专题 01 抽象能力之含参一元一次方程及解法难点专练（解析 版） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 2 1．若  x  a  x  5   x  bx  10 ，则 ab  a  b 的值是（ A． 11 B． 7 ） C． 6 D． 55 【答案】A 【分析】 2 根据多项式乘多项式法则，可得  x  a  x  5  x  5 x  ax  5a ，从而求出 a，b 的值， 进而即可求解． 【详解】 2 2 解：∵  x  a  x  5  x  5 x  ax  5a ，  x  a  x  5   x  bx  10 ， ∴ x 2  5 x  ax  5a = x 2  bx  10 ， ∴-5+a=b，-5a=-10， ∴a=2，b=-3， ∴ ab  a  b =-6-2-3=-11， 故选 A． 【点睛】 本题主要考查整式的运算以及解一元一次方程，掌握多项式乘多项式法则，是解题的关 键． 2．若不论 k 取什么实数，关于 x 的方程 则 a+b 的值是( A．﹣0.5 2kx  a x  bk   1 (a、b 是常数)的解总是 x=1， 3 6 ) B．0.5 C．﹣1.5 D．1.5 【答案】A 【分析】 把 x＝1 代入原方程并整理得出（b+4）k＝7﹣2a，然后根据方程总有根推出 b+4＝0，7 ﹣2a＝0，进一步即可求出结果． 【详解】 解：把 x＝1 代入 1 2k  a 1  bk 2kx  a x  bk  1，   1 ，得： 3 6 3 6 去分母，得：4k+2a﹣1+kb＝6，即（b+4）k＝7﹣2a， ∵不论 k 取什么实数，关于 x 的方程 2kx  a x  bk   1 的根总是 x＝1， 3 6 ∴ b  4  0 ， 7  2a  0 ， 解得：a＝ 7 ，b＝﹣4，∴a+b＝﹣0.5． 2 故选：A． 【点睛】 本题考查了一元一次方程的相关知识，正确理解题意、得出 b+4＝0，7﹣2a＝0 是解本 题的关键． 3．下列图形都是由面积为 1 的正方形按一定的规律组成的，其中，第 1 个图形中面积 为 1 的正方形有 9 个，第 2 个图形中面积为 1 的正方形有 14 个，……，按此规律，则 第几个图形中面积为 1 的正方形的个数为 2019 个（ A．402 B．403 ） C．404 D．405 【答案】B 【分析】 由第 1 个图形有 9 个面积为 1 的小正方形，第 2 个图形有 9+5＝14 个面积为 1 的小正方 形，第 3 个图形有 9+5×2＝19 个面积为 1 的小正方形，…由此得出第 n 个图形有 9+5× （n﹣1）＝5n+4 个面积为 1 的小正方形，由此求得答案即可． 【详解】 解：第 1 个图形面积为 1 的小正方形有 9 个， 第 2 个图形面积为 1 的小正方形有 9+5＝14 个， 第 3 个图形面积为 1 的小正方形有 9+5×2＝19 个， … 第 n 个图形面积为 1 的小正方形有 9+5×（n﹣1）＝5n+4 个， 根据题意得：5n+4＝2019， 解得：n＝403． 故选：B． 【点睛】 本题考查了图形的变化规律，找出图形之间的变化规律，利用规律建立方程是解题关键． 4．下列各正方形中的四个数之间都有相同的规律，根据此规律， x 的值为（ ） A．135 B．153 C．169 D．170 【答案】D 【分析】 结合题意，根据数字规律的性质，分别计算正方形中四个数字的规律，即可得到答案． 【详解】 第一个正方形左上角数字为：1 第二个正方形左上角数字为：2 第三个正方形左上角数字为：3 … 第 n 个正方形左上角数字为：n； 第一个正方形右上角数字为： 4  4  2  1  1 第二个正方形右上角数字为： 6  4  2   2  1 第三个正方形右上角数字为： 8  4  2   3  1 … 第 n 个正方形右上角数字为： 4  2  n  1 ∵题干中最后一个正方形右上角为：18 ∴ 4  2  n  1  18 ∴n 8 ∴题干中最后一个正方形为第八个正方形； 第一个正方形左下角数字为： 2  1  1 第二个正方形左下角数字为： 3  2  1 第三个正方形左下角数字为： 4  3  1 … 第 n 个正方形左下角数字为： n  1 第八个正方形左下角数字为：9； 第一个正方形右下角数字为： 9  2  4  1 第二个正方形右下角数字为： 20  3  6  2 3 第三个正方形右下角数字为： 35  4  8  3 … 第 n 个正方形右下角数字为：  n  1 4  2 n  1   n ∵n 8 ∴第 8 个正方形右下角数字为：  8  1 4  2 8  1   8  9 18  8  170 故选：D． 【点睛】 本题考查了数字规律的知识；解题的关键是熟练掌握数字规律、代数式、有理数混合运 算、一元一次方程的性质，从而完成求解． 二、填空题 5．若关于 x 的方程 2kx  m x  nk   2 ，无论 k 为任何数时，它的解总是 x  1 ，那么 3 6 m  n  _______． 【答案】 5 2 【分析】 先将 x  1 代入原方程得，根据无论 k 为任何数时 (4  n)k  13  2m 恒成立，可得 k 的系数 为 0，由此即可求出答案． 【详解】 解：将 x  1 代入  2kx  m x  nk  +2 ， 3 6 2k  m 1  nk  2， 3 6  (4  n)k  13  2m ， 由题意可知：无论 k 为任何数时 (4  n)k  13  2m 恒成立， n  4  0 ，  n  4 ， m  m  n  13 ， 2 5 ， 2 故答案为： 5 2 【点睛】 本题主要考查了一元一次方程，解题的关键是正确理解一元一次方程的解． 6．已知关于 x 的方程 kx  2 x  5 的解为正整数，则整数 k 的值为_________． 【答案】3 或 7． 【分析】 解方程用含有 k 的式子表示 x，再根据 5 除以几得正整数，求出整数 k． 【详解】 解： kx  2 x  5 ， 解得， x  5 ， k 2 ∵k 为整数，关于 x 的方程 kx  2 x  5 的解为正整数， ∴k-2=1 或 k-2=5， 解得，k=3 或 k=7， 故答案为：3 或 7． 【点睛】 本题考查了一元一次方程的解，解题关键是根据方程的解为正整数，k 为整数，确定未 知数的系数的值． 三、解答题 7．解关于 x 的方程： mx  1  nx 【答案】当 m  n 时，方程有唯一解为 x  1 ；当 m  n 时，方程无解． mn 【分析】 先把原方程化为最简形式 ax  b ，再考虑有解、无解、无穷多解的模式进行分类讨论即 可得答案． 【详解】 解： mx  1  nx ， 移项、整理得： ( m  n) x  1 ， 当 m  n  0 ，即 m  n 时，方程有唯一解为： x  1 ； mn 当 m  n  0 ，即 m  n 时，方程无解． 【点睛】 本题主要考查了含字母系数的一元一次方程的解法，解含字母系数的方程时，先化为最 简形式 ax  b ，再根据 x 系数 a 是否为零进行分类讨论． 8．已知方程 求 a 的值． 【答案】a=-4 5 x4 x2  8 的解与关于 x 的方程 4 x  (3a  1)  6 x  2a  1 的解相同， 3 2 【分析】 分别解出两方程的解，然后让它们的解相等，即可求得 a 的值. 【详解】 解：解 x4 x2  8 得 x=10 3 2 5 解 4 x  (3a  1)  6 x  2a  1 得 x=  a 2 5 由题意得：  a =10，解得 a=-4 2 【点睛】 本题考查了方程的解和一元一次方程的解法，掌握解一元一次方程是解答本题的关键. x m 1 9．已知关于 x 的方程   x  4 与方程 ( x  16)  6 的解相同，求 m 的值. 2 2 2 【答案】 m  4 【分析】 x m 1 先求出方程 ( x  16)  6 的解，再将此解代入   x  4 中求 m 的值. 2 2 2 【详解】 1 解： ( x  16)  6 2 x  16  12 x =4 将 x =4 代入 x m   x  4 中，得 2 2 4 m   44 2 2 ∴ m  4 【点睛】 本题考查了同解方程，先根据其中一个方程求出两个方程相同的解是解答此题的关键. 10．先阅读下列解题过程，然后解答后面两个问题． 解方程：|x-3|=2． 解：当 x-3≥0 时，原方程可化为 x-3=2，解得 x=5； 当 x-3＜0 时，原方程可化为 x-3=-2，解得 x=1． 所以原方程的解是 x=5 或 x=1． （1）解方程：|3x-2|-4=0． （2）解关于 x 的方程：|x-2|=b+1 【答案】 （1）x=2 或 x=- 2 ； （2）b＜-1 时，原方程无解；b=-1 时，x=2；当 x-2≥0 时， 3 x=b+3；当 x-2＜0 时，x=-b+1 【分析】 （1）首先要认真审题，解此题时要理解绝对值的意义，要会去绝对值，然后化为一元 一次方程即可求得． （2）根据绝对值的性质分类讨论进行解答． 【详解】 解： （1）当 3x-2≥0 时，原方程可化为 3x-2-4=0，解得 x=2； 当 3x-2＜0 时，原方程可化为-(3x-2)-4=0，解得 x=所以原方程的解是 x=2 或 x=- 2 ． 3 2 ． 3 （2）①当 b+1＜0，即 b＜-1 时，原方程无解， ②当 b+1=0，即 b=-1 时： 原方程可化为：x-2=0，解得 x=2； ③当 b+1＞0，即 b＞-1 时： 当 x-2≥0 时，原方程可化为 x-2=b+1，解得 x=b+3； 当 x-2＜0 时，原方程可化为 x-2