场测量得知：CD＝1 米，AD＝15 米，于是小敏大胆猜想立柱 AB 段的长为 10 米， 请判断小敏的猜想是否正确？如果正确，请写出理由，如果错误，请求出立柱 AB 段的正确长度． 【变式 6-3】（2021 春•路南区校级月考）在南川区期中）为了积极宣传防疫，南川区政府采用了移动车进行广播，如图，小明 家在南大街这条笔直的公路 MN 的一侧点 A 处，小明家到公路 MN 的距离为 600 米，假使广播车 P 周围 1000 米以内能听到广播宣传，广播车 P 以 250 米/分的速度在公路 MN 上沿 PN 方向行驶时，若小明此时 在家，他是否能听到？若能，请求出他总共能听到多长时间的广播？