专题 01 空间想象课之几何图形难点综合专练（解析版） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．一个正方体锯掉一个角后，顶点的个数是（ ） A．7 个 或 8 个 B．8 个或 9 个 C．7 个或 8 个或 9 个 D．7 个或 8 个或 9 个或 10 个 【答案】D 【详解】 如下图，一个正方体锯掉一个角，存在以下四种不同的情形，新的几何体的顶点个数分 别为：7 个、8 个、9 个或 10 个. 故选 D. 2．如图所示，每个小立方体的棱长为 1，按如图所示的视线方向看，图 1 中共有 1 个 1 立方体，其中 1 个看得见，0 个看不见；图 2 中共有 8 个立方体，其中 7 个看得见，1 个看不见；图 3 中共有 27 个小立方体，其中 19 个看得见，8 个看不见；…，则第 11 个图形中，其中看得见的小立方体个数是（ A．271 B．272 ） C．331 D．332 【答案】C 【分析】 根据图①中,共有 1 个小立方体,其中 1 个看得见,0=（1-1）3 个看不见, 图②中,共有 8 个小立方体,其中 7 个看得见,1=（2-1）3 个看不见, 图③中,共有 27 个小立方体,其中 19 个看得见,8=（3-1）3 个看不见,…, 归纳出变化规律: 第 n 个图中,一切看不见的棱长为 1 的小立方体的个数为（n-1）3, 看见立方体的个数为 n3-（n-1）3,将第 11 个代入即可求解. 【详解】 图①中,共有 1 个小立方体,其中 1 个看得见,0=（1-1）3 个看不见, 图②中,共有 8 个小立方体,其中 7 个看得见,1=（2-1）3 个看不见, 图③中,共有 27 个小立方体,其中 19 个看得见,8=（3-1）3 个看不见,…, 第 n 个图中,一切看不见的棱长为 1 的小立方体的个数为（n-1）3, 看见立方体的个数为 n3-（n-1）3, 所以则第 11 个图形中,其中看得见的小立方体有 113-103=331 个, 故选 C. 【点睛】 本题主要考查图形变化规律,解决本题的关键是要通过题目条件进行归纳找出图形变化 规律. 3．如图是某正方体的展开图，在顶点处标有数字，当把它折成正方体时，与 4 重合的 数字是（ A． 9 和 13 ） B． 2 和 9 C． 1 和 13 D． 2 和 8 【答案】D 【分析】 当把这个平面图形折成正方体时，左面五个正方形折成一个无盖的正方体，此时，1 与 13 重合、2 与 4 重合、5 与 7 重合、10 与 12 重合，右面一个正方形折成正方体的盖， 此时 8 与 2、4 的重合，9 与 1、13 的重合． 【详解】 解：当把这个平面图形折成正方体时，与 4 重合的数字是 2、8. 故选：D． 【点睛】 本题是考查正方体的展开图，训练学生观察和空间想象的能力． 4．如图，有一个无盖的正方体纸盒，的下底面标有字母“ M ”，若沿图中的粗线将其剪 开展成平面图形，这个平面图形是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 根据无盖可知底面 M 没有对面，再根据图形粗线的位置，可知底面的正方形位于底面 与侧面的从左边数第 2 个正方形下边，然后根据选项选择即可． 【详解】 ∵正方体纸盒无盖， ∴底面 M 没有对面， ∵沿图中的粗线将其剪开展成平面图形， ∴底面与侧面的从左边数第 2 个正方形相连，根据正方体的表面展开图，相对的面之间 一定相隔一个正方形可知，只有 A 选项图形符合． 故选 A． 【点睛】 本题主要考查了正方体相对两个面上的文字，注意正方体的空间图形，从相对面入手， 分析及解答问题． 二、填空题 5．将两个棱长相等的正方体如图摆放，每个正方体的 6 个面均标上数字，且所有对面 数字之和 ．．均为 10，则图中看不见的面的数字之和 ．．为___． 【答案】50 【分析】 根据题意可分别得出正方体每个面上的数字，再相加即可，注意不要忘记两个正方体中 间两面上的数字． 【详解】 解：根据题意可得出 2 对面是 8，4 对面是 6，6 对面是 4，3 对面是 7，-5 对面是 15， 两个正方体中间两面上的数字和为 10， ∴图中看不见的面的数字和为： 8  6  4  7  15  10  50 ． 故答案为：50． 【点睛】 本题考查的知识点是有理数的加法运算，结合图形找出正方体每个面上的数字是解此题 的关键． 6．如图，长方形的长为 3cm 、宽为 2cm ，分别以该长方形的一边所在直线为轴，将其旋 转一周，形成圆柱，其体积为_____ cm3 ． （结果保留  ） 【答案】 12 或 18 ． 【分析】 根据圆柱体的体积=底面积×高求解，再利用圆柱体侧面积求法得出答案． 【详解】 若以 3cm 为轴，旋转一周， 则 2cm 为半径， 所以 V    22  3  12 ， 若以 2cm 为轴，旋转一周， 则 3cm 为半径， 所以 V    32  2  18 ， 故答案为 12 或 18 【点睛】 此题主要考查了面动成体，关键是掌握圆柱体的体积和侧面积计算公式． 7．将正方体骰子（相对面上的点数分别为 1 和 6 、 2 和 5 、 3 和 4 ）放置水平桌面上，如 图 1．在图 2 中，将骰子向右翻滚 90 ，然后在桌面上按逆时针方向旋转 90 ，则完成一 次变换．若骰子的初始位置为图 1 所示的状态，那么按上述规则连续完成 10 次变换后， 骰子朝上一面的点数是__________． 【答案】5 【分析】 先向右翻滚，然后再逆时针旋转叫做一次变换，那么连续 3 次变换是一个循环．本题先 要找出 3 次变换是一个循环，然后再求 10 被 3 整除后余数是 1，从而确定第 1 次变换 的第 1 步变换． 【详解】 解：根据题意可知连续 3 次变换是一循环．所以 10÷3=3…1．所以是第 1 次变换后的图 形，即按上述规则连续完成 10 次变换后，骰子朝上一面的点数是 5． 故应填：5． 【点睛】 本题考查了正方体相对两个面上的文字，是一道找规律的题目，这类题型在中考中经常 出现．对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的． 8．把边长为 2 的正方形纸片 ABCD 分割成如图的四块，其中点 E，F 分别是 AB，AD 的中点， OB  OC  EF ， OF  EB ，用这四块纸片拼成一个与正方形 ABCD 不重合的 长方形 MNPQ（要求这四块纸片不重叠无缝隙） ，则长方形 MNPQ 的周长是_________． 【答案】10 【分析】 根据题意，将三角形 BOC 和四边形 OCDF 移动位置，即可得到长方形 MNPQ；再根据 正方形纸片 ABCD 边长为 2，通过计算即可得到长方形 MNPQ 的边长，从而完成求解． 【详解】 ∵点 E，F 分别是 AB，AD 的中点， OB  OC  EF ， OF  EB ∴如下图，将三角形 BOC 和四边形 OCDF 移动位置，即可得到长方形 MNPQ； ∵正方形纸片 ABCD 边长为 2 结合题意，得 NP  MQ  AF  FD  1 AB  1 ， BN  CD  AB  MB  2 2 ∴ MN  MB  BN  4 ∴长方形 MNPQ 的周长  2  4  1 2  10 故答案为：10． 【点睛】 本题考查了平面图形的知识；解题的关键是熟练掌握平面图形的性质，从而完成求解． ，面数（f），棱数（e） 9．十八世纪伟大的数学家欧拉证明了简单多面体中顶点数（v） 之间存在一个有趣的数量关系：v+f﹣e＝2，这就是著名的欧拉定理．而正多面体，是 指多面体的各个面都是形状大小完全相同的的正多边形，虽然多面体的家族很庞大，可 是正多面体的成员却仅有五种，它们是正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体和 正二十面体，那今天就让我们来了解下这几个立体图形中的“天之骄子”： （1）如图 1，正四面体共有______个顶点，_______条棱． （2）如图 2，正六面体共有______个顶点，_______条棱． （3）如图 3 是某个方向看到的正八面体的部分形状（虚线被隐藏），正八面体每个面都 是正三角形，每个顶点处有四条棱，那么它共有_______个顶点，_______条棱． （4）当我们没有正 12 面体的图形时，我们可以根据计算了解它的形状：我们设正 12 面体每个面都是正 n（n≥3）边形，每个顶点处有 m（m≥3）条棱，则共有 12n÷2＝6n 条梭，有 12n÷m＝ 12n 12n 个顶点．欧拉定理得到方程： +12﹣6n＝2，且 m，n 均为正 m m 整数， 去掉分母后：12n+12m﹣6nm＝2m， 将 n 看作常数移项：12m﹣6nm﹣2m＝﹣12n， 合并同类项： （10﹣6n）m＝﹣12n， 化系数为 1：m＝ 变形： m  12n 12n  ， 10  6n 6n  10 12n ， 6n  10 ＝ 12n  20  20 ， 6n  10 ＝ 12n  20 20  ， 6n  10 6n  10 ＝ 2(6n  10) 20  ， 6n  10 6n  10 ＝2 20 ． 6n  10 分析：m（m≥3），n（n≥3）均为正整数，所以 6n＝30， 20 是正整数，所以 n＝5，m＝3，即 6n  10 12n  20 ． m 因此正 12 面体每个面都是正五边形，共有 30 条棱，20 个顶点． 请依据上面的方法或者根据自己的思考得出：正 20 面体共有_____条棱；_______个顶 点． 【答案】 （1）4；6；（2）8；12；（3）6；12； （4）30；12． 【分析】 （1）根据面数×每面的边数÷每个顶点处的棱数可求点数，用顶点数×每个顶点的棱数 ÷2 即可的棱数； （2）用正六面体有六个面×每个面四条棱÷每个顶点处有三条棱可得正六面体共 8 个顶 点，用 8 个顶点数×每个顶点处有 3 条棱÷2 正六面体共有=12 条棱； （3）正八面体每个面都是正三角形，每个顶点处有四条棱，用八个面×每个面有三棱÷ 每个顶点处有四条棱，它共有 6 个顶点，利用顶点数×每个顶点处有四条棱÷2 可得正八 面体 12 条棱； （4）正 20 面体每个面都是正 n（n≥3）边形，每个顶点处有 m（m≥3）条棱，则共有 20n 20n 个顶点．欧拉定理得到方程： +20﹣10n＝2，且 m m 20