专题 02 专题探究课之与线有关的动态问题专练（解析版） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、填空题 1．如图，数轴上的 O 点为原点，A 点表示的数为 2 ，动点 P 从 O 点出发，按以下规 律跳动：第 1 次从 O 点跳动到 OA 的中点 A1 处，第 2 次从 A1 点跳动到 A1 A 的中点 A2 处， 第 3 次从 A2 点跳动到 A2 A 的中点 A3 处，…，第 n 次从 An 1 点跳动到 An 1 A 的中点 An 处， 按照这样的规律继续跳动到点 A4 ， A5 ， A6 ，…， An （ n  3 ，n 是整数）处，那么 An 点 所表示的数为_________． 【答案】 2  1 2n1 【分析】 根据题意找出规律 A1 A  1 ， A2 A1  1 1 1 ， A3 A2  ，…， An An 1  n 1 ，求出 AnO 的长即 2 4 2 可得到结果． 【详解】 解：∵A 表示的数是 2 ， ∴ AO  2 ∵ A1 是 AO 的中点， ∴ A1 A  1 AO  1 ， 2 同理 A2 A1  1 1 1 ， A3 A2  ，…， An An 1  n 1 ， 2 4 2 ∴ An O  AO  An An 1  2  1 ， 2 n 1 ∵ An 在负半轴， ∴ An 点所表示的数是 2  故答案是： 2  【点睛】 1 1 ． 2n1 1 ． 2n1 本题考查找规律，解题的关键是根据数轴上中点的性质找出点表示的数的规律． 2．如图 1，点 C 在线段 AB 上，图中共有三条线段 AB 、 AC 和 BC ，若其中有一条线段 的长度是另外一条线段长度的 2 倍，则称点 C 是线段 AB 的“好点”；如图 2，已知 AB  16cm ．动点 P 从点 A 出发，以 2cm / s 的速度沿 AB 向点 B 匀速运动；点 Q 从点 B 出发，以 1cm / s 的速度沿 BA 向点 A 匀速运动，点 P，Q 同时出发，当其中点 P 到达终 点时，运动停止；设运动的时间为 t (s) ，当 t  ______s 时，Q 为线段 AB 的“好点”． 【答案】 16 或8 3 【分析】 根据题意，得 t (s)  8s ；分 AQ  2 BQ 、 BQ  2 AQ 、 AB  2 BQ  2 AQ 三种情况分析， 分别列一元一次方程并求解，即可得到答案． 【详解】 ∵动点 P 从点 A 出发，以 2cm / s 的速度沿 AB 向点 B 匀速运动 ∴点 P 到达终点时，用时为： 16cm  8s 2cm / s ∵点 P，Q 同时出发，点 P 速度  点 Q 速度，且当其中点 P 到达终点时，运动停止 ∴ t (s)  8s 如图，Q 为线段 AB 的“好点” ∵点 Q 从点 B 出发，以 1cm / s 的速度沿 BA 向点 A 匀速运动 ∴ BQ  tcm ，则 AQ  16  t  cm 根据题意，分 AQ  2 BQ 、 BQ  2 AQ 、 AB  2 BQ  2 AQ 三种情况分析； 当 AQ  2 BQ 时， 16  t  2t ∴t  ∵ 16 s 3 16 8 3 ∴t  16 s 符合题意； 3 当 BQ  2 AQ 是， t  2 16  t  ∴t  ∵ 32 s 3 32 8 3 ∴t  32 s 不符合题意； 3 当 AB  2 BQ  2 AQ 时， 16  2t ∴ t  8s ∵8  8 ∴ t  8s 符合题意 故答案为： 16 或 8． 3 【点睛】 本题考查了一元一次方程和线段的知识；解题的关键是熟练掌握一元一次方程、线段的 性质，从而完成求解． 3．如图所示：已知 AB  5cm ， BC  10cm ，现有 P 点和 Q 点分别从 A ， B 两点出发相 向运动，P 点速度为 2cm/s ，Q 点速度为 3cm/s ，当 Q 到达 A 点后掉头向 C 点运动，Q 点 在向 C 的运动过程中经过 B 点时，速度变为 4cm/s ， P ， Q 两点中有一点到达 C 点时， 全部停止运动，那么经过____ s 后 PQ 的距离为 0.5cm ． 【答案】0.9 或 1.1 或 47 53 或 ． 12 12 【分析】 设经过 t 秒后 PQ 距离为 0.5cm，然后分情况分别进行考虑：①当 P、Q 在 AB 上且 P 在 Q 左侧时；②当 P、Q 在 AB 上且 P 在 Q 右侧时；③当 Q 从 A 返回还未到 B 时；④当 Q 从 A 返回运动并超过 B 点时；⑤当 Q 超过 P 时． 【详解】 解：设经过 t 秒后 PQ 距离为 0.5cm， ①当 P、Q 在 AB 上且 P 在 Q 左侧时，如图 1 所示： 由题意得：5-2t-3t=0.5，解得：t=0.9s， ②当 P、Q 在 AB 上且 P 在 Q 右侧时，如图 2 所示： 3 由题意得：2t+3t-0.5=5，解得：t=1.1s， 5 ③Q 到达 A 所用时间为 5÷3= s， 3 当 Q 从 A 返回还未到 B 时，如图 3 所示： 5  5  由题意得： 2t  3 t    0.5 ，解得：t=4.5s，但此时 AQ= 3  4.5    8.5 cm>5cm，不 3  3  符合题意； ④当 Q 从 A 返回运动并超过 B 点时，如图 4 所示： 此时 Q 从 B-A-B 用时为： 10 s， 3  10  由题意得： 5  4  t    0.5  2t ， 3   47 解得： t  s； 12 ⑤当 Q 超过 P 时，如图 5 所示：  10  由题意得： 5  4  t    2t  0.5， 3   53 解得： t  s， 12 综上所述，当 P、Q 相距 0.5cm 时，经过的时间为 0.9s 或 1.1s 或 故答案为：0.9 或 1.1 或 47 53 s或 s， 12 12 47 53 或 ． 12 12 【点睛】 本题考查两点间的距离，解一元一次方程，涉及列代数式，分类讨论的思想，解题的关 键是分哪几种情况讨论． 二、解答题 4．（探索新知）如图 1，点 C 在线段 AB 上，图中共有 3 条线段： AB 、 AC 、和 BC ， 若其中有一条线段的长度是另一条线段长度的两倍，则称点 C 是线段 AB 的“二倍点”. （1）一条线段的中点 这条线段的“二倍点”；（填“是”或“不是”） （深入研究）如图 2，点 A 表示数-10，点 B 表示数 20，若点 M 从点 B ，以每秒 3 cm 的 速度向点 A 运动，当点 M 到达点 A 时停止运动，设运动的时间为 t 秒. （用含 t 的代数式表示） ； （2）点 M 在运动过程中表示的数为 （3）求 t 为何值时，点 M 是线段 AB 的“二倍点”； （4）同时点 N 从点 A 的位置开始，以每秒 2 cm 的速度向点 B 运动，并与点 M 同时停止. 请直接写出点 M 是线段 AN 的“二倍点”时 t 的值. 【答案】 （1）是 ；（2） 20  3t ； （3） 10 15 90 90 20 或5或 ； （4） 或 或 3 3 2 11 13 【分析】 （1）可直接根据“二倍点”的定义进行判断； （2）由题意可直接得出； （3）用含 t 的代数式分别表示出线段 AM、BM、AB，然后根据“二倍点”定义分类讨论 的出结果； （4）用含 t 的代数式分别表示出线段 AN、MN、AM，然后根据“二倍点”定义分类讨论 的出结果； 【详解】 解： （1）因为线段的中点将线段分为相等的两部分，该线段等于 2 倍的中点一侧的线段 长，符合“二倍点”的定义，所以一条线段的中点是这条线段的“二倍点”； 故答案为：是． （2）由题意得出： 点 M 在运动过程中表示的数为：20-3t  0  t  10  ； （3）AB=30，AM=30-3t，BM=3t， 5 当 AM=2BM 时，30-3t=6t，解得， t  10 ； 3 当 2AM=BM 时，60-6t=3t，解得， t  20 ； 3 当 AM=BM 时，30-3t=3t，解得， t  5 ； 答：当 10 20 或5或 时，点 M 是线段 AB 的“二倍点”． 3 3 （4）AN=2t，AM=30-3t，NM=5t-30， 当 AN=2NM 时 2t=10t-60，解得， t  15 ； 2 当 2AM=NM 时，60-6t=5t-30，解得， t  90 ； 11 当 AM=2NM 时，30-3t=10t-60，解得， t  答：当 90 ． 13 15 90 90 或 或 时，点 M 是线段 AN 的“二倍点”． 2 11 13 【点睛】 本题考查的知识点是一元一次方程的应用以及两点间的距离，读懂题意，领会“二倍点” 的定义是解此题的关键，此题需要分情况讨论，注意不要漏解 5．如图，点 P 是定长线段 AB 上一点， C 、 D 两点分别从点 P 、 B 出发以 1 厘米/秒，2 厘米/秒的速度沿直线 AB 向左运动（点 C 在线段 AP 上，点 D 在线段 BP 上）． （1）若点 C 、D 运动到任一时刻时，总有 PD  2 AC ，请说明点 P 在线段 AB 上的位置； （2）在（1）的条件下，点 Q 是直线 AB 上一点，且 AQ  BQ  PQ ，求 （3）在（1）的条件下，若点 C 、 D 运动 5 秒后，恰好有 CD  PQ 的值； AB 1 AB ，此时点 C 停止运 2 动，点 D 继续运动（点 D 在线段 PB 上），点 M 、 N 分别是 CD 、 PD 的中点，下列结论： ① PM  PN 的值不变；② MN 的值不变．可以说明，只有一个结论是正确的，请你找 AB 出正确的结论并求值． 1 1 MN 1 MN  【答案】 （1）点 P 在线段 AB 的 处； （2） 或 1 ； （3）结论② 的值不变正确， . 3 3 AB 12 AB 【分析】 （1）设运动时间为 t 秒，用含 t 的代数式可表示出线段 PD、AC 长，根据 PD  2 AC ， 可知点 P 在线段 AB 上的位置； （2）由 AQ  BQ  PQ 可知 AQ 