湘教版数学八年级上册知识点总结 第一章 分式 知识点 1：分式的相关概念 关键点拨及对应举例 A （1）分式：形如 (A，B 是整式，且 B 中含有字母，B≠0) B 1. 分式的 概念 的式子. （2）最简分式：分子和分母没有公因式的分式. A 无意义； B A 2. 分 式 的 (2)有意义的条件：当 B≠0 时，分式 B 有意义； (1)无意义的条件：当 B＝0 时，分式 意义 A (3)值为零的条件：当 A＝0，B≠0 时，分式 ＝0. B ( 1 ) 基本性质： 3. 基 本 性 质 A AC A  C   (C≠0)． B B C B  C 在判断某个式子是否为分式时，应注意： （1）判 断化简之间的式子；（2）π是常数，不是字母. 例：下列分式：①;②; ③;④ 式是②③④；最简分式 ③. 失分点警示：在解决分式的值为 0，求值 的问题时，一定要注意所求得的值满足分 母不为 0. 例： 当 x2 1 的值为 0 时，则 x＝-1. x 1 由分式的基本性质可将分式进行化简： （2）由基本性质可推理出变号法则为： A  A    A   ； B B B  A A A   . B B B 2 x  2 ，其中是分 x2  1 例：化简： x2  1 x 1 = . x  2x  1 x  1 2 知识点 2 ：分式的运算 4. 分 式 的 约分和 通分 5. 分 式 的 加减法 6. 分 式 的 (1)约分(可化简分式)：把分式的分子和分母中的公因式约去， 分式通分的关键步骤是找出分式的最 am a 简公分母，然后根据分式的性质通分.  ； 即 bm b 1 1 和 的最简公分母 (2)通分(可化为同分母)：根据分式的基本性质，把异分母的分 例：分式 2 x  x  1 x x 式化为同分母的分式，即 a b a±b (1)同分母：分母不变，分子相加减.即 ± ＝ ； c c c a c ad±bc (2)异分母：先通分，变为同分母的分式，再加减.即 ± ＝ . b d bd a c ac (1)乘法： · ＝ ； b d bd n 乘除法 a c ac bd ,  , b d bc bc (3)乘方：  a  ＝ b (2)除法： a c ad ；  ＝ bc b d an (n 为正整数). bn (1)仅含有乘除运算：首先观察分子、分母能否分解因式，若能，就要先 7. 分 式 的 混合运算 分解后约分.   为 x x2  1 . 1 x ＝－1.  x 1 1 x 1 1 2a   2 . a 1 a 1 a 1 例： 例： a b 1 2 1 ＝2y；  ＝ ；  x xy 2b a 2 3  3  ＝ 27 .  3   8x  2x  失分点警示：分式化简求值问题，要先将分式化 简到最简分式或整式的形式，再代入求值.代入 (2)含有括号的运算：注意运算顺序和运算律的合理应用.一般先算乘方， 数值时注意要使原分式有意义.有时也需运用到 再算乘除，最后算加减，若有括号，先算括号里面的． 整体代入. 第二章 三角形 知识点一：三角形的分类及性质 关键点拨与对应举例 （1）按角的关系分类 1. 三 角 形 的分类 2. 三 边 关 （2）按边的关系分类 直角三角形  三角形  锐角三角形 斜三角形 钝角三角形   不等边三角形  三角形 底和腰不相等的等腰三角形 等腰三角形等边三角形   失分点警示： 在运用分类讨论思想计算等腰 三角形周长时，必须考虑三角形 三边关系. 例：等腰三角形两边长分别是 3 三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边． 和 6，则该三角形的周长为 15. （1）内角和定理： ①三角形的内角和等 180°； ②推论：直角三角形的两锐角互余. （2）外角的性质： ①三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和. ②三角形的任意一个外角大于任何和它不相邻的内角. 性 质 四线 （1） 角平线上的点到角两边的距离相等 角平分线 （2） 三角形的三条角平分线的相交于一点（内心） （1） 将三角形的面积等分 中线 （2） 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 利用三角形的内、外角的性质求 系 3. 角 的 关 系 4. 三 角 形 中的重 要线段 高 中位线 锐角三角形的三条高相交于三角形内部；直角三角形的三条高 相交于直角顶点；钝角三角形的三条高相交于三角形的外部 三角形 中内、外 角与角 平分线 的规律 总结 分关系等，列方程求解会更简 便.有时也会结合平行、折叠、 等腰（边）三角形的性质求解. （1）角平分线、高结合求角度 时，注意运用三角形的内角和为 180°这一隐含条件. （2）当同一个三角形中出现两 条高，求长度时，注意运用面积 这个中间量来列方才能够求解. 平行于第三边，且等于第三边的一半 如图①，AD 平分∠BAC，AE⊥BC，则∠α= 5. 角度时，若所给条件含比例，倍 ∠C）-（90°-∠C）= 1 (∠C-∠B）； 2 1 1 ∠BAC-∠CAE= (180°-∠B2 2 1 ∠A+90°； 2 1 1 如图③，BO、CO 分别为∠ABC、∠ACD、∠OCD 的平分线，则∠O= ∠A，∠O’= 2 2 如图②，BO、CO 分别是∠ABC、∠ACB 的平分线，则有∠O= ∠O； 如图④，BO、CO 分别为∠CBD、∠BCE 的平分线，则∠O=90°- 1 ∠A. 2 对于解答选择、填空题，可 以直接通过结论解题，会起 到事半功倍的效果. 知识点二 ：三角形全等的性质与判定 (1)全等三角形的对应边、对应角相等． 6. 全 等 三 (2)全等三角形的对应角平分线、对应中线、对应高相等． 角形的性 质 7. 三 角 形 全等的判 定 8. 全 等 三 角形的运 用 失分点警示：运用全等三角 形的性质时，要注意找准对 应边与对应角. (3)全等三角形的周长等、面积等． 一般 三角 形全 等 SSS（三边对 应相等） SAS（两边和它 们的夹角对应 相等） ASA（ 两 角和 它 们的夹角对应相 等） 直角 三角 形全 等 (1)斜边和一条直角边对应相等（HL） (2) 证 明 两 个 直 角 三 角 形 全 等 同 样 可 以 用 SAS,ASA 和 AAS. AAS（ 两 角和 其 中一个角的对边 对应相等） （1）利用全等证明角、边相等或求线段长、求角度：将特征的边或角放到 两个全等的三角形中，通过证明全等得到结论.在寻求全等的条件时， 注意公共角、公共边、对顶角等银行条件. （2）全等三角形中的辅助线的作法： ①直接连接法：如图①，连接公共边，构造全等. ②倍长中线法：用于证明线段的不等关系，如图②，由 SAS 可得△ACD≌△ EBD，则 AC=BE.在△ABE 中，AB+BE＞AE，即 AB+AC＞2AD. ③截长补短法：适合证明线段的和差关系，如图③、④. 失分点警示 如图，SSA 和 AAA 不能判定 两个三角形全等. 例： 如图，在△ABC 中，已知∠1= ∠2，BE=CD， AB=5，AE=2， 则 CE=3. 等腰等边三角形知识清单梳理 知识点一：等腰和等边三角形 关键点拨与对应举例 （1）性质 （1）三角形中“垂线、角平分线、 ①等边对等角：两腰相等，底角相等，即 AB＝AC  ∠B＝∠C； 中线、等腰”四个条件中，只要 满足其中两个，其余均成立. 1. 等 腰 三 角 形 如： ②三线合一：顶角的平分线、底边上的中线和底边上的高 如左图，已知 AD⊥BC,D 为 BC 的 互相重合; 中点，则三角形的形状是等腰三 角形. ③对称性：等腰三角形是轴对称图形，直线 AD 是对称轴. 失分点警示： 当等腰三角形的 腰和底不明确时，需分类讨论. 如 （2）判定 若等腰三角形 ABC 的一个内角为 2. 等 边 三角形 ①定义：有两边相等的三角形是等腰三角形； 30 ° ， 则 另 外 两 个 角 的 度 数 为 ②等角对等边：即若∠B＝∠C，则△ABC 是等腰三角形. 30°、120°或 75°、75°. （1）性质 ①边角关系：三边相等，三角都相等且都等于 60°. 即 AB＝BC＝AC，∠BAC＝∠B＝∠C＝60°； ②对称性：等边三角形是轴对称图形，三条高线(或角 平分线或中线)所在的直线是对称轴. （2）判定 ①定义：三边都相等的三角形是等边三角形； ②三个角都相等（均为 60°）的三角形是等边三角形； ③任一内角为 60°的等腰三角形是等边三角形.即若 AB＝AC，且∠B＝ 60°，则△ABC 是等边三角形. （1）等边三角形是特殊的等腰三 角形，所以等边三角形也满足 “三线合一”的性质. （2）等边三角形有一个特殊的角 60°，所以当等边三角形出现 高时，会结合直角三角形 30° 角的性质，即 BD=1/2AB. 例：△ABC 中，∠B=60°，AB=AC， BC=3，则△ABC 的周长为 9. 知识点二 ：角平分线和垂直平分线 3. 角 平 分线 （1）性质：角平分线上的点到角的两边的距离相等．即若 ∠1 ＝∠2，PA⊥OA，PB⊥OB，则 PA＝PB. （2）判定：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的角平 分线上． 4. 垂 直 平 分 线 图 形 （1）性质：线段的垂直平分线上的点到这条线段的两端点距 离相等．即若 OP 垂直且平分 AB，则 PA＝PB. （2）判定：到一条线段两端点距离相等的点在这条线段的垂 直平分线上． 例：如图，△ABC 中，∠C=90°， ∠A=30°，AB 的垂直平分线交 AC 于 D，交 AB 于 E，CD=2，则 AC=6. 知识点三：直角三角形的判定与性质 (1)两锐角互余.即∠A＋∠B＝90°； (2) 30°角所对的直角边等于斜边的一半.即若∠B＝30°则 AC＝ 5. 直 角 三角形 的性质 (3)斜边上的中线长等于斜边长的一半．即若 CD 是中线，则 1 CD＝ AB. 2 (4)勾股定理：两直角边 a、b 的平方和等于斜边 c 的平方．即 a2＋b2＝c2 . 1 AB； 2 （1）直角三角形的面 积 S=1/2ch=1/2ab( 其 中 a,b 为 直 角 边，c 为斜边，h 是斜边上的高)， 可以利用这一公式借助面积这个 中间量解决与高相关的求长度问 题. （2）已知两边，利用勾股定理