第 14 讲 一元一次方程的应用 目标导航 1.熟练掌握分析解决实际问题的一般方法及步骤； 2.熟悉行程，工程，配套及和差倍分问题的解题思路．熟悉利润，存贷款，数字及方案设计问题的解题思路． 知识精讲 知识点 一、用一 元一次方程解决实际问题的一般步骤 分析 抽象 求解 检验 列方程解应用题的基本思路为：问题   方程   解答．由此可得解决此类 题的一般步骤为：审、设、列、解、检验、答． 要点诠释： （1）“审”是指读懂题目，弄清题意，明确哪些是已知量，哪些是未知量，以及它们之间的关系，寻找等量 关系； [来源:Z*xx*k.Com] （2）“设”就是设未知数，一般求什么就设什么为 x，但有时也可以间接设未知数； （3）“列”就是列方程，即列代数式表示相等关系中的各个量，列出方程，同时注意方程两边是同一类量， 单位要统一； （4）“解”就是解方程，求出未知数的值． （5）“检验”就是指检验方程的解是否符合实际意义，当有不符合的解时，及时指出，舍去即可； （6）“答”就是写出答案，注意单位要写清楚． 二、常见列方程解应用题的几种类型（待续） 1．和、差、倍、分问题 （1）基本量及关系：增长量＝原有量×增长率， 现有量＝原有量+增长量，现有量＝原有量－降低量． （2）寻找相等关系：抓住关键词列方程，常见的关键词有：多、少、和、差、不足、剩余以及倍，增长 率等． 2．行程问题 （1）三个 基本量间的关系： 路程=速度×时间 （2）基本类型有： ①相遇问题（或相向问题）：Ⅰ．基本量及关系：相遇路程=速度和×相遇时间 更多全科提分笔记请咨询老师微信：ｙｌｓ０９２３１０ Ⅱ．寻找相等关系：甲走的路程+乙走的路程＝两地距离． ②追及问题：Ⅰ．基本量及关系：追及路程=速度差×追及时间 Ⅱ．寻找相等关系： 第一， 同地不同时出发：前者走的路程＝追者走的路程； 第二， 第二，同时不同地出发：前者走的路程+两者相距距离＝追者走的路程． ③航行问题：Ⅰ．基本量及关系：顺流速度=静水速度+水流速度， 逆流速度=静水速度－水流速度， 顺水速度－逆水速度＝2×水速； Ⅱ．寻找相等关系：抓住两地之间距离不变、水流速度不变、船在静水中的速度不变来考虑． （3）解此类题的关键是抓住甲、乙两物体的时间关系或所走的路程关系，并且还常常借助画草图来分析． 3．工程问题 如果题目没有明确指明总工作量，一般把总工作量设为 1．基本关系式： （1）总工作量=工作效率×工作时间； （2）总工作量=各单位工作量之和． 4．调配问题 寻找相等关系的方法：抓住调配后甲处的数量与乙处的数量间的关系去考虑． 5．利润问题 （1） 利润率= 利润 100% 进价 (2) 标价＝成本(或进价)×(1＋利润率) (3 ) 实际售价＝标价×打折率 (4) 利润＝售价－成本(或进价)＝成本×利润率 注意：“商品利润＝售价－成本”中的右边为正时，是盈利；当右边为负时，就是亏损.打几折就是按标价的 十分之几或百分之几十销售． 6．存贷款问题 （1）利息=本金×利率×期数 （2）本息和（本利和）＝本金＋利息＝本金＋本金×利率×期数＝本金×(1＋利率×期数) （3）实得利息=利息－利息税 （4）利息税=利息×利息税率 （5）年利率＝月利率×12 更多全科提分笔记请咨询老师微信：ｙｌｓ０９２３１０ （6）月利率＝年利率× 1 12 7.数字问题 已知各数位上的数字，写出两位数，三位数等这类问题一般设间接未知数，例如：若一个两位数的个 位数字为 a，十位数字为 b，则这个两位数可以表示为 10b+a． 8．方案问题 选择设 计方案的一般步骤： （1）运用一元一次方程解应用题的方法求解两种方案值相等的情况． （2）用特殊值试探法选择方案，取小于（或大于）一元一次方程解的值，比较两种方案的优劣性后下结 论． 【知识拓展 1】 （2019 秋•宝安区期末） “喜茶”店中的 A 种奶茶比 B 种奶茶每杯贵 5 元，小颖买了 3 杯 A 种奶茶、5 杯 B 种奶茶，一共花了 135 元，问 A 种奶茶、 B 种奶茶每杯分别的多少元？若设 A 种奶茶 x 元， 则下列方程中正确的是 ( ) A． 5 x  3( x  5)  135 B． 5( x  5)  3 x  135 C． 5 x  3( x  5)  135 D． 5( x  5)  3 x  135 【解答】解：若设 A 种奶茶 x 元，则 B 种奶茶 ( x  5) 元， 根据题意，得 5( x  5)  3 x  135 ． 故选： B ． 【知识拓展 2】 （2019 秋•福田区校级期末）一项工程，甲单独做 5 天完成，乙单独做 8 天完成．若甲先做 1 天，然后甲、乙合作完成此项工作的 A． x x 1 3   5 8 4 B． 3 ．若设甲一共做了 x 天，则所列方程为 ( 4 x x 1 3   5 8 4 C． x x 1 3   5 8 4 D． ) x x 1 3   5 8 4 【解答】解：设甲一共做了 x 天， 由题意得： x x 1 3   ， 5 8 4 故选： B ． 【知识拓展 3】 （2019 秋•福田区校级期末）小明每天早晨要在 7 : 40 之前赶到距家 1100m 的学校上学，小 明以 60m / min 的速度出发， 5min 后，小明的爸爸发现他忘了带数学书，于是爸爸立即以 180 m / min 的速度 去追小明，并且在途中追上了他． （1）爸爸追上小明用了多长时间？ （2）追上小明时，距离学校还有多远？ 更多全科提分笔记请咨询老师微信：ｙｌｓ０９２３１０ 【解答】解：（1）可设爸爸追上小明用了 xmin 长时间，依题意有 (180  60) x  60  5 ， 解得 x  2.5 ． 答：爸爸追上小明用了 2.5min 长时间； （2） 1100  180  2.5  1100  450  650(m) ． 答：追上小明时，距离学校还有 650m 远． 【知识拓展 4】（2019 秋•龙岗区期末）2018 年电影《我不是药神》反映了进口药用药贵的事实，从而引 起了社会的广泛关注．国家针对部分药品进行改革，看病贵将成为历史．某药厂对售价为 m 元的药品进行 了降价，现在有三种方案．三种方案哪种降价最多 ( ) 方案一：第一次降价 10% ，第二次降价 30% ； 方案二：第一次降价 20% ，第二次降价 15% ； 方案三：第一、二次降价均为 20% ． A．方案一 B．方案二 C．方案三 D．不能确定 【解答】解：方案一： m  (1  10%)(1  30%)m  m  63%m  37%m ， 方案二： m  (1  20%)(1  15%)m  m  68%m  32%m ， 方案三： m  (1  20%)(1  20%)m  m  64%m  36%m ， m  0 ，  37% m  36% m  32% m ，  方案一降价最多， 故选： A ． 能力拓展 一、和差倍分问题 1、2011 年北京市生产运营用水和居民家庭用水的总和为 5.8 亿立方米，其中居民家庭用水比生产运营用水 的 3 倍还多 0.6 亿立方米，问生产运营用水和居民家庭用水各多少亿立方米? 【答案与解析】设生产运营用水 x 亿立方米，则居民家庭用水(5.8－x)亿立方米． 依题意，得 5.8－x＝3x+0.6 更多全科提分笔记请咨询老师微信：ｙｌｓ０９２３１０ 解得 x＝1.3 5.8－x＝5.8－1.3＝4.5（亿立方米） 答：生产运营用水 1.3 亿立方米，居民家庭用水 4.5 亿立方米． [来源:Z_xx_k.Com] 【总结升华】本题要求两个未知数，不妨设其中一个未知数为 x，另外一个用含 x 的式子表示．本题的相等 关系是生产运营用水量+居民家庭用水总量＝5.8 亿立方米． 2、旅行社的一辆汽车在第一次旅程中用去油箱里汽油的 25%，第二次旅程中用去剩余汽油的 40%，这样油 箱中剩的汽油比两次所用的汽油少 1 公斤，求油箱里原有汽油多少公斤？ 【答案与解析】 解：设油箱里原有汽油 x 公斤，由题意得： [来源:学§科§网 Z§X§X§K] x(1－25%)(1－40%)+1=25%x+(1－25%)x×40% 解得：x=10 答 ：油箱里原有汽油 10 公斤. 【点评】等量关系为：油箱中剩余汽油+1=用去的汽油. [来源:学&科&网 Z&X&X&K] 二、行程问题 1.一般问题 小山娃要到城里参加运动会，如果每小时走 4 千米，那么走完预 订时间离县城还有 0.5 千米，如果他每小时 走 5 千米，那么比预订时间早半小时就可到达县城．试问学校到县城的距离是多少千米? 【答案与解析】 解：设小山娃预订的时间为 x 小时，由题意得： 4x+0.5＝5(x－0.5)，解得 x＝3． 所以 4x+0.5＝4×3+0.5＝12.5(千米)． 答：学校到县城的距离是 12.5 千米． 【总结升华】当直接设未知数有困难时，可采用间接设的方法．即所设的不是最后所求的，而是通过求其 它的数量间接地求最后的未知量． 2.相遇问题（相向问题） A、B 两地相距 100km，甲、乙两人骑自行车分别从 A、B 两地出发相向而行，甲的速度是 23km/h，乙的速 度是 21km/h，甲骑了 1h 后，乙从 B 地出发，问甲经过多少时间与乙相遇？ 【答案与解 析】 解:设甲经过 x 小时与乙相遇. 更多全科提分笔记请咨询老师微信：ｙｌｓ０９２３１０ 由题意得： 23 1   23  21 ( x  1)  100 解得，x=2.75 答：甲经过 2.75 小时与乙相遇． 【总结升华】等量关系：甲走的路程+乙走的路程=100km 3.追及问题（同向问题） 一队学生去校外进行军事野营训练，他们以 5 千米/时的速度行进，走了 18 分钟时，学校要将一紧急通知传 给队长，通讯员从学校出发，骑自行车以 14 千米/时的速度按原路追上去，通讯员用多少分钟可以追上学生 队伍? 【答案与解析】 解：设通讯员 x 小时可以追 上学生队伍，则根据题意， 得 14 x  5  得： x  18  5x ， 60 1 1 ， 小时=10 分钟． 6 6 答：通讯员用 10 分钟可以追上学生队伍． 【总结升华】追及问题：路程差=速度差×时间，此外注意：方程中 x 表示小时，18 表示分钟，两边单位不 一致，应先统一单位． 4.航行问题（顺逆风问题） 一艘船航行于 A、B