北师大版数学七年级上册知识点总结 本学期重点难点章节有三个：第二章有理数及其运算，第三章整式及 其加减，第五章一元一次方程。 第一章 丰富的图形世界 单元备注：学生易错点在 1、图形的展开与折叠 2、 “三视图”判断图形个数 1、生活中的立体图形 圆柱 生活中的立体图形 (按名称分) 柱 球 锥 棱柱：三棱柱、四棱柱（长方体、正方体） 、五棱柱、…… 圆锥 棱锥 2、点、线、面、体 （1）几何图形的组成 点：线和线相交的地方是点，它是几何图形中最基本的图形。 线：面和面相交的地方是线，分为直线和曲线。 面：包围着体的是面，分为平面和曲面。 体：几何体也简称体。 （2）点动成线，线动成面，面动成体。 3、棱柱及其有关概念： 棱：在棱柱中，任何相邻两个面的交线，都叫做棱。 侧棱：相邻两个侧面的交线叫做侧棱。 n 棱柱有两个底面，n 个侧面，共（n+2）个面；3n 条棱，n 条侧棱；2n 个顶点。 4、正方体的平面展开图：11 种 ①四种结构：a.“一四一结构”；b.“一三二结构”；c.“二二二结构”；d.“三三结构”。 不能构成的四个字：a.“一”字型；b.“7”字形；c.“凹”字形；d.“田”字形. 3—3 型 2—2—2 型 1 总结规律： 一线不过四，田凹应弃之； 相间、Z 端是对面，间二、拐角邻面知。 5、截一个正方体：用一个平面去截一个正方体，截出的面可能是三角形，四边形，五 边形，六边形。 可能出现的：锐角三角型、等边、等腰三角形， 正方形、矩形、非矩形的平行四边形、 非等腰梯形、 等腰梯形、五边形、六边形、正六边形 不可能出现：钝角三角形、直角三角形、直角梯形、正五边形、七边形或更多边形 6、三视图 物体的三视图指主视图、俯视图、左视图。 主视图：从正面看到的图，叫做主视图。 左视图：从左面看到的图，叫做左视图。 俯视图：从上面看到的图，叫做俯视图。 第二章 有理数及其运算 备注：1*、数轴是新知识很多地方用到 2*、去绝对值与绝对值的几何意义很重要，有些学生在去绝对值和利用绝对值 几何意义做题时比较容易出错（去绝对值的主要数学思想是“分情况讨论”这 也是贯穿初高中的一个重要数学思想） 3*、有理数混合运算中去去括号变号很多同学容易在这块丢分。 1、有理数的分类 有理数 或 有理数 正有理数 零 负有理数 整数 有限小数和无限循环小数 分数 2、相反数：只有符号不同的两个数叫做互为相反数，零的相反数是零 3、数轴：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴（画数轴时，要注意上述规 定的三要素缺一不可）。任何一个有理数都可以用数轴上的一个点来表示。解题时要真正掌 2 握数形结合的思想，并能灵活运用。 4、倒数：如果 a 与 b 互为倒数，则有 ab=1，反之亦成立。倒数等于本身的数是 1 和-1。 零没有倒数。 5、绝对值：在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离，叫做该数的绝对值。 （|a|≥0）。 零的绝对值时它本身，也可看成它的相反数，若|a|=a，则 a≥0；若|a|=-a，则 a≤0。 6、有理数比较大小：正数大于零，负数小于零，正数大于一切负数；数轴上的两个点 所表示的数，右边的总比左边的大；两个负数，绝对值大的反而小。 7、有理数的运算： （1）五种运算：加、减、乘、除、乘方 多个数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数有奇数个时，积的符号为负； 当负因数有偶数个时，积的符号为正。只要有一个数为零，积就为零。 有理数加法法则： 两数相加，同号取同，绝对值加；异号取大，绝対值减； 相反数，和为零；与零相加和不变。 有理数减法法则： 减变加，正变负，负变正，别忘记，打括号。 注：有理数的加减混合运算中，要求学生会将一个式子变成省略括号和它前面的符号的 形式，主要根据“同号得正，异号得负”。 有理数乘法法则： 1.两数相乘，同号得正，异号得负，绝对值乘； 与零相乘积为零。 2.多数相乘，奇负偶正，绝对值乘；与零相乘积为零。 有理数除法法则： 1.两数相除，同号得正，异号得负，绝对值除。 2.两数相除，一变二交换（除号变乘号，分子、分母交换位置，这主要针对当除数为分 数时好用） 0 除以任何非零数都得 0。 注意：0 不能作除数。 有理数的乘方：求几个相同因数积的运算叫做乘方。 乘方的性质：1.正数的任何次幂都是正数,负数的偶次幂是正数,负数的奇次幂是负数； 2.乘方转化成乘法来计算；3.任何非零数的零次方都等于 1；-1 的奇数次幂得-1，-1 的偶 数次幂得 1； （2）有理数的运算顺序 先算乘方，再算乘除，最后算加减，如果有括号，就先算括号里面的。 （3）运算律 加法交换律 乘法交换律 ab ba ab  ba 加法结合律 乘法结合律 (a  b)  c  a  (b  c) (ab)c  a (bc ) 乘法对加法的分配律 a (b  c )  ab  ac 3 8、科学记数法 n 一般地，一个大于 10 的数可以表示成 a 10 的形式，其中 1  a  10 ，n 是正整数， 这种记数方法叫做科学记数法。（n=整数位数-1） n 注：1.一个小于 1 的数也可以表示成 a 10 的形式，此时 n 为负整数，且 n=第一个数字前 n 0 的个数-1；2.一个 1  a  10 间的数也可以表示成 a 10 的形式，只不过 n=0 而已。 -5 科学记数法可以表示：1.原数（如 85700000000= 8.57  10 ，0.0000678= 6.78  10 ）； 10 10 2.带有单位的数（如 327 亿= 3.27  10 ）。 4 8 注：1 万= 10 ，1 亿= 10 。 第三章 整式及其加减 备注：这章算是这册比较难的一个知识点。一是对单项式、多项式的理解，其 次是对同类项的理解和计算。 学生容易出错的地方大多在化简计算，有几点：1、是化简计算过程中去括 号变号。2、化简求值中“整体思想”的运用。3、化简计算中一个字母表示另 个字母代入换算。 一、字母表示数 1、字母可以表示任何数，用字母表示数的运算律和公式法则； 1 加法交换律 a＋b＝b＋a ○ 加法结合律 a＋b＋c＝a＋（b＋c） 2 乘法交换律 ab＝ba ○ 乘法结合律（ab）c＝a（bc） 乘法分配律 a （b＋c）＝ab＋ac 用字母表示计算公式： 1 长方形的周长 2（a＋b）,面积 ab ○ （a、b 分别为长、宽） 2 正方形的周长 4a，面积 a2（a 表示边长） ○ 3 长方体的体积 abc，表面积 2ab＋2bc＋2ac（a、b、c 分别为长、宽、高） ○ 4 正方体的体积 a3,表面积 6a2（a 表示棱长） ○ 5 圆的周长 2πr,面积πr2（r 为半径） ○ 1 6 三角形的面积 ×ah（a 表示底边长，h 表示底边上的高） ○ 2 4 2、在同一问题中，同一字母只能表示同一数量，不同的数量要用不同的字母表示。 3、用字母表示实际问题中某一数量时，字母的取值必须使这个问题有意义，并且符合实际。 4、注意书写格式的规范： (1) 表示数与字母或字母与字母相乘时乘号，乘号可以写成“·”，但通常省略不写；数字 与数字相乘必须写乘号； (2) 数和字母相乘时，数字应写在字母前面； (3) 带分数与字母相乘时，应把带分数化成假分数； (4) 除法运算写成分数形式 ，分数线具 “÷ ”号和“括号”的双重作用。 (5)在代数式的运算结果中，如有单位时，结果是积或商直接写单位；结果是和差加括 号后再写单位。 二、代数式 用运算符号（加、减、乘、除、乘方、开方等）把数或表示数的字母连接而成的式子 叫做代数式。单独的一个数或一个字母也是代数式。 注意：①代数式中除了含有数、字母和运算符号外，还可以有括号； ②代数式中不含有“=、>、<、≠”等符号。等式和不等式都不是代数式，但 等号和不等号两边的式子一般都是代数式； ③代数式中的字母所表示的数必须要使这个代数式有意义，是实际问题的要符 合实际问题的意义。 ※代数式的书写格式： ①代数式中出现乘号，通常省略不写，如 vt； ②数字与字母相乘时，数字应写在字母前面，如 4a； 1 3 ③带分数与字母相乘时，应先把带分数化成假分数，如 2  a 应写作 7 a； 3 ④数字与数字相乘，一般仍用“×”号，即“×”号不省略； ⑤在代数式中出现除法运算时，一般写成分数的形式，如 4÷（a-4）应写作 4 ；注意： a4 分数线具有“÷”号和括号的双重作用。 ⑥在表示和（或）差的代数式后有单位名称的，则必须把代数式括起来，再将单位名称写 2 2 在式子的后面，如 ( a  b ) 平方米。 三．整式：单项式和多项式统称为整式。 ①单项式：都是数字和字母乘积的形式的代数式叫做单项式。单项式中，所有字母的指 数之和叫做这个单项式的次数；数字因数叫做这个单项式的系数。 注意：1.单独的一个数或一个字母也是单项式；2.单独一个非零数的次数是 0；3.当单 3 项式的系数为 1 或-1 时，这个“1”应省略不写，如-ab 的系数是-1，a b 的系数是 1。 ②多项式：几个单项式的和叫做多项式。多项式中，每个单项式叫做多项式的项；次数 最高的项的次数叫做多项式的次数。 3 同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项。 ○ 5 注意：①同类项有两个条件：a.所含字母相同；b.相同字母的指数也相同。 ②同类项与系数无关，与字母的排列顺序无关； ③几个常数项也是同类项。 四．合并同类项法则：把同类项的系数相加，字母和字母的指数不变。 五．去括号法则 ①根据去括号法则去括号： 括号前面是“+”号，把括号和它前面的“+”号去掉，括号里各项都不改变符号；括号 前面是“－”号，把括号和它前面的“－”号去掉，括号里各项都改变符号。 ②根据分配律去括号： 括号前面是“+”号看成+1，括号前面是“－”号看成-1，根据乘法的分配律用+1 或-1 去乘括号里的每一项以达到去括号的目的。 六、添括号法则 添“＋”号和括号，添到括号里的各项符号都不改变；添“－”号和括号，添到括号里 的各项符号都要改变。 七、整式的运算： 整式的加减法： （1）去括号； （2）合并同类项。 去括号法则：（1）括号前是“+”号，把括号和前面的“+”号去掉，括号里的各项的符号都不改 变。（2）括号前是“－”号，把括号和前面的“－”号去掉，括号里的各项的符号都要改变。 第四章 去括号法则中乘法分配律的应用：若括号前有因式，应先利用乘法分配律展开，同 时注意去括号时符号的变化规律。 多重括号的化简原则（1）由里向外逐层去掉括号（2）由外向里逐层去掉括号 第四