专题 03 逻辑探究课之图形类规律探索专练（原卷版） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．把小圆圈按如图所示的规律拼图形，其中第①个图形中一共有 3 个小圆圈，第②个 图形中一共有 7 个小圆圈，第③个图形中一共有 12 个小圆圈，…，按此规律排列下去， 第⑧个图形中小圆圈的个数是（ ） A．53 B．52 C．45 D．44 2．将图①所示的正六边形进行分割得到图②，再将图②中最小的某一个正六边形按同 样的方式进行分割得到图③，再将图③中最小的某一个正六边形按同样的方式进行分 割，…，则第 2014 个图形中，共有（ A．4027 B．6040 ）个正六边形． C．6061 D．10066 3．根据下图所示的形⑴、⑵、⑶三个图所表示的规律，依次下去第 n 个图中的三角形 的个数是( A．6(n-1) ； ) B．6n； C．6(n+1) ； D．12n； 4．如图，小聪用一张面积为 1 的正方形纸片，按如下方式操作：①将正方形纸片四角 向内折叠，使四个顶点重合，展开后沿折痕剪开，把四个等腰直角三角形扔掉；②在余 下纸片上依次重复以上操作，当完成第 2021 次操作时，余下纸片的面积为（ A． 22021 1 B． 2 2020 1 C． 2 2021 ） 1 D． 2 2022 5．如图所示，根据你的观察，下面四个选项中的图片，适合填补图中空白处的是（ A． B． C． ） D． 6．如图，第①个图形中有 1 个正方形，按照如图所示的方式连接对边中点得到第②个 图形，图中共有 5 个正方形；连接第②个图形中右下角正方形的对边中点得到第③个图 形，图中共有 9 个正方形；按照同样的规律得到第④个图形、第⑤个图形……，则第⑦ 个图形中共有（ A．21 ）个正方形． B．25 C．29 7．如图是一组有规律的图案，它们是由大小相同的“ 个图案中含有“ ”图案的个数为（ ） D．32 ”图案组成的，依此规律，第 2021 A．10106 B．10105 C．11005 D．11006 8．在某学校庆祝建党“100 周年”的活动上,宇阳同学用围棋棋子按照某种规律摆成如图 所示的“100”字样．按照这种规律,第 n 个“100”字样的棋子个数是（ A． 11n B． n  10 C． 5n  6 ） D． 6n  5 9．数学家华罗庚曾经说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事休”．如图，将一个边长 为 1 的正方形纸板等分成两个面积为 积为 1 1 的长方形，接着把面积为 的长方形分成两个面 2 2 1 1 1 2 1 3 1 10 的长方形，如此继续进行下去，根据图形的规律计算：  ( )  ( )    ( ) 4 2 2 2 2 的值为（ ） 1 10 A． ( ) 2 1 10 B． 1-( ) 2 1 11 C． ( ) 2 1 11 D． 1-( ) 2 10．下列图形是由同样大小的棋子按一定规律组成的，其中第①个图形有 1 颗棋子，第 ②个图形一共有 6 颗棋子，第③个图形一共有 16 颗棋子，…，则第⑧个图形中棋子的 颗数为（ A．141 ） B．106 C．169 D．150 11．古希腊著名的毕达哥拉斯学派把 1，3，6，10……这样的数称为“三角形数”，而把 ．．．． ．这样的数称为“正方形数”．从图中可以发现，任何一个大于 1 的“正 1，4，9，16． 方形数”都可以看作两个相邻“三角形数”之和．下列等式中，根据上面的规律，用含有 n （ n 为大于等于 1 的整数）的等式表示上面关系正确的是（ A． n  n  2  n2 B． n( n  3)  n 2 C． ( n  1)( n  1)  n 2  1 D． ） n( n  1) ( n  1)( n  1  1)   ( n  1) 2 2 2 二、填空题 12．如图是由同样大小的圆按一定规律排列所组成的，其中第 1 个图形中一共有 4 个圆， 第 2 个图形中一共有 8 个圆，第 3 个图形中一共有 14 个圆，第 4 个图形中一共有 22 个 圆…按此规律排列下去，第 10 个图形中圆的个数是_____个． 13．观察如图所示的一系列图形，它们是按一定规律排列的，依照此规律，第 2021 个 图形中共有__个○，第 n 个图形中共有____个○． 14．如图所示，将形状、大小完全相同的“●”和线段按照一定规律摆成下列图形，第 1 幅图形中“●”的个数为 a1 ，第 2 幅图形中“●”的个数为 a2 ，第 3 幅图形中“●”的个数为 a3 ，…， 以此类推，则 1 1 1 1     的值为________． a1 a2 a3 a18 15．如图是由大小相同的线段组成的一系列图案，第 1 个图案由 5 条线段组成，第 2 个 图案由 8 条线段组成，……，按此规律排列下去，则第 2021 个图案由______条线段组 成． 16．下面各图形是由大小相同的三角形摆放而成的，图①中有 1 个三角形，图②中有 5 个三角形，图③中有 11 个三角形，图④中有 19 个三角形…，依此规律，则第 n 个图形 中三角形个数是_______． 17．古希腊著名的毕达哥拉斯学派把 1、3、6、10、…，这样的数称为“三角形数”，而 把 1、4、9、16、…，这样的数称为“正方形数”．从图中可以发现，任何一个大于 1 的“正 方形数”都可以看作两个相邻“三角形数”之和．则第 10 个图形中右下方的“三角形数”中 的所有点数是_____． 18．将边长为 1 的正方形纸片按如图所示方法进行对折，第 1 次对折后得到的图形面积 为 S1，第 2 次对折后得到的图形面积为 S2，…，第 n 次对折后得到的图形面积为 Sn， 则 S4＝_____，S1+S2+S3+…+S2021＝______． 19．将一些相同的“〇”按如图所示的规律依次摆放，观察每个“龟图”的“〇”的个数，则 第 30 个“龟图”中有___________个“〇”． 20．如图，第 1 个图形是一个三角形，分别连接这个三角形三条边的中点得到第 2 个图 形，再分别连接第 2 个图形中间的小三角形三条边的中点得到第 3 个图形 按此方法 继续下去，请你根据每个图形中三角形的个数的规律，完成下列问题： （1）将下表填写完整： 图形序号 1 2 3 4 5  三角形的个数 1 5 9 ___ __  （2）第 n 个图形中有____个三角形（ 用含 n 的式子表示）． 21．用一些棋子摆成如图所示的长方形点阵和等边三角形点阵，长方形点阵的长所用棋 子的颗数是宽所用棋子颗数的 2 倍，等边三角形点阵的边长所用棋子与长方形的长所用 棋子一样多．如果等边三角形点阵比长方形点阵多用 20 颗棋子，则等边三角形点阵所 用棋子的颗数为________． 22．根据下图中菱形四个顶点所标的数字规律，推测第 2021 个菱形上方顶点所标的数 字是_______． 23．2020 年 6 日 1 日，湖州市政府发布了全新湖洲城市形象标识，小周同学对新形象 标识很感兴趣，用电脑绘画软件绘制了如下图形，其中第（1）个图形有 3 个形象标识， 第（2）个图形有 7 个形象标识，第（3）个图形有 13 个形象标识，按此规律绘制下去． （1）小周绘制的第（5）个图形中有_________个形象标识． （2）小周绘制的第（n）个图形中有_________个形象标识． 24．如图，正方形的边长为 a  a  1 ，将此正方形按照下面的方法进行剪贴：第一次操 作，先沿正方形的对边中点连线剪开，然后粘贴为一个长方形，其中叠合部分长为 1， 则此长方形的周长为_______，第二次操作，再沿所得长方形的对边（长方形的宽）中 点连线剪开，然后粘贴为一个新的长方形，其中叠合部分长为 l，……如此继续下去， 第 n 次操作后得到的长方形的周长为________． 25．如图，是用棋子摆成的图案，摆第 1 个图案需要 7 枚棋子，摆第 2 个图案需要 19 枚棋子，摆第 3 个图案需要 37 枚棋子，按照这样的方式摆下去，摆第 n 个图案需要 _______________枚棋子． 三、解答题 （问题提出）：将一个边长为 n （ n ≥2）的正方形的四条边 n 等分，连接各边对应的 26． 等分点，则该正方形被剖分的网格中的长方形的个数（此处长方形包括正方形）和正方 形个数分别是多少？ （问题探究） ：要研究上面的问题，我们不妨先从特例入手，进而找到一般规律． 探究一：将一个边长为 2 的正方形的四条边分别 2 等分，连接各边对应的等分点，则 该正方形被剖分的网格中的长方形的个数（此处长方形包括正方形）和正方形个数分别 是多少？ 如图 1，从上往下，共有 2 行，我们先研究长方形（此处长方形包括正方形）的个数： （1）第一行有宽边长为 1，底长为 1～2 的长方形，共有 2+1=3 个； （2）第二行有宽边长为 1，底长为 1～2 的长方形，共有 2+1=3 个； 为了便于归纳分析，我们把长方形下面的底在第二行的所有长方形均算作第二行的长方 形，以下各行类同第二行．因此底第二行还包括宽边长为 2，底长为 1～2 的长方形， 共有 2+1=3 个． 即：第二行长方形共有 2×3 个． 所以如图 1，长方形共有 2×3+3=9=（2+1）2 我们再研究正方形的个数： 分析：边长为 1 的正方形共有 22 个，边长为 2 的正方形共有 12 个， 1 所以：如图 1，正方形共有 22 + 12 = 5 = ×2×3×5 个． 6 探究二：将一个边长为 3 的正方形的四条边分别 3 等分，连接各边对应的等分点，则该 正方形被剖分的网格中的长方（此处长方形包括正方形）的个数和正方形个数分别是多 少？ 如图 2，从上往下，共有 3 行，我们先研究长方形的个数： （1）第一行有宽长为 1 底长为 1～3 的长方形，共有 3+2+1=6 个； （2）第二行有宽边长为 1，底长为 1～3 的长方形，共有 3+2+1=6 个； 底在第二行还包括宽边长为 2，底长为 1～3 的长方形，共有 3+2+1=6 个． 即：第二行长方形共有 2×6 个． （3）第三行有宽边长为 1，底长为 1～3 的长方形，共有 3+2+1=6 个； 底在第三行还包括宽边长为 2，底长为 1～3 的长方形，共有 3