专题 02 逻辑探究课之数字类规律探索专练（原卷版） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．观察下列等式： ①32﹣12＝2×4 ②52﹣32＝2×8 ③72﹣52＝2×12…… 那么第 n（n 为正整数）个等式为（ ） A．n2﹣（n﹣2）2＝2×（2n﹣2） B．（n＋1）2﹣（n﹣1）2＝2×2n C．（2n）2﹣（2n﹣2）2＝2×（4n﹣2） D．（2n＋1）2﹣（2n﹣1）2＝2×4n 2．观察下列等式： 31 = 3, 3 2  9, 33  27 , 34  81, 35  243, 36  729, 37  2187 , ．解答下 列问题： 3  32  33  34   32020 的末尾数字是 A．0 B．2 （ C．3 ） D．9 3．将正整数按照如图规律排列： 第一层： 1 第二层： 234 第三层： 56789 第四层： 10 11 12 13 14 15 16 ······ 在这个数字宝塔中，请问 2021 在第（ A． 43 B． 44 ）层． C． 45 D． 46 4．如图是一个按某种规律排列的数阵：根据规律，自然数 2021 应该排在从上向下数的 的第 m 行，是该行中的从左向右数的的第 n 个数，那么 m  n 的值是（ A．131 B．130 C．129 5．一个用数 1 和 0 组成的 2021 位的数码，其排列规律是 1 学科 网（北 京）股 份有限 公司 ） D．128 101101110101101110101101110……，则这个数码中，数字“0”共有（ A．673 B．674 C．675 ） D．676 6．已知 a1 ， a2 ，  ， a40 为一等差数列，其中 a1 为正数，且 a20 +a22 = 0 ，判断下列叙述 何者正确？（ ） A． a21 +a22  0 B． a21  a22  0 C． a21  a22  0 D． a21  a22  0 二、填空题 7．已知 a  0 ， S1  1 1 1 1 ，1  S1  ，1  S 2  ，1  S3  ……，按此规律，请用含 a S2 S3 S4 a 的代数式表示 S 2021  ________． 8．如图，将正整数按此规律排列成数表，则 2021 是表中第____行第________列． 1 a 9．已知 a＞0，S1＝ ，S2＝﹣S1﹣1，S3＝ 大于 1 的奇数时，Sn＝ 1 1 ，S4＝﹣S3﹣1，S5＝ S ……（即当 n 为 S2 4 1 ；当 n 为大于 1 的偶数时，Sn＝﹣Sn﹣1），按此规律，S2021 Sn1 ＝_____． 1 1  1 1 1 1 1  1 1 1 1   1   ，     ，      ，……， 1 3 2  3  3  5 2  3 5  5  7 2  5 7  1 1  1 1     19  21 2  19 21 1 1 1 1 1  1 1 1 1 1  10    ...    1    ...     ，请用你发现的规 1 3 3  5 5  7 19  21 2  3 3 5 19 21 21 10．观察： 1 1 1 1    ...   __． 1 3 3  5 5  7 2019  2021 1 1 1 t 11．已知：a1  ，a2  ，a3  ，……，an 1  ；则 a2020 ＝_______． （用 1  a 1  an 1  a1 t 1 2 律计算求值： 含 t 的代数式表示） 12．斐波那契数列因意大利数学家斐波那契以兔子繁殖为例引入，故又称为“兔子数列”， 即：1，1，2，3，5，8，21，144，233…在实际生活中，很多花朵（如梅花、飞燕草、 万寿菊等）的瓣数恰是斐波那契数列中的数，斐波那契数列在现代物理及化学等领域也 有着广泛的应用．若斐波那契数列中的第 n 个数记为 an，则 1+a3+a5+a7+a9+…+a2021 与 斐波那契数列中的第___个数相同． 13．“干支纪年法”是我国历法的一种传统纪年法，甲､乙､丙､丁､戊､已､庚､辛､壬､癸被称 为“十天干”：子､丑､寅､卯､辰､已､午､未､申､酉､戍､亥叫做“十二地支”；“天干”以“甲”字 开始，“地支”以“子”字开始，两者按干支顺序相配，组成了干支纪年法，其相配顺序为 甲子､乙丑､丙寅…癸酉；甲戌､乙亥､丙子…癸未；甲申､乙酉､丙戌…癸已；…共得到 60 个组合，称六十甲子，周而复始，无穷无尽．2021 年是“干支纪年法”中的辛丑年，那么 2050 年是“干支纪年法“中的________________． 14．下表在我国宋朝数学家杨辉 1261 年的著作《详解九章算法》中提到过，因而人们 把这个表叫做杨辉三角，请你根据杨辉三角的规律补全下表第四行空缺的数字是 ______． 15．将黑色圆点按如图所示的规律进行排列，图中黑色圆点的个数依次为：1，3，6， 10，……，将其中所有能被 3 整除的数按从小到大的顺序重新排列成一组新数据，则新 数据中的第 33 个数为___________． 16．如图中的三个图形都是边长为 1 的小正方形组成的网格，其中第一个图形有 1  1 个 正方形，所有线段的和为 4，第二个图形有 2  2 个小正方形，所有线段的和为 12，第三 个图形有 3  3 个小正方形，所有线段的和为 24，按此规律，则第 n 个网格所有线段的 和为____________．(用含 n 的代数式表示) 17．数学上往往是先有猜想，猜想被证明正确后便成为定理．黎曼猜想（也称黎曼假设） 是 100 多年前由德国著名数学家黎曼提出的，它是世界上最重要的数学猜想之一．有大 约 1000 个数学命题，一旦黎曼猜想得到证明，它们就必然成立．黎曼猜想与物理学、 3 学科 网（北 京）股 份有限 公司 密码学也有深刻的联系．黎曼猜想与以下数学式有关： 1  当 s  1 时，上式就是所有正整数的倒数的和 1  随着 n 的无限增加， （*）式中的第 n 项 1 1 1    s  2 s 3s n 1 1 1       （*） 2 3 n 1 将无限接近于 0，那么（*）式的值会比 10 大 n 吗？会比 10000 大吗？ 自然的感觉是“聚沙成塔”、“积少成多”，即设法把很多小小的项累加起来变大．下面是 实现这个想法的一种组合法： 1 1 1  1 1 1 1  1 1 1 1 1 1 1 1  1 1                        2  3 4   5 6 7 8   9 10 11 12 13 14 15 16  n 1 1 1  1 1 1 1   1 1 1 1 1 1 1 1  1  1                        2  4 4   8 8 8 8   16 16 16 16 16 16 16 16  n 用这种方法可以判定（*）式中： （1）从第一项 1 开始，一共________项的和就可以大于 3； （2）从第一项 1 开始，一共________项的和就可以大于 6 三、解答题 18．一列数 a1，a2，a3，…，an，其中 a1＝﹣1，a2＝ 1 1 1 ，a3＝ ，…，an＝ ． 1  a1 1  an 1 1  a2 （1）求 a2，a3 的值； （2）求 a1+a2+a3+…+a2021 的值． 19．已知：(x－1)(x＋1)＝x2－1 (x－1)(x2＋x＋1)＝x3－1 (x－1)(x3＋x2＋x＋1)＝x4－1 (x－1)(x4＋x3＋x2＋x＋1)＝x5－1 （1）当 x＝3 时，(3－1)×(33＋32＋3＋1)＝________； …… （2）试求：25＋24＋23＋22＋2＋1 的值． （3）判断 22021＋22020＋22019＋……＋22＋2＋1 的值的个位数是________； 20．观察下列等式： 1 1 1 1 1 1 1 1  1 ，   ，   ，将以上三个等式两边分 1 2 2 2  3 2 3 3 4 3 4 别相加得： 1 1 1 1 1 1 1 1 1 3    1      1  ． 1 2 2  3 3  4 2 2 3 3 4 4 4 1  ________． （1）猜想并写出： n( n  1) （2）直接写出结果： 1 1 1 1      ___________． 1 2 2  3 3  4 2018  2019 （3）计算 1 1 1 1     ． 2 4 4 6 68 2018  2020 21．观察下列等式： 第 1 个等式： 1 1 1   ； 2 4 2 第 2 个等式： 1 1 2 ；   3 9 3 第 3 个等式： 1 1 3 ；   4 16 4 … 按照以上规律，解决下列问题： （1）写出第 4 个等式： ； （2）写出你猜想的第 n 个等式： （用含 n 的式子表示），并证明． 22．观察下列各式： ①32－12＝4×2； ②42－22＝4×3； ③52－32＝4×4； …… （1）探索以上式子的规律，写出第 n 个等式 （2）若式子 a2－b2＝2020 满足以上规律，则 a＝ （用含 n 的字母表示）； ，b＝ ； （3）计算：20＋24＋28＋……＋100． 23．观察下列各式：  x  1   x  1  1 x 2  1   x  1   x  1 x 3  1   x  1  x 2  x  1 x 4  1   x  1  x3  x 2  x  1 n n 1 ）   x  1  x  x    x  1 ； 根据上面各式的规律可得（ 利用规律完成下列问题： （1） 52021  52020  52019    51