专题 03 数形思想课之角的综合计算难点专练（原卷版） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．如图，直线 AB, CD 相交于点 O, AOC  BOD ， EOF  COG  90, OA 平分 COF ，射线 OD 将 BOE 分成了角度数之比为 2 :1 的两个角，则 COF 的大小为（ ） B． 60 A． 45 C． 72 或 45 D． 40 或 60 2．如图，点 O 为线段 AD 外一点，点 M ，C ，B ，N 为 AD 上任意四点，连接 OM ，OC ， OB ， ON ，下列结论不正确的是（ ） A．以 O 为顶点的角共有 15 个 B．若 MC  CB ， MN  ND ，则 CD  2CN C．若 M 为 AB 中点， N 为 CD 中点，则 MN  1  AD  CB  2 D．若 OM 平分 AOC ， ON 平分 BOD ， AOD  5COB ，则 MON  3  MOC  BON  2 二、填空题 3．在同一平面内，AOB  90 ，AOC  20 ，∠COD  50 ，COD 至少有一边在 AOB 内部，则 BOD 的度数为___． 4．如图，把 APB 放在量角器上，读得射线 PA 、PB 分别经过刻度 117 和 153，把 APB 绕点 P 逆时针方向旋转到 APB ，下列三个结论：① APA  BPB ；②若射线 PA 经 1 过刻度 27，则 BPA 与 APB 互补；③若 APB  1 APA ，则射线 PA 经过刻度 45．其 2 中正确的是__________________（填序号） 5．射线 OC 平分∠AOB，从点 O 引出一条射线 OD，使∠AOB＝3∠AOD，若∠COD＝ 20°，则∠AOB 的度数为_____． 三、解答题 6．已知将一副三角尺（直角三角尺 OAB 和 OCD ）的两个顶点重合于点 O ，AOB  90 ， COD  30 （1）如图 1，将三角尺 COD 绕点 O 逆时针方向转动，当 OB 恰好平分 COD 时，求 AOC 的度数； （2）如图 2，当三角尺 OCD 摆放在 AOB 内部时，作射线 OM 平分 AOC ，射线 ON 平 分 BOD ，如果三角尺 OCD 在 AOB 内绕点 O 任意转动， MON 的度数是否发生变 化？如果不变，求其值；如果变化，说明理由． （学习概念） 如图 1，在∠AOB 的内部引一条射线 OC，则图中共有 3 个角，分别是 7． ∠AOB、∠AOC 和∠BOC．若其中有一个角的度数是另一个角度数的两倍，则称射线 OC 是∠AOB 的“好好线”． （理解运用） （1）①如图 2，若∠MPQ＝∠NPQ，则射线 PQ ∠MPN 的“好好线”（填“是”或“不 是”）； ②若∠MPQ≠∠NPQ，∠MPQ＝α，且射线 PQ 是∠MPN 的“好好线”，请用含α的代数式 表示∠MPN； （拓展提升） （2）如图 3，若∠MPN＝120°，射线 PQ 绕点 P 从 PN 位置开始，以每秒 12°的速度逆 时针旋转，旋转的时间为 t 秒．当 PQ 与 PN 成 110°时停止旋转．同时射线 PM 绕点 P 以每秒 6°的速度顺时针旋转，并与 PQ 同时停止． 当 PQ、PM 其中一条射线是另一条 射线与射线 PN 的夹角的“好好线”时，则 t＝ 秒． 8．如图 1，射线 OC 在 AOB 的内部，图中共有 3 个角： AOB 、 AOC 、 BOC ， 若其中有一个角的度数是另一个角度数的两倍，则称射线 OC 是 AOB 的“定分线”． （1）一个角的平分线_________这个角的“定分线”；（填“是”或“不是”） （2）如图 2，若 MPN  a ，且射线 PQ 是 MPN 的“定分线”，则 MPQ  ________(用 含 a 的代数式表示出所有可能的结果）； （3）如图 2，若 MPN =48°，且射线 PQ 绕点 P 从 PN 位置开始，以每秒 8°的速度逆 时针旋转，当 PQ 与 PN 成 90°时停止旋转，旋转的时间为 t 秒；同时射线 PM 绕点 P 以 每秒 4°的速度逆时针旋转，并与 PQ 同时停止．当 PQ 是 MPN 的“定分线”时，求 t 的 值． 9．如图，一副三角板中各有一个顶点在直线 MN 的点 O 处重合，三角板 AOB 的边 OA 落 在直线 MN 上，三角板 COD 绕着顶点 O 任意旋转．两块三角板都在直线 MN 的上方， 作 BOD 的平分线 OP ，且 AOB  45 ， COD  60 ． （1）当点 C 在射线 ON 上时（如图 1）， BOP 的度数是_______． （2）现将三角板 COD 绕着顶点 O 旋转一个角度 x （即 CON  x ），请就下列两种情 形，分别求出 BOP 的度数（用含 x 的代数式表示） ①当 CON 为锐角时（如图 2）； 3 ②当 CON 为钝角时（如图 3）； 10．定义：在同一平两内，有公共端点的三条射线中，一条射线是另两条射线组成夹角 的角平分线，我们称这三条射线为“共生三线”． 如图为一量角器的平面示意图， O 为量角器的中心．作射线 OA ， OB ， OC ，并将其所 对应的量角器外圈刻度分别记为 a ， b ， m ． （1）若射线 OA ， OB ， OC 为“共生三线”，且 OC 为 AOB 的角平分线． ①如图 1， a  0 ， b  80 ，则 m  ______； ②当 a  40 ， b  150 时，请在图 2 中作出射线 OA ， OB ， OC ，并直接写出 m 的值； ③根据①②的经验，得 m  ______（用含 a ， b 的代数式表示）． （2）如图 3， a  0 ， b  m  60 ．在 0 刻度线所在直线上方区域内，将 OA ， OB ， OC 按逆时针方向绕点 O 同时旋转，旋转速度分别为每秒 12 ， 6 ， 8 ，若旋转 t 秒后得到 的射线 OA ， OB ， OC 为“共生三线”，求 t 的值． 11．如图 1，已知点 O 为直线 AB 上一点，将一个直角三角板 COD 的直角顶点放在点 O 处，并使 OC 边、 OD 边始终在直线 AB 的上方， OE 平分 BOC ． （1）若 DOE  20 ，则 AOC  __________°； （2）若 DOE  m ，求 AOC 的度数（用含 m 的代数式表示）； （3）若在 AOC 的内部有一条射线 OF （如图 2） ，满足 2BOE  3AOF  DOE ，试 确定 AOF 与 DOE 之间的数量关系，并说明理由． 12．已知 AOB  150 ，OD 为∠AOB 内部的一条射线． 1 （1）如图（1），若 BOC  60 ，OD 为∠AOB 内部的一条射线， COD  BOC ， 3 OE 平分∠AOB，求∠DOE 的度数； （2）如图（2），若 OC、OD 是∠AOB 内部的两条射线，OM、ON 分别平分∠AOD， ∠BOC，且 MOC  NOD ，求 AOC  BOD 的值； MOC  NOD （3）如图（3），C1 为射线 OB 的反向延长线上一点，将射线 OB 绕点 O 顺时针以 6°/s 的速度旋转，旋转后 OB 对应射线为 OB1，旋转时间为 t 秒（0＜t 35） ，OE 平分∠AOB1， 1 OF 为∠C1OB1 的三等分线， C1OF  C1OB1 ，若 C1OF  AOE  30 ，直接写出 t 3 的值为_________． （阅读理解） 13． 1 射线 OC 是∠AOB 内部的一条射线，若∠COA＝ 2 ∠BOC，则我们称射线 OC 是射线 1 OA 关于∠AOB 的伴随线．例如，如图 1，若∠AOC＝ 2 ∠BOC，则称射线 OC 是射线 1 OA 关于∠AOB 的伴随线；若∠BOD ＝ 2 ∠COD，则称射线 OD 是射线 OB 关于∠BOC 的伴随线． （知识运用）如图 2，∠AOB＝120°． （1）射线 OM 是射线 OA 关于∠AOB 的伴随线．则∠AOM＝_________° （2）射线 ON 是射线 OB 关于∠AOB 的伴随线，射线 OQ 是∠AOB 的平分线，则∠NOQ 的度数是_________°． （3）射线 OC 与射线 OA 重合，并绕点 O 以每秒 2°的速度逆时针旋转，射线 OD 与射 5 线 OB 重合，并绕点 O 以每秒 3°的速度顺时针旋转，当射线 OD 与射线 OA 重合时，运 动停止． ①是否存在某个时刻 t（秒），使得∠COD 的度数是 20°，若存在，求出 t 的值，若不存 在，请说明理由． ②当 t 为多少秒时，射线 OC、OD、OA 中恰好有一条射线是其余两条射线组成的角的 一边的伴随线． 14．综合与探究：射线 OC 是 AOB 内部的一条射线，若 COA  1 BOC ，则我们称 2 射线 OC 是射线 OA 的伴随线．例如，如图 1， AOB  60 ， 1 AOC  COD  BOD  20 ，则 AOC  BOC ，称射线 OC 是射线 OA 的伴随线； 2 同时，由于 BOD  1 AOD ，称射线 OD 是射线 OB 的伴随线． 2 完成下列任务： （1）如图 2， AOB  150 ，射线 OM 是射线 OA 的伴随线，则 AOM   ，若 AOB 的度数是 x ，射线 ON 是射线 OB 的伴随线，射线 OC 是 AOB 的平分线，则 NOC 的度 数是 ．（用含 x 的代数式表示） （2）如图 3，如 AOB  180 ，射线 OC 与射线 OA 重合，并绕点 O 以每秒 6 的速度逆 时针旋转，射线 OD 与射线 OB 重合，并绕点 O 以每秒 10 的速度顺时针旋转，当射线 OD 与射线 OA 重合时，运动停止． ①是否存在某个时刻 t（秒），使得 COD 的度数是 20 ，若存在，求出 t 的值，若不存在， 请说明理由； ②当 t 为多少秒时，射线 OC ，OD ，OA 中恰好有一条射线是其余两条射线的伴随线．请 直接写出结果．