第2讲 有理数的概念 目标导航 1、进一步认识负数，用有理数表示生活中的量 2、了解可以用数轴上的点表示有理数，能比较有理数的大小 知识精讲 知识点 01 正数和负数 在数学发展历史上，从发现自然数开始，随着人类文明进步，我们又逐渐定义了分数和小数等.在生活 和学习中，我们会需要记录一些具有相反意义的量，比如：零下 4C 和零上 6C ，收入 20 元和支出 30 元， 向东 30 米和向西 100 米等等．这些数据不仅意义相反，而且表示一定的量，为了表示它们，我们定义了正 负数： 1．用正负数表示相反意义的量： 我们把一种意义的量规定为正的，把另一种与它具有相反意义的量规定为负的，分别用正数和负数表 示，给数字前面加上正号表示正数，加上负号表示负数． 【例】以上几个例子分别记为： 4C 和 6C ， 20 元和 20 元， 30 米和 100 米. 1 、  这样的数叫做正数，正数都大于零； 2 2．正数：像 30、+6、 3．负数：在正数前面加上“  ”号的数叫做负数，比如： 20 、 3.14 、 0.001 、  17 ． 2 【注】①表示正数时，“+”号可以省略，但表示负数时， “  ”号一定不能省略； ②数 0 既不是正数也不是负数． 【知识拓展】 （1）仔细思考以下各对量： ①胜二局与负三局； ②气温为 3 C 与气温升高 30 C ； ③盈利 5 万元与亏损 5 万元；④增加 10%与减少 20%． 其中具有相反意义的量有（ A．1 对 B．2 对 ） C．3 对 D．4 对 （2）①我国现采用国际通用的公历纪年法，如果我们把公元 2017 年记作+2017 年，那么，处于公元前 500 年的春秋战国时期可表示为___________． ②如果 80m 表示向东走 80m，那么 60 m 表示________________． ③A，B 两地海拔高度分别是 120 米， 10 米，则 B 地比 A 地低________米． 更多全科提分笔记请咨询老师微信：ｙｌｓ０９２３１０ （3）饮料公司生产的一种瓶装饮料外包装上印有“ 600  30(ml) ”字样，请问“ 600  30(ml) ”是什么含义？ 质检局对该产品抽查 5 瓶，容量分别为 603ml，611ml，589ml，573ml，627ml，问抽查产品的容量是否合格？ 【解析】（1）C；[①③④具有相反意义]； （2）① 500 年，②向西走 60 m，③ 130 ； （3） “   (ml) ”表示每瓶饮料容量最小可以是 (  ) ml ，最大可以是 (  ) ml ，抽出 的 5 瓶容量均在 (  ) ml 与 (  ) ml 之间，因此合格． 【提示】通过这道例题反复强调，正数和负数可以表示相反意义的量． 知识点 02 有理数的概念及分类 1．有理数：整数与分数统称为有理数． 2．有理数的分类： （1）有理数按性质分类：  正整数    自然数 整数  零    有理数  负整数  分数 正分数   负分数  （2）有理数按符号分类  正整数 正有理数  正分数   有理数  零（既不是正数，也不是负数）  负有理数 负整数  负分数  （3）小数的分类 【注】注意以下几个概念的区分： 非负数：正数和零；非正数：负数和零； 非负整数：正整数和零；非正整数：负整数和零； 非负有理数：正有理数和零；非正有理数：负有理数和零． 【知识拓展 1】把下列各数填入相应集合的括号内： 29，﹣5.5，2002， 6 1 ，﹣1，90%，3.14，0， 2 ，﹣0.01，﹣2，1 7 3 更多全科提分笔记请咨询老师微信：ｙｌｓ０９２３１０ （1）整数：{ } （2）分数：{ } （3）正数：{ } （4）负数：{ } 参考答案： （1）整数集合：{29，2002，﹣1，0，﹣2，1 } 6 1 ，90%，3.14， 2 ，﹣0．01} 7 3 6 （3）正数集合：{29，2002， ，90%，3.14，1} 7 1 （4）负数集合：{﹣5.5，﹣1， 2 ，﹣0.01，﹣2} 3 （2）分数集合：{﹣5.5， 【即学即练】下列数中，哪些是整数？哪些是正数？哪些是负数？哪些是有理数？ 7，﹣2， 6 1 1 2 ，  ，69，0，0.33， 1 ，﹣3.1 2 9 5 （1）整数：{ } （2）正数：{ } （3）负数：{ } （4）有理数：{ } 参考答案： （1）整数：7，﹣2，69，0 1 ，69，0.33 2 1 2 （3）负数：﹣2，  ， 1 ，﹣3.1 9 5 1 1 2 （4）有理数：7，﹣2， 6 ，  ，69，0，0.33， 1 ，﹣3.1 2 9 5 （2）正数：7， 6 【提示】能化成分数的小数一律视作分数。有理数的分类和“六非”是常考题，学生们容易出错，需要反 复强调． 知识点 03 数轴 1．数轴：数轴是一条规定了原点、正方向和单位长度的直线． 【注】原点、正方向和单位长度称为数轴的三要素； ①原点：表示数 0 的点； ②正方向：数字从小到大排列的方向，一般规定向右为正方向； ③单位长度：人为规定的代表“1”的线段的长度. 更多全科提分笔记请咨询老师微信：ｙｌｓ０９２３１０ 2．数轴的画法 （1）画一条水平直线； （2）在这条直线上取一点作为原点； （3）一般用箭头表示正方向； （4）选取适当的长度为单位长度，用细短线画出刻度，并将数字对应标在数轴下方． 【例】一个标准的数轴： 【注】画数轴的常见错误： ①三要素缺失：没有原点、正方向箭头或者单位长度刻度； ②单位长度不统一：相邻两个刻度之间间距不一样； ③方向不统一：数字增大的方向不是正方向，或者数字排列混乱． 一些错误的数轴示例： 错误类型 错误示例 三要素缺失 单位长度不统一 方向不统一 3．数轴与有理数的关系 ①任何一个有理数均可用数轴上的一个点来表示； 但数轴上的点不一定代表有理数，比如  ． ②数轴上两个点表示的数，右边的总比左边的大； ③数轴直观地说明了，正数大于零，负数小于零，正数大于负数． 4．数轴与数学思想 ①数形结合思想：数轴形象地反映了数和点之间的对应关系； ②分类讨论思想：数轴表现了有理数的一种分类方法，即分成正数、负数和零． 【知识拓展 1】 （1）下面图形是数轴的是（ A． ） B． C． D． （2）如图所示，数轴的一部分被墨水污染了，被污染的部分内含有的整数为_______． 更多全科提分笔记请咨询老师微信：ｙｌｓ０９２３１０ （3）已知：点 A 在数轴上的位置如图所示，点 B 也在数轴上，且 A、B 两点之间的距离是 2，则点 B 表示的 数是______． 1 1 （4）在数轴上标出下列各数：0， - 4.2 ， 3 ， - 2 ， +7 ， 1 ，并用“<”连接． 2 3 【解析】（1）C； （2）  ，0，1，2； （3） 1 或 5 ； 1 1 （4）图略， 4.2  2  0  1  3  7 ． 3 2 【提示】主要考查数轴的基础：（1）数轴三要素：原点，单位长度和正方向；（2）在数轴上表示数，右边 的数大于左边的数．另外，第一次接触分类讨论，需要仔细引导． 【知识拓展 2】 （1）一个点沿着数轴的正方向从原点起移动 2 个单位长度后，又向反方向移动 6 个单位长度，则这个点表 示的数是__________． （2）一个小虫在数轴上先向右爬 2 个单位，再向左爬 6 个单位，所在位置正好距离数轴原点 2 个单位，则 小虫的起始位置所表示的数是________． （3）数轴上的点 A 对应的数是 1 ，一只蚂蚁从 A 点出发沿着数轴向右以每秒 3 个单位长度的速度爬行至 B 点后，用 2 秒的时间吃光了 B 点处的蜜糖，又沿原路以原速度返回 A 点，共用去 6 秒，则蚂蚁爬行的路程 是几个单位长度？B 点与 A 点的距离是多少个单位长度？B 点对应的数是多少？ B A -1 0 1 2 3 4 5 【解析】（1） 4 （2）6 或 2； （3）蚂蚁 6s 共爬行 (  )     个单位长度； B 点到 A 点的距离为      个单位长度； 所以 B 点对应的数是 5． 【提示】总结：数轴上点的移动，点代表的数左减右加． 知识点 04 相反数 更多全科提分笔记请咨询老师微信：ｙｌｓ０９２３１０ 1．相反数：如果两个数只有符号不同，那么我们称其中一个数为另一个数的相反数，也称这两个数互 为相反数．特别地，0 的相反数是 0． 【例】 5 与 5 互为相反数； 5 是 5 的相反数； 【注】相反数必须成对出现，单独一个数不能说是相反数.“ 5 是相反数”是错误的. 2．相反数的性质： （1）代数性质：若 a 与 b 互为相反数，则 a  b  0 ；反之，若 a  b  0 ，则 a 与 b 互为相反数． （2）几何性质：一对相反数在数轴上对应的点分别位于原点两侧，并且到原点的距离相等，即这两点 是关于原点对称的． 【知识拓展 1】 （1） 2017 的相反数是________，2017 与________互为相反数． （2）已知有理数 a、b 在数轴上表示如图，则 a、b、 a 、 b 的大小，正确的是（ A．  a  b  a  b B． a  b  b   a C． b  a   a  b D． a  b  b   a a 0 ） b （3）下列说法正确的是（ ） A．一个数的相反数一定是负数 B．  和 . 互为相反数 C．所有的有理数都有相反数 D．13 和 31 互为相反数 【解析】（1）2017， 2017 ； （2）C；（3）C． 【提示】主要考查相反数的基本性质，建立数形结合的思想． 【知识拓展 2】我们可以用字母表示数，比如 a、b 都能代表一个数，在一个数的前面添上“  ”号，就得 到这个数的相反数． 1 （1）5 的相反数是_______； 的相反数是_______，0 的相反数是_______，数 a 的相反数是________； 3 （2） 5 的相反数是_______，  1 的相反数是________， 4 的相反数是________；数  a 的相反数是 2 ________； （3）