专题 07 一元一次方程的七种实际应用 1. 数字问题 例 1.一个两位数，十位数字是个位数字的两倍，将这个两位数的十位数字与个位数字对调后得到的两位数 比原来的两位数小 27，求这个两位数． 【解答】解：设这个两位数的个位数字为 x，则十位数字为 2x，原两位数为（10×2x+x），十位数字与个 位数字对调后的数为（10x+2x）， 依题意，得：（10×2x+x）﹣（10x+2x）＝27， 解得：x＝3， ∴2x＝6， ∴10×2x+x＝63． 答：这个两位数为 63． 【变式训练】一个三位数，十位数字是 0，个位数字是百位数字的 2 倍，如果将这个三位数的个位数字与百 位数字调换位置得到一个新的三位数，则这个新的三位数比原三位数的 2 倍少 9，设原三位数的百位数 字是 x： （1）原三位数可表示为 ，新三位数可表示为 ； （2）列方程求解原三位数． 【解答】解：（1）设原三位数的百位数字是 x，则个位数字是 2x，又∵十位数字是 0， ∴原三位数可表示为 100x+2x＝102x． ∵新的三位数的个位数字是 x，百位数字是 2x，十位数字是 0， ∴新三位数可表示为 100•2x+x＝201x．故答案为 102x，201x； （2）由题意，得 201x＝2•102x﹣9，解得 x＝3．则 102×3＝306．答：原三位数为 306． 2.年龄问题 例 1.今年父亲的年龄是儿子年龄的 3 倍，5 年前父亲的年龄比儿子年龄的 4 倍还大 1 岁，设今年儿子 x 岁， 则可列方程为（ ） A．4x+1+5＝3（x+5） B．3x﹣5＝4（x﹣5）+1 C．3x+5＝4（x+5）+1 D．4x﹣5＝3（x﹣5）+1 【解答】解：设今年儿子 x 岁， 依题意，得：3x﹣5＝4（x﹣5）+1． 故选：B． 【变式训练】古希腊数学家丢番图（公元 3～4 世纪）的墓碑上记栽着： “他生命的六分之一是幸福的童年； 再活了他生命的十二分之一，两颊长起了细细的胡须；他结了婚，又度过了一生的七分之一；再过五年， 他有了儿子，感到很幸福；可是儿子只活了他父亲全部年龄的一半；儿子死后，他在极度悲痛中度过了 四年，也与世长辞了．”根据以上信息，请你算出： （1）丢番图的寿命； （2）丢番图开始当爸爸时的年龄； （3）儿子死时丢番图的年龄． 1 1 1 1 【解答】解：设丢番图的寿命为 x 岁，由题意得： x+ 12x+ x+5+ 2x+4＝x， 7 6 1 1 1 解得：x＝84，而 ×84+ 12 ×84+ ×84+5＝38，即他 38 岁时有了儿子． 7 6 1 他儿子活了 x＝42 岁．84﹣4＝80 岁． 2 答：丢番图的寿命是 84 岁；丢番图开始当爸爸时的年龄是 38；儿子死时丢番图的年龄是 80 岁． 3. 折扣问题 例 1.某书店把一本新书按标价的八折出售，仍可获利 10%，若该书的进价为 24 元，则标价为（ A．30 元 B．31 元 C．32 元 ） D．33 元 【解答】解：设这本新书的标价为 x 元， 依题意得：0.8x﹣24＝24×10%， 解得：x＝33． 故选：D． 【变式训练】甲、乙两件服装的成本共 500 元，商店老板为获取利润，决定将甲服装按 50%的利润定价， 乙服装按 40%的利润率定价．在实际出售时，应顾客要求，两件服装均按 9 折出售，这样商店老板共获 利 157 元．甲、乙两件服装的成本各为多少元？ 【解答】解：设甲服装的成本是 x 元，则乙服装的成本是（500﹣x）元，依题意有 0.9×（1+50%）x+0.9×（1+40%） （500﹣x）﹣500＝157，解得 x＝300， 500﹣x＝200． 答：甲服装的成本为 300 元，乙服装的成本为 200 元． 4. 利润问题 例 1.某超市计划购进甲、乙两种型号的节能灯共 1000 只，这两种节能灯的进价、售价如下表： 进价（元/只） 售价（元/只） 甲型 25 30 乙型 45 60 （1）如果进货款恰好为 37000 元，那么可以购进甲型节能灯多少只？ （2）超市为庆祝元旦进行大促销活动，决定对乙型节能灯进行打折销售，要求全部售完后，乙型节能灯 的利润率为 20%，请问乙型节能灯需打几折？ 【解答】解：（1）设商场购进甲型节能灯 x 只，则购进乙型节能灯（1000﹣x）只， 由题意，得 25x+45（1000﹣x）＝37000，解得：x＝400 购进乙型节能灯 1000﹣x＝1000﹣400＝600（只） 答：购进甲型节能灯 400 只，购进乙型节能灯 600 只进货款恰好为 37000 元． （2）设乙型节能灯需打 a 折， 0.1×60a﹣45＝45×20%，解得 a＝9，答：乙型节能灯需打 9 折． 【变式训练】武汉大洋百货经销甲、乙两种服装，甲种服装每件进价 500 元，售价 800 元；乙种服装商品 每件售价 1200 元，可盈利 50%． （1）每件甲种服装利润率为 ，乙种服装每件进价为 元； （2）若该商场同时购进甲、乙两种服装共 40 件，恰好总进价用去 27500 元，求商场销售完这批服装， 共盈利多少？ （3）在元旦当天，武汉大洋百货实行“满 1000 元减 500 元的优惠” （比如：某顾客购物 1200 元，他只 需付款 700 元）．到了晚上八点后，又推出“先打折”，再参与“满 1000 元减 500 元”的活动．张先生买 了一件标价为 3200 元的羽绒服，张先生发现竟然比没打折前多付了 20 元钱问大洋百货商场晚上八点后 推出的活动是先打多少折之后再参加活动？ 【解答】解：（1）∵甲种服装每件进价 500 元，售价 800 元， ∴每件甲种服装利润率为 800−500 500 × 100% =60%． ∵乙种服装商品每件售价 1200 元，可盈利 50%． 1200 =800（元），故答案为：60%，800； ∴乙种服装每件进价为 1+50% （2）设甲种服装进了 x 件，则乙种服装进了（40﹣x）件， 由题意得，500x+800（40﹣x）＝27500，解得：x＝15． 商场销售完这批服装，共盈利 15×（800﹣500）+25×（1200﹣800）＝14500（元）． 答：商场销售完这批服装，共盈利 14500 元． （3）设打了 y 折之后再参加活动． ①3200 × ②3200 × ③3200× � − 2 × 500 =3200﹣3×500+20．解得：y＝8.5． 10 � − 500 = 3200 − 3 × 500 + 20，解得 y＝8（不合题意，舍去） ． 10 � = 3200 − 3 × 500 + 20，解得 y＝5.9（不合题意，舍去）． 10 答：先打八五折再参加活动． 5. 工程问题 3 例 1.一项工程，甲单独做 5 天完成，乙单独做 8 天完成．若甲先做 1 天，然后甲、乙合作完成此项工作的 ．若 4 设甲一共做了 x 天，则所列方程为（ � �+1 3 = A． + 5 8 4 � �−1 3 = B． + 5 8 4 【解答】解：设甲一共做了 x 天， ） � �+1 3 = C． − 5 8 4 � �−1 3 = D． − 5 8 4 � �−1 3 由题意得： + = ， 8 4 5 故选：B． 【变式训练】某街道 1000 米的路面下雨时经常严重积水．需改建排水系统．市政公司准备安排甲、乙两个 工程队做这项工程，根据评估，有两个施工方案： 方案一：甲、乙两队合作施工，那么 12 天可以完成； 方案二：如果甲队先做 10 天，剩下的工程由乙队单独施工，还需 15 天才能完成． （1）甲、乙两队单独完成此项工程各需多少天？ （2）方案一中，甲、乙两队实际各施工了多少米？ 【解答】解：（1）设甲队每天施工 x 米，则乙队每天施工 依题意，得：12x+12× 1000−10� 15 米， 1000−10� 100 1000−10� =1000，解得：x＝50，∴ = ， 15 15 3 ∴1000÷50＝20（天），1000÷ 100 =30（天）． 3 答：甲队单独完成此项工程需要 20 天，则乙队单独完成此项工程需要 30 天． （2）50×12＝600（米）， 100 3 ×12＝400（米） ． 答：方案一中，甲队实际施工了 600 米，乙队实际施工了 400 米． 6. 工程问题 例 1.甲、乙两人骑自行车分别从相距 36km 的两地匀速同向而行，如果甲比乙先出发半小时，那么他们在乙 出发后经 3 小时甲追上乙；如果乙比甲先出发 1 小时，那么他们在甲出发后经 5 小时甲才能追上乙．请 问：甲、乙两人骑自行车每小时各行多少千米？ 7 【分析】设甲骑自行车每小时行 x 千米，则乙骑自行车每小时行（ x﹣12）千米，根据路程＝速度×时 6 间，即可得出关于 x 的一元一次方程组，解之即可得出结论． 7 【解答】解：设甲骑自行车每小时行 x 千米，乙骑自行车每小时行（ x﹣12）千米，依题意得： 6 7 5x﹣（5+1） （ x﹣12）＝36， 6 解得：x＝18， 7 6 x﹣12＝21﹣12＝9． 答：甲骑自行车每小时行 18 千米，乙骑自行车每小时行 9 千米． 【变式训练】A、B 两地相距 480km，C 地在 A、B 两地之间．一辆轿车以 100km/h 的速度从 A 地出发匀速 行驶，前往 B 地．同时，一辆货车以 80km/h 的速度从 B 地岀发，匀速行驶，前往 A 地． （1）当两车相遇时，求轿车行驶的时间； （2）当两车相距 120km 时，求轿车行驶的时间； （3）若轿车到达 B 地后，立刻以 120km/h 的速度原路返回，再次经过 C 地，两次经过 C 地的时间间隔 为 2.2h，求 C 地距离 A 地路程． 【解答】解：（1）设两车相遇时，轿车行驶的时间为 t 小时，由题意可得 8 8 100t+80t＝480。解得 t= 3，答：两车相遇时，轿车行驶的时间为 小时 3 （2）设两车相距 120km 时，轿车行驶的时间 x 小时，由题意可以分相遇前和相遇后两种情况． ①相遇前两车相距 120km 时，有 100t+80t＝480﹣120，解得 t＝2 10 ②相遇后两车相距 120km 时，有 100t+80t＝480+120，解得 t= 3 答：当轿车行驶 2 小时或 10 3 小时，两车相距 120km． （3）设 C 地距离 B 地路程为 ykm，由题意可得 � 100 + � 120 =2.2 解得 y＝120，即 C 地距离 B 地路程为 120km，而 A、B 两地相距 480k