专题 01 空间想象课之几何图形难点综合专练（原卷版） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．一个正方体锯掉一个角后，顶点的个数是（ ） A．7 个 或 8 个 B．8 个或 9 个 C．7 个或 8 个或 9 个 D．7 个或 8 个或 9 个或 10 个 2．如图所示，每个小立方体的棱长为 1，按如图所示的视线方向看，图 1 中共有 1 个 1 立方体，其中 1 个看得见，0 个看不见；图 2 中共有 8 个立方体，其中 7 个看得见，1 个看不见；图 3 中共有 27 个小立方体，其中 19 个看得见，8 个看不见；…，则第 11 个图形中，其中看得见的小立方体个数是（ A．271 B．272 ） C．331 D．332 3．如图是某正方体的展开图，在顶点处标有数字，当把它折成正方体时，与 4 重合的 数字是（ A． 9 和 13 ） B． 2 和 9 C． 1 和 13 D． 2 和 8 4．如图，有一个无盖的正方体纸盒，的下底面标有字母“ M ”，若沿图中的粗线将其剪 开展成平面图形，这个平面图形是（ ） A． B． C． D． 二、填空题 5．将两个棱长相等的正方体如图摆放，每个正方体的 6 个面均标上数字，且所有对面 数字之和 ．．均为 10，则图中看不见的面的数字之和 ．．为___． 6．如图，长方形的长为 3cm 、宽为 2cm ，分别以该长方形的一边所在直线为轴，将其旋 转一周，形成圆柱，其体积为_____ cm3 ． （结果保留  ） 7．将正方体骰子（相对面上的点数分别为 1 和 6 、 2 和 5 、 3 和 4 ）放置水平桌面上，如 图 1．在图 2 中，将骰子向右翻滚 90 ，然后在桌面上按逆时针方向旋转 90 ，则完成一 次变换．若骰子的初始位置为图 1 所示的状态，那么按上述规则连续完成 10 次变换后， 骰子朝上一面的点数是__________． 8．把边长为 2 的正方形纸片 ABCD 分割成如图的四块，其中点 E，F 分别是 AB，AD 的中点， OB  OC  EF ， OF  EB ，用这四块纸片拼成一个与正方形 ABCD 不重合的 长方形 MNPQ（要求这四块纸片不重叠无缝隙） ，则长方形 MNPQ 的周长是_________． ，面数（f），棱数（e） 9．十八世纪伟大的数学家欧拉证明了简单多面体中顶点数（v） 之间存在一个有趣的数量关系：v+f﹣e＝2，这就是著名的欧拉定理．而正多面体，是 指多面体的各个面都是形状大小完全相同的的正多边形，虽然多面体的家族很庞大，可 是正多面体的成员却仅有五种，它们是正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体和 正二十面体，那今天就让我们来了解下这几个立体图形中的“天之骄子”： （1）如图 1，正四面体共有______个顶点，_______条棱． （2）如图 2，正六面体共有______个顶点，_______条棱． （3）如图 3 是某个方向看到的正八面体的部分形状（虚线被隐藏），正八面体每个面都 是正三角形，每个顶点处有四条棱，那么它共有_______个顶点，_______条棱． （4）当我们没有正 12 面体的图形时，我们可以根据计算了解它的形状：我们设正 12 面体每个面都是正 n（n≥3）边形，每个顶点处有 m（m≥3）条棱，则共有 12n÷2＝6n 条梭，有 12n÷m＝ 12n 12n 个顶点．欧拉定理得到方程： +12﹣6n＝2，且 m，n 均为正 m m 整数， 去掉分母后：12n+12m﹣6nm＝2m， 将 n 看作常数移项：12m﹣6nm﹣2m＝﹣12n， 合并同类项： （10﹣6n）m＝﹣12n， 化系数为 1：m＝ 变形： m  12n 12n  ， 10  6n 6n  10 12n ， 6n  10 ＝ 12n  20  20 ， 6n  10 ＝ 12n  20 20  ， 6n  10 6n  10 ＝ 2(6n  10) 20  ， 6n  10 6n  10 ＝2 20 ． 6n  10 分析：m（m≥3），n（n≥3）均为正整数，所以 6n＝30， 12n  20 ． m 20 是正整数，所以 n＝5，m＝3，即 6n  10 因此正 12 面体每个面都是正五边形，共有 30 条棱，20 个顶点． 请依据上面的方法或者根据自己的思考得出：正 20 面体共有_____条棱；_______个顶 点． 10．如图，将 3 个同样的正方体重叠放置在桌面上，每个正方体的 6 个面上分别写有－ 3、－2、－1、1、2、3，相对的两面上写的数字互为相反数，现在有 5 个面的数字无论 从哪个角度都看不到，这 5 个看不到的面上数字的乘积是________． 三、解答题 11．动手做一做：某校教具制作车间有等腰三角形正方形、平行四边形的塑料若干，数 学兴趣小组的同学利用其中 7 块恰好拼成一个矩形（如图 1） ，后来又用它们拼出了 XYZ 等字母模型（如图 2、图 3、图 4） ，每个塑料板保持图 1 的标号不变，请你参与： （1）将图 2 中每块塑料板对应的标号填上去； （2）图 3 中，点画出了标号 7 的塑料板位置，请你适当画线，找出其他 6 块塑料板， 并 填上标号； （3）在图 4 中，找出 7 块塑料板，并填上标号． 12．生活中的易拉罐、电池、圆形的笔筒等都是一种叫做圆柱体的立体图形（如图 1 所 示） ，当把它的上底面、下底面和侧面展开后发现上底面和下底面是两个大小相同的圆， 侧面是一个长方形（如图 2 所示） 1 一个圆柱体的铝制易拉罐上、下两个底面的半径都是 4cm，侧面高为 15cm，制作这 样一个易拉罐需要面积多大的铝材？ ( 不计接缝 ) ．  2 如果一个圆柱体的铝制装饰品的高是 5cm，而且侧面的面积等于上、下两个底面面 积之和，那么底面的半径是______cm．  3 一张正方形的铝材边长是 40cm，可单独用于制作  2 题中铝制装饰品的侧面或单独 用于制作底面，若要使制成的侧面和底面正好能成为一套完整的装饰品，那么制作侧面 的铝材张数与制作底面的铝材张数之比为______． 13．如图 1 至图 3 是将正方体截去一部分后得到的多面体． （1）根据要求填写表格： 面数（ f ） 顶点数（ v ） 棱数（ e ） 图1 图2 图3 （2）猜想三个数量间有何关系； （3）根据猜想计算，若一个多面体有顶点数 2018 个，棱数 4036 条，试求出它的面数． 14．如图，在一次数学活动课上，张明用 17 个底面为正方形，且底面边长为 a ，高为 b 的小长方体达成了一个几何体，然后他请王亮用尽可能少的同样的长方体在旁边再搭一 个几何体，使王亮所搭的几何体恰好可以和张明所搭的几何体拼成一个大长方体（即拼 大长方体时将其中一个几何体翻转，且假定组成每个几何体的小长方体粘合在一起）. （1）王亮至少还需要 个小长方体； （2）请画出张明所搭几何体的左视图，并计算它的表面积（用含 a , b 的代数式表示） ； （3）请计算（1）条件下王亮所搭几何体的表面积（用含 a , b 的代数式表示）. 15．如图所示，在一张正方形纸片的四个角上各剪去一个同样大小的正方形，然后把剩 下的部分折成一个无盖的长方体盒子．请回答下列问题： （1）剪去的小正方形的边长与折成的无盖长方体盒子的高之间的大小关系 为 ； （2）如果设原来这张正方形纸片的边长为 acm ，所折成的无盖长方体盒子的高为 hcm ， cm3 ； 那么，这个无盖长方体盒子的容积可以表示为 （3）如果原正方形纸片的边长为 20cm ，剪去的小正方形的边长按整数值依次变化，即 分别取 1cm, 2cm,3cm, 4cm,5cm, 6cm, 7cm,8cm,9cm,10cm 时，计算折成 的无盖长方体盒子的容积 cm 时，折成的无盖长 得到下表，由此可以判断，当剪去的小正方形边长为 方体盒子的容积最大 剪去的小 正方 形的 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 324 m n 576 500 384 252 128 36 0 边长 /cm 折成的无 盖长 方体的容 积 /cm3 16．十八世纪瑞士数学家欧拉证明了简单多面体中顶点数（V）、面数（F）、棱数（E） 之间存在的一个有趣的关系式，被称为欧拉公式． 请你观察下列几种简单多面体模型，解答下列问题： （1）根据上面多面体模型，完成表格中的空格： 多面体 顶点数（V） 面数（F） 四面体 4 4 长方体 8 6 12 8 12 12 30 正八面体 正十二面体 20 你发现顶点数（V）、面数（F）、棱数（E）之间存在的关系式是 棱数（E） ． （2）一个多面体的面数比顶点数大 8，且有 30 条棱，则这个多面体的面数是 ． （3）某个玻璃鉓品的外形是简单多面体，它的外表面是由三角形和八边形两种多边形 拼接而成，且有 24 个顶点，每个顶点处都有 3 条棱，设该多面体外表三角形的个数为 x 个，八边形的个数为 y 个，求 x+y 的值． 17．如图（1），这是将一个棱长为 1 的正方体空盒子截去一个角后的剩下的几何体，请 在图（2）的 4  4 的网格中画出它的一种展开图． 18．在一次青少年模型大赛中，小高和小刘各制作了一个模型，小高制作的是棱长为 acm 的正方体模型，小刘制作的是棱长为 acm 的正方体右上角割去一个长为 3cm，宽为 2cm，高为 1cm 的长方体模型（如图 2） （1）用含 a 的代数式表示，小高制作的模型的各棱长度之和是___________； 5 （2）若小高的模型各棱长之和是小刘的模型各棱长之和的 ，求 a 的值； 6 （3）在（2）的条件下， ①图 3 是小刘制作的模型中正方体六个面的展开图，图中缺失的有一部分已经很用阴影 表示，请你用阴影表示出其余缺失部分，并标出边的长度． ②如果把小刘的模型中正方体的六个面展开，则展开图的周长是________cm；请你在图 方格中画出小刘的模型中正方体六个面的展开图周长最大时的图形． 19．为了预防新型冠状病毒的传染，人员之间需要保持一米以上的安全距离．某公司会 议室共有四行四列座椅，并且相邻两个座椅之间的距离超过一米，为了保证更加安全， 公司规定在此会议室开会时，每一行、每一列均不能有连续三人就座．例如图 1 中第一 列所示情况