专题 02 逻辑探究课之数字类规律探索专练（解析版） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．观察下列等式： ①32﹣12＝2×4 ②52﹣32＝2×8 ③72﹣52＝2×12…… 那么第 n（n 为正整数）个等式为（ ） A．n2﹣（n﹣2）2＝2×（2n﹣2） B．（n＋1）2﹣（n﹣1）2＝2×2n C．（2n）2﹣（2n﹣2）2＝2×（4n﹣2） D．（2n＋1）2﹣（2n﹣1）2＝2×4n 【答案】D 【分析】 根据前 3 个等式归纳类推出一般规律即可得． 【详解】 解：① 32  12  2  4 可改写成 (2 1  1) 2  (2 1  1) 2  2  (4 1) ， ② 5 2  32  2  8 可改写成 (2  2  1) 2  (2  2  1) 2  2  (4  2) ， ③ 7 2  5 2  2  12 可改写成 (2  3  1) 2  (2  3  1) 2  2  (4  3) ， 归纳类推得：第 n （ n 为正整数）个等式为 (2n  1) 2  (2n  1) 2  2  4n ， 故选：D． 【点睛】 本题考查了数字类规律探索，正确归纳类推出一般规律是解题关键． 2．观察下列等式：31 = 3, 3 2  9, 33  27 , 34  81, 35  243, 36  729, 37  2187 , ．解答下 列问题： 3  32  33  34   32020 的末尾数字是 A．0 B．2 （ ） C．3 D．9 【答案】A 【分析】 通过观察 31=3，32=9，33=27，34=81，35=243，36=729，37=2187…，对前面几个数相加， 可以发现末位数字分别是 3，2，9，0，3，2，9，0，可知每四个为一个循环，从而可 以求得 3+32+33+34+…+32020 的末位数字是多少． 【详解】 解：∵31=3，32=9，33=27，34=81，35=243，36=729，37=2187…， ∴3=3， 3+9=12， 12+27=39， 39+81=120， 120+243=363， 363+729=1092， 1092+2187=3279， ... 通过上面式子可以发现这些数加起来的和的末位数字分别是 3，2，9，0，3，2，9，0， 可知每四个为一个循环 ∵2020÷4=505 ∴3+32+33+34+…+32020 的末位数字是 0 故选 A． 【点睛】 本题考查了规律型：数字的变化类以及尾数特征，根据各数个位数字的变化，找出变化 规律是解题的关键． 3．将正整数按照如图规律排列： 第一层： 1 第二层： 234 第三层： 56789 第四层： 10 11 12 13 14 15 16 ······ 在这个数字宝塔中，请问 2021 在第（ A． 43 B． 44 ）层． C． 45 D． 46 【答案】C 【分析】 根据图象可知第 n 行有 2n-1 个数字，前 n 行的数字个数为 1+3+5++（2n-1）=n2 个，进 而根据 442，452 与 2021 大小关系进而判断出 2021 所在的层数． 【详解】 解：依题意可知第 n 行有 2n-1 个数字，前 n 行的数字个数为 1+3+5++（2n-1）=n2 个， ∵442=1836，452=2025，且 1836＜2021，2025＞2021， ∴2021 在第 45 层． 故选：C． 【点睛】 本题考查了数字类的规律题，解题的关键是求得前 n 行的数字个数． 4．如图是一个按某种规律排列的数阵：根据规律，自然数 2021 应该排在从上向下数的 的第 m 行，是该行中的从左向右数的的第 n 个数，那么 m  n 的值是（ A．131 B．130 C．129 ） D．128 【答案】B 【分析】 由题意易得每行的最后一个数是这个行的行数 m 的平方，第 m 行的数字个数是 2m  1 ， 由此规律可进行求解 m 和 n 的值，然后问题可求解． 【详解】 解：由题意得：每行的最后一个数是这个行的行数 m 的平方，第 m 行的数字个数是 2m  1 ， 则有： ∵ 44 2  1936 ， ∴2021 在第 45 行， ∵ 452  2025 ， ∴第 45 行最后一个数字是 2025，第 45 行有 2  45  1  89 个数字，第一个数字是 1937 ， ∴2021 是第 85 个数字， ∴ m  45, n  85 ， ∴ m  n  130 ， 故选 B． 【点睛】 本题主要考查数字规律，解题的关键是由题意得到一般规律进行求解即可． 5．一个用数 1 和 0 组成的 2021 位的数码，其排列规律是 101101110101101110101101110……，则这个数码中，数字“0”共有（ A．673 B．674 C．675 ） D．676 【答案】B 【分析】 先根据提供的数码得出每 9 个数一循环，每一循环中有 3 个 0，再计算出数码循环了 224 次后余 5 个数，即可计算出 0 的个数． 【详解】 解：由题意得，该组数码每 9 个数一循环，即 101101110，在这 9 个数字中，含有 3 个 0， ∴在 2021 位的数码中，2021÷9=224…5， 即循环 224 次后余 5 个数， ∴数字“0”的个数为 224×3+2=674 个． 故选：B 【点睛】 本题为数字规律题，认真分析题意，找出数码中每 9 个数一循环，每一循环中有 3 个 0 是解题关键． 6．已知 a1 ， a2 ，  ， a40 为一等差数列，其中 a1 为正数，且 a20 +a22 = 0 ，判断下列叙述 何者正确？（ A． a21 +a22  0 【答案】B ） B． a21  a22  0 C． a21  a22  0 D． a21  a22  0 【分析】 根据等差数列的定义，先设出公差，然后根据 a20＋a22＝0 ，可以得到 a21 的值，再根据 a1 为正数，即可判断各个选项中的结论是否正确，从而可以解答本题． 【详解】 解：设公差为 d，  a20＋a22＝0 ，  a21  d＋a21＋d＝0 ， 解得 a21＝0 ，  a1 ， a2 ，  ， a40 为一等差数列，其中 a1 为正数，  a22＜0 ，  a21＋a22＜0 ，故选项 A 错误，选项 B 正确， a21  a22＝0 ，故选项 C、D 均错误； 故选：B． 【点睛】 本题考查数字的变化类、等差数列，解答本题的关键是明确等差数列的定义，求出 a21 的 值． 二、填空题 7．已知 a  0 ， S1  1 1 1 1 ，1  S1  ，1  S 2  ，1  S3  ……，按此规律，请用含 a S2 S3 S4 a 的代数式表示 S 2021  ________． 【答案】 1 a 【分析】 先求出 S1 ， S2 ， S3 ， S4 ， S5 ，发现规律即可求解． 【详解】 ∵ S1  1 1 S  1 ， 1 S2 a ∴ S2 = a a 11 1  1 = a 1 a 1 a 1 ∵ 1  S2  1 S3 ∴ S3 = a  1， ∵ 1  S3  ∴ S4 = 1 S4 1  S1 a ∴ S5 = S2 = 1  1 a 1 ∴4 次一循环 ∵ 2021  4  505 ……1 ∴ S 2021  S1  1 a 1 a 故答案为： ． 【点睛】 此题主要考查代数式的规律探索，解题的关键是求出各数值，发现规律求解． 8．如图，将正整数按此规律排列成数表，则 2021 是表中第____行第________列． 【答案】64 5 【分析】 找到第 n 行第 n 列的数字，找到规律，代入 2021 即可求解 【详解】 通过观察发现： 1=1 3=1+2 6=1+2+3 10=1+2+3+4 …… 1 故第 n 行第 n 列数字为： (1  n) n ， 2 1 1 则第 n 行第 1 列数字为： (1  n) n  ( n  1) ，即 n(n  1) +1 2 2 1 设 2021 是第 n 行第 m 列的数字，则： n( n  1)  m  2021( m  n) 2 即 n(n  1)  2m  4042 ,可以看作两个连续的整数的乘积，  632 =3969， 64 2 =4096, m, n 为正整数，  n  64 当 n  64 时， m=5 故答案为：64，5 【点睛】 本题考查了规律探索，通过观察发现特殊位置的数字之间的关系，找到规律，通过计算 确定行数，再根据方程求得列数，能正确发现规律是解题的关键． 1 a 9．已知 a＞0，S1＝ ，S2＝﹣S1﹣1，S3＝ 大于 1 的奇数时，Sn＝ 1 1 ，S4＝﹣S3﹣1，S5＝ S ……（即当 n 为 S2 4 1 ；当 n 为大于 1 的偶数时，Sn＝﹣Sn﹣1） ，按此规律，S2021 Sn1 ＝_____． 【答案】   a  1 【分析】 根据 Sn 数的变化找出 Sn 的值每 6 个一循环，结合 2020  336  6  4 ，即可得出 S2020  S4 ， 此题得解． 【详解】 解： S1  1 ， a 1 1a S 2  S1  1    1   ， a a 1 a  ， S2 a 1 S3  S 4   S3  1  S5  a 1 1   ， a 1 a 1 1  ( a  1) ， S4 S 6   S 5  1  ( a  1)  1  a ， S7  1 1  ， S6 a ，  S n 的值每 6 个一循环．  2021  336  6  5 ，  S2021  S5   a 1 故答案为：   a  1 ． 【点睛】 本题考查了规律型中数字的变化类，根据数值的变化找出 Sn 的值，每 6 个一循环是解题 的关键． 1 1  1 1 1 1 1  1 1 1 1   1   ，     ，      ，……， 1 3 2