专题 03 数形思想课之角的综合计算难点专练（解析版） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．如图，直线 AB, CD 相交于点 O, AOC  BOD ， EOF  COG  90, OA 平分 COF ，射线 OD 将 BOE 分成了角度数之比为 2 :1 的两个角，则 COF 的大小为（ ） B． 60 A． 45 D． 40 或 60 C． 72 或 45 【答案】C 【分析】 1 设∠DOE=x°，∠BOD=2x°或 2 x°，表示出其他角，根据平角列方程即可． 【详解】 解：设∠DOE=x°，射线 OD 将 BOE 分成了角度数之比为 2 :1 的两个角， 1 1 当∠DOE:∠BOD=2:1 时，∠BOD= 2 x°， AOC  BOD = 2 x°， ∵ OA 平分 COF ， 1 ∴ AOC  AOF = 2 x°， ∵ EOF  COG  90, ∠COD=180°， 1 1 ∴ 2 x+ 2 x+90+ x=180， 解得，x=45； ∠COF=2∠AOC=45°； 当∠BOD: ∠DOE =2:1 时，∠BOD=2x°， AOC  BOD =2x°， 同理， AOC  AOF =2x°， 2x+2x+90+ x=180， 1 解得：x=18， ∠COF=2∠AOC=72°； 故选：C． 【点睛】 本题考查了角的运算、角的度量和角平分线，解题关键是根据角度比设未知数，表示出 其他角，然后根据平角列方程，注意：分类讨论． 2．如图，点 O 为线段 AD 外一点，点 M ，C ，B ，N 为 AD 上任意四点，连接 OM ，OC ， OB ， ON ，下列结论不正确的是（ ） A．以 O 为顶点的角共有 15 个 B．若 MC  CB ， MN  ND ，则 CD  2CN C．若 M 为 AB 中点， N 为 CD 中点，则 MN  1  AD  CB  2 D．若 OM 平分 AOC ， ON 平分 BOD ， AOD  5COB ，则 MON  3  MOC  BON  2 【答案】B 【分析】 由于 B 选项中的结论是 CD  2CN ,而 CD  CN  ND ,因此只要判断 ND 和 CN 是否相等 即可，根据 ND  MN ,而 MN  CN ,因此得到 ND  CN ，由此得出 B 选项错误． 【详解】 解：以 O 为顶点的角有 65  15 个， 2 所以 A 选项正确；  MN  ND ，  ND  CN ,  CD  CN  ND  CN  CN ,即 CD  2CN , 所以 B 选项错误； 由中点定义可得： MB  1 1 AB , NC  CD , 2 2  MN  MB  CN  CB  1 1 1 AB  CD  CB   AB  CD   CB ， 2 2 2  AB  CD  AD  CB ,  MN  1 1  AD  CB   CB   AD  CB  , 2 2 所以 C 选项正确； 由角平分线的定义可得： AOC  2MOC , BOD  2BON ,  AOD  AOC  COB  DOB  5COB ,  2MOC  2BON  BOC  5BOC , MOC  BON  2BOC , MON  MOC  COB  BON  2COB  COB  3COB 3 3  MOC  BON    2COB  3COB , 2 2 MON  3  MOC  BON  , 2 所以 D 选项正确， 所以不正确的只有 B， 故选：B. 【点睛】 本题综合考查了角和线段的相关知识，要求学生能正确判断角以及不同的角之间的关系， 能正确运用角平分线的定义，能明确中点的定义，并能正确地进行线段之间的关系转换， 考查了学生对相关概念的理解以及几何运算的能力． 二、填空题 3．在同一平面内，AOB  90 ，AOC  20 ，∠COD  50 ，COD 至少有一边在 AOB 内部，则 BOD 的度数为___． 【答案】 20 或 120 或 60 ． 【分析】 3 对射线 OC、OD 在∠AOB 内部和外部进行分类讨论，然后按照角的和差计算即可． 【详解】 解：∵ AOB  90 ， AOC  20 ， ∠COD  50 ， 如图 1，OC、OD 都在∠AOB 内部， BOD  AOB  AOC  COD  20 ； 如图 2，OC 在∠AOB 内部， OD 在∠AOB 外部， BOD  AOB  AOC  COD  120 ， 如图 3，OC 在∠AOB 外部， OD 在∠AOB 内部， BOD  AOB  AOC  COD  60 ， 故答案为： 20 或 120 或 60 ． 【点睛】 本题考查了角的和差，解题关键是画出准确图形，分类讨论，准确计算． 4．如图，把 APB 放在量角器上，读得射线 PA 、PB 分别经过刻度 117 和 153，把 APB 绕点 P 逆时针方向旋转到 APB ，下列三个结论：① APA  BPB ；②若射线 PA 经 过刻度 27，则 BPA 与 APB 互补；③若 APB  中正确的是__________________（填序号） 1 APA ，则射线 PA 经过刻度 45．其 2 【答案】①②③ 【分析】 结合题意，根据角的度量的性质，得 APB 及 APB ，从而推导得 APA  BPB ； 根据角的和差的性质，计算得 BPA  APB  180 以及 APA ，从而完成求解． 【详解】 ∵射线 PA 、 PB 分别经过刻度 117 和 153 ∴ APB  153  117  36 把 APB 绕点 P 逆时针方向旋转到 APB ，得 APB  APB ∵ APA  APB  APB ， BPB  APB  APB ∴ APA  BPB ，即①正确； ∵射线 PA 经过刻度 27 ∵ APB  APB  36 ∴射线 PB 经过刻度为： 27  36  63 ∴ BPA  117  63  54 ∴ APB  APB  BPA  APB  36  54  36  126 ∴ BPA  APB  180 ，即②正确； ∵ APB  1 APA ，且 APA  APB  APB 2 ∴ APB  APB ∴ APA  2APB  72 ∴射线 PA 经过刻度为： 117  72  45 ，即③正确； 故答案为：①②③． 【点睛】 本题考查了角的知识；解题的关键是熟练掌握角的度量、补角、角的和差的性质，从而 完成求解． 5．射线 OC 平分∠AOB，从点 O 引出一条射线 OD，使∠AOB＝3∠AOD，若∠COD＝ 20°，则∠AOB 的度数为_____． 【答案】24°或 120°． 【分析】 5 利用角平分线的性质及角的和差关系，根据∠AOB＝3∠AOD，得到关于∠AOB 的一次 方程，求解即可． 【详解】 解：∵OC 平分∠AOB， ∴∠AOC  1 ∠AOB． 2 （1）如图 1 所示，当 OD 在∠AOB 外部时， ∵∠COD＝∠AOC+∠AOD， 1 ∴∠AOD＝20°  ∠AOB． 2 ∵∠AOB＝3∠AOD， 1 ∴∠AOB＝3（20°  ∠AOB） ． 2 3 即∠AOB＝60°  ∠AOB． 2 解得∠AOB＝24°． （2）如图 2 所示，当 OD 在∠AOB 内部 ∵∠COD＝∠AOC  ∠AOD， ∴∠AOD  1 ∠AOB﹣20°． 2 ∵∠AOB＝3∠AOD， 1 ∴∠AOB＝3（ 2 ∠AOB﹣20°）． 即∠AOB＝ 3 ∠AOB﹣60°． 2 解得∠AOB＝120°． 故答案为：24°或 120°． 【点睛】 本题考查了角的计算及角平分线的性质，掌握角的和差关系及角平分线的性质是解决本 题的关键． 三、解答题 6．已知将一副三角尺（直角三角尺 OAB 和 OCD ）的两个顶点重合于点 O ，AOB  90 ， COD  30 （1）如图 1，将三角尺 COD 绕点 O 逆时针方向转动，当 OB 恰好平分 COD 时，求 AOC 的度数； （2）如图 2，当三角尺 OCD 摆放在 AOB 内部时，作射线 OM 平分 AOC ，射线 ON 平 分 BOD ，如果三角尺 OCD 在 AOB 内绕点 O 任意转动， MON 的度数是否发生变 化？如果不变，求其值；如果变化，说明理由． 【答案】 （1） COB  75 ； （2）不变． MON  60 【分析】 （1）根据 OB 平分 COD ，求出∠BOC，再用角的和差求∠AOC 即可； （2）根据角平分线的性质，求出∠DON 和∠COM 的和是∠BOD 和∠AOC 和的一半即 可． 【详解】 解： （1） Q OB 平分 COD COB  1 1 COD   30  15 ， 2 2 AOC  AOB  COB  90  15  75 ； 7 图1 图2 （2）不变． Q OM 平分 AOC ， ON 平分 BOD 1 1 NOD  BOD ， COM  AOC 2 2 1  MON  NOD  COD  COM  BOD  AOC  COD 2 2  1  BOD  AOC   COD 2 1  AOB  COD   COD 2 1    90  30   30  60 2  【点睛】 本题考查了角平分线的性质，熟练运用角平分线的性质，结合角的和差进行计算是解题 关键． （学习概念） 如图 1，在∠AOB