专题 2.5 等腰三角形-重难点题型 【苏科版】 【知识点 1 等腰三角形】 （1）定义：有两边相等的三角形，叫做等腰三角形. （2）等腰三角形性质 ① 等腰三角形的两个底角相等，即“等边对等角”；②等腰三角形顶角的平分线、底边上的 中线与底边上的高线互相重合（简称“三线合一”）.特别地，等腰直角三角形的每个底角都 等于 45°. （3）等腰三角形的判定 如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（即“等角对等边”）. 【题型 1 等腰三角形的性质（角度问题）】 【例 1】（2021•绍兴）如图，在△ABC 中，∠A＝40°，点 D，E 分别在边 AB，AC 上，BD ＝BC＝CE，连结 CD，BE． （1）若∠ABC＝80°，求∠BDC，∠ABE 的度数； （2）写出∠BEC 与∠BDC 之间的关系，并说明理由． 【变式 1-1】（2020 春•益阳期末）如图，已知∠益阳期末）如图，已知∠ ABC、∠ACB 的平分线相交于点 O，EF 过 点 O 且 EF∥BC． （1）若∠ABC＝50°，∠ACB＝60°，求∠BOC 的度数； （2）若∠BOC＝130°，∠1：∠2＝3：2，求∠ABC、∠ACB 的度数． 【变式 1-2】（2020 春•益阳期末）如图，已知∠宁德期末）如图，已知等腰△ ABC 中，AB＝AC，∠A＜90°，CD 是 △ABC 的高，BE 是△ABC 的角平分线，CD 与 BE 交于点 P．当∠A 的大小变化时， △EPC 的形状也随之改变． （1）当∠A＝44°时，求∠BPD 的度数； （2）设∠A＝x°，∠EPC＝y°，求变量 y 与 x 的关系式； （3）当△EPC 是等腰三角形时，请直接写出∠A 的度数． 【变式 1-3】（2020 秋•益阳期末）如图，已知∠仓山区期中）如图，在四边形 ABCD 中，AC 与 BD 相交于点 E，AC ＝AD，∠BAC＝∠BDC＝α，∠CAD＝β． （1）求证：∠ABD＝∠ADC； （2）当∠AED＝65°时，求 β﹣22α 的度数； （3）α+2β＝180°时，求证：BD＝CD． 【题型 2 等腰三角形的性质（周长问题）】 【例 2】（2020 秋•益阳期末）如图，已知∠罗庄区期中）如图，在△ ABC 中，AB＝BC，中线 AD 将这个三角形的 周长分成 18 和 15 两部分，则 AC 的长为 ． 【变式 2-1】（2020 春•益阳期末）如图，已知∠卧龙区期末）如图，在△ ABC 中，AB＝AC，BC＝4cm，将△ABC 沿 BC 方 向 平 移 得 到 △ DEF ， 若 DE ＝ 6cm ， EC ＝ 1cm ， 则 四 边 形 ABFD 的 周 长 为 cm． 【变式 2-2】（2020 秋•益阳期末）如图，已知∠延津县期中）一个等腰三角形的周长为 28cm． （1）如果底边长是腰长的 1.5 倍，求这个等腰三角形的三边长； （2）如果一边长为 10cm，求这个等腰三角形的另两边长． 【变式 2-3】（2020 春•益阳期末）如图，已知∠东营期末）如图，在△ ABC 中，AB＝AC，DE 是边 AB 的垂直平分 线，交 AB 于 E、交 AC 于 D，连接 BD． （1）若∠A＝40°，求∠DBC 的度数； （2）若△BCD 的周长为 16cm，△ABC 的周长为 26cm，求 BC 的长． 【题型 3 等腰三角形的性质（多结论问题）】 【例 3】（2021 春•益阳期末）如图，已知∠商河县期末）如图，△ ABC 中，AB＝AC，∠B＝40°，D 为线段 BC 上一 动点（不与点 B，C 重合），连接 AD，作∠ADE＝40°，DE 交线段 AC 于 E，以下四个 结论：①∠CDE＝∠BAD；②当 D 为 BC 中点时，DE⊥AC；③当△ADE 为等腰三角形 时，∠BAD＝20°；④当∠BAD＝30°时，BD＝CE．其中正确的结论的个数是（ A．1 B．2 C．3 ） D．4 【变式 3-1】（2020 春•益阳期末）如图，已知∠宿州期中）如图所示，在△ ABC 中，AB＝AC，AD 是△ABC 的角平 分线，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为 E、F，则下列四个结论中，① AB 上一点与 AC 上一点到 D 的距离相等； ② AD 上任意一点到 AB、AC 的距离相等； ③ ∠BDE＝ ∠CDF；④ BD＝CD，AD⊥BC．其中正确的个数是（ A．1 个 B．2 个 C．3 个 ） D．4 个 【变式 3-2】（2020 春•益阳期末）如图，已知∠开福区校级期末）如图， CE、CB 分别是△ABC 和△ADC 的中线， 且 AC＝AB，则下列结论中：① BC＝BD；②∠ECB＝∠BCD；③∠ACE＝∠BDC； ④ CD＝2CE．正确结论的序号为 ． 【变式 3-3】如图，△ABC 中，AB＝AC，∠B＝40°，D 为线段 BC 上一动点（不与点 B，C 重合），连接 AD，作∠ADE＝40°，DE 交线段 AC 于 E．以下四个结论： ①∠CDE＝∠BAD； ② 当 D 为 BC 中点时，DE⊥AC； ③ 当∠BAD＝30°时，BD＝CE； ④ 当△ADE 为等腰三角形时，∠BAD＝30°． 其中正确的结论是 （把你认为正确结论的序号都填上）． 【题型 4 等腰三角形的性质（三线合一问题）】 【例 4】（2019 秋•益阳期末）如图，已知∠红花岗区校级期中）如图，在△ ABC 中，AB＝AC，D 是 BC 边上的中点， 连结 AD，BE 平分∠ABC 交 AC 于点 E，过点 E 作 EF∥BC 交 AB 于点 F． （1）若∠C＝40°，求∠BAD 的度数； （2）求证：FB＝FE． 【变式 4-1】（2020 秋•益阳期末）如图，已知∠伊犁州期末）如图，已知：△ ABC 中，AB＝AC，BD 和 CE 分别是 ∠ABC 和∠ACB 的角平分线，且相交于 O 点． ① 试说明△OBC 是等腰三角形； ② 连接 OA，试判断直线 OA 与线段 BC 的关系，并说明理由． 【变式 4-2】如图，在△ABC 中，点 D 是 AB 的中点，点 F 是 BC 延长线上一点，连接 DF，交 AC 于点 E，连接 BE，∠A＝∠ABE （1）求证：ED 平分∠AEB； （2）若 AB＝AC，∠A＝38°，求∠F 的度数． 【变式 4-3】（2021 春•益阳期末）如图，已知∠宣汉县期末）如图，在等腰△ ABC 中，AB＝AC，AD 是 BC 边上的 高，点 E、F 分别是边 AB、AC 上的点，且 EF∥BC． （1）试说明△AEF 是等腰三角形； （2）试比较 DE 与 DF 的大小关系，并说明理由． 【题型 5 等腰三角形的判定（个数问题）】 【例 5】（2020 秋•益阳期末）如图，已知∠ 汇川区期末）如图所示的正方形网格中，网格的交点称为格点，已知 A，B 是两格点，如果 C 也是图中的格点，且使得△ABC 为等腰三角形，则符合条件的 点 C 的个数是（ A．6 ） B．7 C．8 D．9 【变式 5-1】 （2020 秋•益阳期末）如图，已知∠西华县期中）如图，在平面直角坐标系中，点 A，B 分别在 y 轴和 x 轴上，∠ABO＝60°，在坐标轴上找一点 P，使得△PAB 是等腰三角形，则符合条件的 P 点的个数是（ A．5 ） B．6 C．7 D．8 【 变 式 5-2 】 （ 2020 春 •益阳期末）如图，已知∠ 蕲 春 县 期 中 ） 已 知 在 平 面 直 角 坐 标 系 xOy 中 ， O（0，0），A（4，3）点 B 在 x 轴或 y 轴上移动，若 O、A、B 三点可构成等腰三角形， 则符合条件的 B 点有（ A．9 个 ） B．8 个 C．7 个 D．6 个 【变式 5-3】如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，∠CAB＝36°，以 C 为原点，AC 所在直线 为 y 轴，BC 所在直线为 x 轴建立平面直角坐标系，在坐标轴上取一点 M 使△MAB 为等 腰三角形，符合条件的 M 点有（ A．6 个 ） B．7 个 C．8 个 D．9 个 【题型 6 等腰三角形的判定（证明问题）】 【例 6】（2021 春•益阳期末）如图，已知∠新城区期中）如图，在△ABC 中，∠ABC＝90°，点 E 在 BC 上，点 F 在 AB 的延长线上，连接 AE，CF，且 AE＝CF，BF＝BE．求证：△ABC 是等腰三角形． 【变式 6-1】（2020 秋•益阳期末）如图，已知∠鼓楼区校级期中）如图，在△ ABC 中，点 E 在 AB 上，点 D 在 BC 上，BD＝BE，∠BAD＝∠BCE，AD 与 CE 相交于点 F． （1）证明：BA＝BC； （2）求证：△AFC 为等腰三角形． 【变式 6-2】（2020 秋•益阳期末）如图，已知∠包河区期末）如图，在△ ABC 中，已知点 D 在线段 AB 的反向延长 线上，过 AC 的中点 F 作线段 GE 交∠DAC 的平分线于 E，交 BC 于 G，且 AE∥BC． （1）求证：△ABC 是等腰三角形． （2）若 AE＝8，AB＝10，GC＝2BG，求△ABC 的周长． 【变式 6-3】如图：E 在△ABC 的 AC 边的延长线上， D 点在 AB 边上，DE 交 BC 于点 F，DF＝EF，BD＝CE．求证：△ABC 是等腰三角形．（过 D 作 DG∥AC 交 BC 于 G）