专题 01 绝对值的化简 绝对值版块的内容在我们这学期比重较大，尤其是绝对值的化简。并且，在压轴题中，常见的题型是 利用数轴化简绝对值和利用其几何意义化简绝对值，本专题就这两块难点详细做出分析。 【知识点梳理】 1.绝对值的定义 一般地，数轴上表示数 a 的点与原点的距离叫做数 a 的绝对值， 记作|a| 2.绝对值的意义 ①代数意义：正数的绝对值是它本身；负数的绝对值是它的相反数；0 的绝对值是 0； ②几何意义：一个数的绝对值就是表示这个数的点到原点的距离，离原点的距离越远，绝对值越大；离 原点的距离越近，绝对值越小。 a 3.绝对值的化简： | a |   0  a  ( a  0) (a  0) ( a  0) 类型一、利用数轴化简绝对值 例 1．在数轴上表示 a，0，1，b 四个数的点如图所示，已知 OA＝OB，求|a+b|+ a +|a-1|的值． b 【答案】 2  a 【分析】由数轴可知： b  1  0  a ，由此可得 a a  0 ， a  1  0 ，再由 OA＝OB，可得 a  b  0 ，  1 ，由 b b 此代入代数式化简即可求得答案． 【详解】解：由数轴可知： b  1  0  a ，∴  OA  OB ，∴ a  b  0 ， a  0 ， a 1  0 ， b a a a  1 ，| a  b |  | |  | a  1| 0  1  1  a  2  a ．答：| a  b |  | |  | a  1| 的值为 2  a ． b b b 例 2．若用 A、B、C 分别表示有理数 a、b、c，0 为原点如图所示．已知 a＜c＜0，b>0． （1）化简|a-c|+|b-a|-|c-a|； （2）|-a+b|-|-c-b|+|-a+c| 【答案】（1）b-a；（2）-2a+2b+2c 【分析】（1）利用数轴结合绝对值的性质，进而化简得出即可； （2）利用数轴结合绝对值的性质，进而化简得出即可． 【详解】解：（1）∵a＜c＜0，b＞0，∴a-c＜0，b-a＞0，c-a＞0， ∴|a-c|+|b-a|-|c-a|=c-a+b-a-（c-a）=c-a+b-a-c+a=b-a； （2）∵a＜c＜0，b＞0，∴-a+b＞0，-c-b＞0，-a+c＞0 ∴|-a+b|-|-c-b|+|-a+c|=-a+b+c+b+c-a=-2a+2b+2c． 【变式训练 1】有理数 a ， b ， c 在数轴上的位置如图所示，且 a  b ． （1）填空： ac ______ 0 ； a  b ______ 0 ．（用“  ”或“  ”或“  ”填空） （2）化简代数式： a  c  a  b  b  2a ． 【答案】（1）＞，＜； （2）﹣c 【分析】（1）根据数轴可得 c＜a＜0＜b，由此即可求解； （2）根据数轴可得：a﹣c＞0，a﹣b＜0，b＞0，2a＜0，由此化简即可． 【详解】（1）由数轴可知：c＜a＜0＜b，∴ac＞0， ∵|a|＞|b|，a＜0＜b，∴a+b＜0，故答案为：＞，＜； （2）由数轴可知：a﹣c＞0，a﹣b＜0，b＞0，2a＜0， ∴|a﹣c|﹣|a﹣b|+|b|+|2a|＝a﹣c﹣（b﹣a）+b﹣2a＝a﹣c﹣b+a+b﹣2a＝﹣c． 【变式训练 2】有理数 a、b、c 在数轴上的位置如图． （1）判断正负，用“>”或“<”填空： b  c 0，ab 0 ， a  c 0． （2）化简： | b  c |  | a  b | ∣ a  c| 【答案】（1）＜，＜，＞； （2）2c-2b-2a 【分析】（1）根据数轴确定出 a、b、c 的正负情况以及绝对值的大小，然后解答即可； （2）根据 b−c＜0，a＋b＜0，−a＋c＞0，即可化简绝对值． 【详解】解：由图可知，a＜0，b＞0，c＞0，且|b|＜|a|＜|c|， （1）b−c＜0，a＋b＜0，−a＋c＞0；故答案为：＜，＜，＞； （2） | b  c |  | a  b | ∣ a  c| ＝c−b−a-b-a+c=2c-2b-2a． 【变式训练 3】有理数 a ， b 在数轴上的对应点如图所示： （1）填空： b  a ______0； b  1 ______0； a  1 ______0；（填“＜”、“＞”或“＝”） （2）化简： b  a  b  1  a  1 【答案】（1）<，<，>；（2） 2a 【分析】（1）根据数轴得出 2  b  1  0  a  1 ，再求出即可； （2）先去掉绝对值符号，再合并同类项即可． 【详解】（1）从数轴可知： 2  b  1  0  a  1 ， b  a  0, b  1  0, a  1  0 ，故答案为：<，<，>； （2） 2  b  1  0  a  1，b  a ，  b  a  b  1  a  1    b  a   1  b    a  1  b  a  1  b  a  1  2a ． 类型二、利用几何意义化简绝对值 例 1.同学们都知道，|5-（-2）|表示 5 与-2 之差的绝对值，实际上也可理解为 5 与-2 两数在数轴上所对的两 点之间的距离．试探索 （1）求|5-（-2）|=________； （2）同样道理|x+1008|=|x-1005|表示数轴上有理数 x 所对点到-1008 和 1005 所对的两点距离相等，则 x=________； （3）类似的|x+5|+|x-2|表示数轴上有理数 x 所对点到-5 和 2 所对的两点距离之和，请你找出所有符合条件 的整数 x，使得|x+5|+|x-2|=7，这样的整数是__________． （4）由以上探索猜想对于任何有理数 x，|x-3|+|x-6|是否有最小值？如果有，写出最小值；如果没有，说 明理由． 3 【答案】（1）7；（2）  ；（3）-5，-4，-3，-2，-1，0，1，2；（4）有最小值，最小值为 3． 2 【分析】（1）先去括号，再按照去绝对值的方法去绝对值即可； （2）根据题意可得 x 所对点为-1008 和 1005 所对点的中点，即可判断 x+1008 和 x-1005 的符号，按照去绝 对值的方法去绝对值即可得答案； （3）要 x 的整数值可以进行分段计算，令 x+5=0 或 x-2=0 时，分为 3 段进行计算，最后确定 x 的值； （4）根据（2）方法去绝对值，分为 3 种情况去绝对值符号，计算三种不同情况的值，最后讨论出最小值． 【详解】（1）|5-（-2）|= 5  2 =7，故答案为：7 （2）∵|x+1008|=|x-1005|表示数轴上有理数 x 所对点到-1008 和 1005 所对的两点距离相等， ∴x 所对点为-1008 和 1005 所对点的中点，∴x+1008＞0，x-1005＜0， 3 3 ∵|x+1008|=|x-1005|，∴x+1008=-（x-1005），解得： x   ，答案为：  2 2 （3）当 x+5=0 时，x=-5，当 x-2=0 时，x=2， 当 x＜-5 时，|x+5|+|x-2|=-（x+5）-（x-2）=7，-x-5-x+2=7，解得：x=5（范围内不成立，舍去） 当-5≤x＜2 时，∴|x+5|+|x-2|=（x+5）-（x-2）=7，x+5-x+2=7，7=7， ∵x 为整数，∴x=-5，-4，-3，-2，-1，0，1 当 x≥2 时，∴|x+5|+|x-2|=（x+5）+（x-2）=7，x+5+x-2=7，2x=4，解得：x=2， 综上所述：符合条件的整数为-5，-4，-3，-2，-1，0，1，2， 故答案为：-5，-4，-3，-2，-1，0，1，2 （4）∵|x-3|+|x-6|表示数轴上有理数 x 所对点到 3 和 6 所对的两点距离之和， ∴由（2）得 3≤x≤6 时|x-3|+|x-6|的值最小， ∴|x-3|+|x-6|=x-3-(x-6)=3，∴|x-3|+|x-6|有最小值，最小值为 3． 【变式训练 1】数学实验室： 点 A、B 在数轴上分别表示有理数 a，b，A、B 两点之间的距离表示为 AB，在数轴上 A、B 两点之间的距离 AB = a - b ． 利用数形结合思想回答下列问题： （1）数轴上表示 2 和 6 两点之间的距离是_______；数轴上表示 1 和 4 的两点之间的距离是_______． （2）数轴上表示 x 和 6 的两点之间的距离表示为_______；数轴上表示 x 和 3 的两点之间的距离表示为 _______． （3）若 x 表示一个有理数，则 | x  1|  | x  4 | 的最小值  ________． （4）若 x 表示一个有理数，且 | x  1|  | x  3 | 4 ，则满足条件的所有整数 x 的和为________． （5）若 x 表示一个有理数，当 x 为______，式子 | x  2 |  | x  3 |  | x  4 | 有最小值为________． 【答案】（1）4，5；（2） x  6 ， | x  3 | ； （3）5；（4） 1 或 0 或 1 或 2 或 3；（5）3，6． 【分析】（1）数轴上两点间的距离等于两个数的差的绝对值； （2）数轴上两点间的距离等于两个数的差的绝对值； （3）根据绝对值几何意义即可得出结论．（4）分情况讨论计算即可得出结论； （5） | x  2 |  | x  3 |  | x  4 | 表示数轴上某点到表示 2 、3、4 三点的距离之和，依此即可求解． 【详解】解：（1）数轴上表示 2 和 6 两点之间的距离是 | 6  2 | 4 ， 数轴上表示 1 和 4 的两点之间的距离是 |1- (- 4) |= 5 ．故答案为：4，5； （2）数轴上表示 x 和 6 的两点之间的距离表示为 x  6 ； 数轴上表示 x 和 3 的两点之间的距离表示为 | x  ( 3) || x  3 | ；故答案为： x  6 ， | x  3 | ； （3）根据绝对值的定义有： | x  1|  | x  4 | 可表示为点 x 到 1 与 4 两点距离之和，根据几何意义分析可知： 当 x 在 4 与 1 之间时， | x  1|  | x  4 | 的最小值为 5．故答案为：5； （4）当 x 