专题 01 运算能力课之整式及整体思想重难点专练（解析版） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．把六张形状大小完全相同的小长方形卡片（如图①），分两种不同形式不重叠的放在 一个长方形盒子底部（如图②、图③），盒子底面未被卡片覆盖的部分用阴影表示，设 图②是长方形盒子的周长为 C1，阴影部分图形的周长为 l1，图③中长方形盒子的周长 为 C2，阴影部分图形的周长为 l2，若 C1﹣C2＝2，则 l1，l2 满足（ A．l1＝l2 B．l1﹣l2＝1 C．l1﹣l2＝2 ） D．l1﹣l2＝4 【答案】C 【分析】 观察图②可得阴影部分的周长与长方形的周长相等，可得 l1＝C1，观察图③可得阴影部 分的周长与长方形的周长相等，可得 l2＝C2，若 C1﹣C2＝2，即可求 l1，l2 满足的关系 式． 【详解】 解：观察图②可得阴影部分的周长与长方形的周长相等，可得 l1＝C1， 观察图③可得阴影部分的周长与长方形的周长相等，可得 l2＝C2， ∵C1﹣C2＝2， ∴l1﹣l2＝2. 1 学科 网（北 京）股 份有限 公司 故选：C． 【点睛】 此题考查整式的加减，关键是灵活运用长方形周长计算公式解题． 2．把图 1 中周长为 32cm 的长方形纸片分割成四张大小不等的正方形纸片 1、2、3、4 和一张长方形纸片 5，并将它们按图 2 的方式放入周长为 48cm 的长方形中，则没有被 覆盖的阴影部分的周长为（ A． 12cm ） B． 16cm C． 30cm D． 40cm 【答案】D 【分析】 设 1 号正方形的边长为 x，2 号正方形的边长为 y，则 3 号正方形的边长为 x+y，4 号正 方形的边长为 2x+y，5 号长方形的长为 3x+y，宽为 y-x，根据图 1 中长方形的周长为 32， 求得 x+y=4，根据图 2 中长方形的周长为 48，求得 AB=24-3x-4y，没有覆盖的阴影部分 的周长为四边形 ABCD 的周长=2（AB+AD），计算即可得到答案． 【详解】 解：设 1 号正方形的边长为 x，2 号正方形的边长为 y， 则 3 号正方形的边长为 x+y，4 号正方形的边长为 2x+y， 5 号长方形的长为 3x+y，宽为 y-x， 由图 1 中长方形的周长为 32，可得，y+2 （x+y）+（2x+y）=16， 解得，x+y=4， 如图，图 2 中长方形的周长为 48， ∴AB+2 （x+y）+2x+y+y-x=24， ∴AB=24-3x-4y， 根据题意得：没有覆盖的阴影部分的周长为四边形 ABCD 的周长， ∴2（AB+AD） =2（24-3x-4y+x+y+2x+y+y-x） =2（24-x-y） =48-2（x+y） =48-8=40， 故选：D． 【点睛】 此题考查整式加减的应用，解题的关键是设出未知数，列代数式表示各线段进而解决问 题． 9 2 3．已知， a  b  3 ， a  c  1 ，则  b  c   2  b  c   的值为（ 4 A． 27 4 【答案】D 【分析】 3 学科 网（北 京）股 份有限 公司 B． 41 2 C． 27 2 ） D． 41 4 根据所给条件求出 b-c 的值，再代入计算即可得到结论． 【详解】 解：∵ a  b  3 ① a  c 1② ②-①，得：b-c=-2③ 9 2 把③代入  b  c   2  b  c   得， 4 b  c  2  2 b  c   9 9 9 41 =( 2) 2  2  ( 2)   4  4   4 4 4 4 故选：D 【点睛】 此题主要考查了代数式求值，求出 b-c=-2 是解答此题的关键． 4．把四张形状大小完全相同的小长方形卡片（如图①）不重叠地放在一个底面为长方 形（长为 n，宽为 m）的盒子底部（如图②），盒子底部未被卡片覆盖的部分用阴影表 示，则图②中两块阴影部分周长和是（ A． 4n B． 4m ） C． 2n  2m D． 2n  4m 【答案】B 【分析】 先设小长方形卡片的长为 a，宽为 b，再结合图形得出上面的阴影周长和下面的阴影周 长，再把它们加起来即可求出答案． 【详解】 解：设小长方形卡片的长为 a，宽为 b， ∴L 上面的阴影=2（n-a+m-a）， L 下面的阴影=2（m-2b+n-2b）， ∴L 总的阴影=L 上面的阴影+L 下面的阴影=2（n-a+m-a）+2（m-2b+n-2b）=4m+4n-4（a+2b）， 又∵a+2b=n， ∴4m+4n-4（a+2b）=4m． 故选：B． 【点睛】 本题主要考查了整式的加减运算，在解题时要根据题意结合图形得出答案是解题的关 键． 5．将大小不一的正方形纸片①、②、③、④放置在如图所示的长方形 ABCD 内（相同 纸片之间不重叠），其中 AB＝a．小明发现：通过边长的平移和转化，阴影部分⑤的周 长与正方形①的边长有关，那么阴影部分⑥与阴影部分⑤的周长之差与正方形（ ） （填 编号）的边长有关． A．① 【答案】B 【分析】 5 学科 网（北 京）股 份有限 公司 B．② C．③ D．④ 通过边长的平移和转化，可得阴影部分⑥的周长＝2a．设②的边长是 m．用 m，a 表示 出⑤的周长，进而即可解决问题． 【详解】 解：通过边长的平移和转化，可得阴影部分⑥的周长＝2AB＝2a． 设②的边长是 m． ∴通过边长的平移和转化，阴影部分⑤的周长是 2（a−m） ， ∴阴影部分⑥−阴影部分⑤＝2a−2（a−m）＝2m． 阴影部分⑥与阴影部分⑤的周长之差与正方形②的边长有关， 故选 B． 【点睛】 本题考查正方形的性质，矩形的性质等知识，解题的关键是通过边长的平移和转化，利 用未知数表示阴影部分的周长． 6．对于任意的有理数 a, b ，如果满足 a b ab   ，那么我们称这一对数 a, b 为“相随数 2 3 23 对”，记为  a, b  ．若  m, n  是“相随数对”，则 3m  2[3m   2n  1]  （ A． 2 B． 1 C．2 ） D．3 【答案】A 【分析】 先根据新定义，可得 9m+4n=0，将整式 3m  2[3m   2n  1] 去括号合并同类项化简得 9m  4n  2 ，然后整体代入计算即可． 【详解】 解：∵  m, n  是“相随数对”， ∴ m n mn   ， 2 3 23 整理得 9m+4n=0， 3m  2[3m   2n  1]  3m  6m  4n  2  9m  4n  2  2 ． 故选择 A． 【点睛】 本题考查新定义相随数对，找出数对之间关系，整式加减计算求值，掌握新定义相随数 对，找出数对之间关系，整式加减计算求值是解题关键． 7．如图，在一个大长方形中放入三个边长不等的小正方形①、②、③，若要求出两个 阴影部分周长的差，只要知道下列哪个图形的面积（ A．正方形① B．正方形② ） C．正方形③ D．大长方形 【答案】B 【分析】 如图，设三个正方形①②③的边长依次为 a，b，c，重叠的小长方形的长和宽分别为 x， y，表示出阴影部分的周长差即可求解． 【详解】 如图，设三个正方形①②③的边长依次为 a，b，c，重叠的小长方形的长和宽分别为 x， y， ∴阴影部分的周长差为 2（a+b-x-c）+2(b+c-y)-2(b-x)-2(a-y) =2a+2b-2x-2c+2b+2c-2y -2b+2x-2a+2y =2b 故只要知道下列图形②的边长或面积即可求解， 7 学科 网（北 京）股 份有限 公司 故选 B． 【点睛】 此题主要考查整式的加减、列代数式、去括号，解题的关键是根据图形的特点列出代数 式求解． 8．如图，长为 y，宽为 x 的大长方形被分割为 5 小块，除 D、E 外，其余 3 块都是正 方形，若阴影 E 的周长为 8，下列说法中正确的是（ ） ①x 的值为 4；②若阴影 D 的周长为 6，则正方形 A 的面积为 1；③若大长方形的面积 为 24，则三个正方形周长的和为 24． A．①②③ B．①② C．①③ D．②③ 【答案】B 【分析】 设正方形 A 的边长为 a， 正方形 B 的边长为 b，正方形 C 的边长为 c，表示出阴影 E 的长和宽，阴影 D 的长和宽，然后结合图形逐项分析即可． 【详解】 设正方形 A 的边长为 a， 正方形 B 的边长为 b，正方形 C 的边长为 c，则 x=a+b,y=b+c， 阴影 E 的长为 c，宽为 a+b-c，阴影 D 的长为 a，宽为 b-a， ①∵阴影 E 的周长为 8， ∴2(c+a+b-c)=8， ∴a+b=4， 即 x=4，故①正确； ②∵阴影 D 的周长为 6， ∴2(a+b-a)=6， ∴b=3， ∵a+b=4， ∴a=1， ∴正方形 A 的面积为 1，故②正确； ③∵大长方形的面积为 24， ∴xy=24， ∵x=4， ∴y=6， ∴b+c=6， 假设三个正方形周长的和为 24， 则 4a+4b+4c=24， ∴a+b+c=6， ∴a=0，不合题意，故③错误； 故选 B． 【点睛】 本题考查了整式加减的应用，用 a，b，c 表示出 x，y 是解答本题的关键． 9 学科 网（北 京）股 份有限 公司 9．甲、乙两个油桶中装有体积相等的油．先把甲桶的油倒一半到乙桶（乙桶没有溢出）， 1 再把乙桶的油倒出 给甲桶（甲桶没有溢出），这时两个油桶中的油的是（ 3 ） A．甲桶的油多 B．乙桶的油多 C．甲桶与乙桶一样多 D．无法判断，与原有的油的体积大小有关 【答案】C 【分析】 根据题意列出代数式进行比较即可求解． 【详解】 解：设甲、乙两个油桶中水的重量为 a ．根据题意，得： 因为先把甲桶的油倒一半至乙桶， 1 1 甲桶的油  (1  ) a ，乙桶的油  (1  ) a ， 2 2 再把乙桶的油倒出三分之一给甲桶， 1 1 1 所以甲桶有油 (1  ) a  (1  ) a   a ， 2 2 3 1 1 乙桶有油 (1  )  a  (1  )  a ， 2 3 所以甲乙两桶油一样多． 故选：C． 【点睛】 本题考查用代数式表示实际问题，理解已知条件是关键，用含有字母的式子表示实际问 题是重点 二、填空题 10．若实数 x，y，z 满足 x 