专题 01 抽象能力之含参一元一次方程及解法难点专练（原卷 版） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 2 1．若  x  a  x  5   x  bx  10 ，则 ab  a  b 的值是（ A． 11 B． 7 2．若不论 k 取什么实数，关于 x 的方程 则 a+b 的值是( ） D． 55 C． 6 2kx  a x  bk   1 (a、b 是常数)的解总是 x=1， 3 6 ) A．﹣0.5 B．0.5 C．﹣1.5 D．1.5 3．下列图形都是由面积为 1 的正方形按一定的规律组成的，其中，第 1 个图形中面积 为 1 的正方形有 9 个，第 2 个图形中面积为 1 的正方形有 14 个，……，按此规律，则 第几个图形中面积为 1 的正方形的个数为 2019 个（ A．402 B．403 C．404 ） D．405 4．下列各正方形中的四个数之间都有相同的规律，根据此规律， x 的值为（ A．135 B．153 C．169 ） D．170 二、填空题 5．若关于 x 的方程 2kx  m x  nk   2 ，无论 k 为任何数时，它的解总是 x  1 ，那么 3 6 m  n  _______． 6．已知关于 x 的方程 kx  2 x  5 的解为正整数，则整数 k 的值为_________． 三、解答题 7．解关于 x 的方程： mx  1  nx 8．已知方程 1 x4 x2  8 的解与关于 x 的方程 4 x  (3a  1)  6 x  2a  1 的解相同， 3 2 求 a 的值． x m 1 9．已知关于 x 的方程   x  4 与方程 ( x  16)  6 的解相同，求 m 的值. 2 2 2 10．先阅读下列解题过程，然后解答后面两个问题． 解方程：|x-3|=2． 解：当 x-3≥0 时，原方程可化为 x-3=2，解得 x=5； 当 x-3＜0 时，原方程可化为 x-3=-2，解得 x=1． 所以原方程的解是 x=5 或 x=1． （1）解方程：|3x-2|-4=0． （2）解关于 x 的方程：|x-2|=b+1 11．已知 A＝3x2+x+2，B＝﹣3x2+9x+6． 1 （1）求 2A﹣ B； 3 C 3 1 （2）若 2A﹣ B 与 互为相反数，求 C 的表达式； 2 3 （3）在（2）的条件下，若 x＝2 是 C＝2x+7a 的解，求 a 的值． 12．如图，已知数轴上点 A 表示的数为 3 ，B 是数轴上位于点 A 右侧一点，且 AB  12 ．动 点 P 从点 A 出发，以每秒 2 个单位长度的速度沿数轴向点 B 方向匀速运动，设运动时间 为 t 秒． （1）数轴上点 B 表示的数为__________；点 P 表示的数为__________．（用含 t 的代数 式表示） （2）动点 Q 从点 B 出发，以每秒 1 个单位长度的速度沿数轴向点 A 方向匀速运动；点 P 、 点 Q 同时出发，当点 P 与点 Q 重合后，点 P 马上改变方向，与点 Q 继续向点 A 方向匀速 运动（点 P 、点 Q 在运动过程中，速度始终保持不变）；当点 P 到达 A 点时， P 、 Q 停 止运动．运动时间为 t 秒． ①当点 P 与点 Q 重合时，求 t 的值，并求出此时点 P 表示的数． ②当点 P 是线 AQ 的三等分点时，求 t 的值． 13．已知 m，n 是有理数，单项式﹣xny 的次数为 3，而且方程（m+1）x2+mx﹣tx+n+2 ＝0 是关于 x 的一元一次方程． （1）若该方程的解是 x＝3，求 t 的值． （2）若题目中关于 x 的一元一次方程的解是整数，请求出整数 t 的值． 14．如果两个角的差的绝对值等于 60°，就称这两个角互为“伙伴角”，其中一个角叫做 另一个角的“伙伴角”（本题所有的角都指大于 0°小于 180°的角） ，例如 1  80 ，2  20 ， | ∠1  ∠2 | 60 ，则 1 和 2 互为“伙伴角”，即 1 是 2 的“伙伴角”，2 也是 1 的“伙伴 角”． （1）如图 1．O 为直线 AB 上一点，  AOC   EOD  90  ，∠AOE=60 ，则 AOE 的“伙 伴角”是_______________． （2）如图 2，O 为直线 AB 上一点，  AOC  30  ，将 BOC 绕着点 O 以每秒 1°的速度逆 时针旋转得 DOE ，同时射线 OP 从射线 OA 的位置出发绕点 O 以每秒 4°的速度逆时针 旋转，当射线 OP 与射线 OB 重合时旋转同时停止，若设旋转时间为 t 秒，求当 t 何值时， POD 与 POE 互为“伙伴角”． （3）如图 3， AOB  160 ，射线 OI 从 OA 的位置出发绕点 O 顺时针以每秒 6°的速度 旋转，旋转时间为 t 秒 (0  t  170 ) ，射线 OM 平分 AOI ，射线 ON 平分 BOI ，射线 OP 3 平分 MON ．问：是否存在 t 的值使得 AOI 与 POI 互为“伙伴角”？若存在，求出 t 值；若不存在，请说明理由． 15．解答下列各题． 3  5 1 1.7  2 x 0.8  x 1  （1）方程  a   x    1 和方程式 的解相同，求 a 的值． 2  3 2 0.3 0.6 （2）已知实数 a1 ， a2 ，…， an （其中 n 是正整数）满足： a1  1 2  3  6 a  a  2  3  4  24  1 2 a1  a2  a3  3  4  5  60 ，   a1  a2    an 1  (n  1)n(n  1)  a1  a2    an 1  an  n(n  1)(n  2) ① a3  ________； 3 ② an  ________； （用含 n 的代数式表示） ③ 3 3 3 3 3      的值． a1 a2 a3 a2019 a2020 16．已知 x＝m 与 x＝n 分别是关于 x 的方程 ax+b＝0（a≠0）与 cx+d＝0（c≠0）的解． （1）若关于 x 的方程 ax+b＝0（a≠0）的解与方程 6x-7＝4x-5 的解相同，求 m 的值； 3 1 （2）当 n＝1 时，求代数式 3c2+cd+2c-2（ 2 cd  c2-d）的值； 2 （3）若|m-n|  1 ，则称关于 x 的方程 ax+b＝0（a≠0）与 cx+d＝0（c≠0）为“差半点方 2 程”．试判断关于 x 的方程 4042x  9  9×2020﹣2020t+x，与 4040x+4＝8×2021﹣2020t 2 ﹣x，是否为“差半点方程”，并说明理由． 17．数轴上有 A ， B 两个点，点 A 在点 B 的左侧，已知点 B 表示的数是 2 ，点 A 表示的 数是 a ． （1）若 a  3 ，则线段 AB 的长为 ；（直接写出结果） （2）若点 C 在线段 AB 之间，且 AC  BC  2 ，求点 C 表示的数；（用含 a 的式子表示） （3）在（2）的条件下，点 D 在数轴上 C 点左侧， AC  2 AD ， BD  4 BC ，求 a 的值． 18．已知 AB  13 ， CD  8 ， M 和 N 分别为线段 AB ， CD 的中点． （1）若 BC 重合， D 在线段 AB 上，如图 1，求 MN 的长度； （2）①如果将图 1 的线段 CD 沿着 AB 向右平移 n 个单位，求 MN 的长度与 n 的数量关 系； ②当 n 为多少的时， MN 的长度为 9； （3）如果 AB 保持长度和位置不变，点 D 保持图 1 的位置不变，改变 DC 的长度，将点 1 1 C 沿着直线 AB 向右移动 m 个单位，其余条件不变，① BN  BC ② MN  BC ，请问 2 2 以上两个式子哪一个式子的值是定值，定值是多少？ 19．在一元一次方程中，如果两个方程的解相同，则称这两个方程为同解方程； （1）若关于 x 的两个方程 2x＝4 与 mx＝m+1 是同解方程，求 m 的值； （2）若关于 x 的两个方程 2x＝a+1 与 3x﹣a＝﹣2 是同解方程，求 a 的值； （3）若关于 x 的两个方程 5x+ 34 19 （m+1）＝mn 与 2x﹣mn＝﹣ （m+1）是同解方程， 3 3 求此时符合要求的正整数 m，n 的值． 20．小兵喜欢研究数学问题，在学习一元一次方程后，他给出一个新定义：若 x0 是关于 x 的一元一次方程 ax  b  0(a  0) 的解， y0 是关于 y 的方程的所有解的其中一个解，且 x0 , y0 满足 x0  y0  100 ，则称关于 y 的方程为关于 x 的一元一次方程的“友好方程”．例 如：一元一次方程 3x  2 x  99  0 的解是 x0  99 ，方程 y 2  1  2 的所有解是 y  1 或 y  1 ，当 y0  1 时， x0  y0  100 ，所以 y 2  1  2 为一元一次方程 3x  2 x  99  0 的“友 好方程” （1）已知关于的方程：① 2 y  2  4 ，② | y | 2 ，哪个方程是一元一次方程 3x  2 x  102  0 的“友好方程”？请直接写出正确的序号是_________． （2）若关于 y 的方程 | 2 y  2 | 3  5 是关于 x 的一元一次方程 x  2 x  2a  a  1 的“友好 3 方程”，请求出 a 的值． （3）如关于 y 的方程 2m | y  49 |  m( y  1)  m  n 是关于 x 的一元一次方程 45 mx  45n  54m 的“友好方程”，请直接写出 mn 的值． n 21．已知代数式 M  ( a  16) x 3  20 x 2  10 x  5 是关于 x 的二次多项式，且二次项的系数 为 b．如图，在数轴上有点 A，B，C 三个点，且点 A，B，C 三点所表示的数分别为 a， b，c．已知