专题 05 整式中的规律探索问题 类型一、数字类规律探索 例.a 是不为 1 的有理数，我们把 1 1 1 1  ，  -1 ，－1 的差倒数为 称为 a 的差倒数，如 2 的差倒数为 1  (1) 2 1-a 1-2 已知 a1  5 ， a2 是 a1 差倒数， a3 是 a2 差倒数， a4 是 a3 差倒数，以此类推……， a2021 的值是（ B．  A．5 1 4 C． 4 3 D． ） 4 5 【答案】B 【解析】∵ a1  5 ， a2 是 a1 的差倒数，∴ a2  ∵ a3 是 a2 的差倒数， a4 是 a3 的差倒数，∴ 根据规律可得 an 以 5 ， - a3  1 1  ， 1 5 4 1 4 1  a4  5 ， 4  1  5 ，∴ 1  -  1 5  4 1 4 1 ， 为周期进行循环，因为 2021＝673×3…2，所以 a2021   ． 4 4 5 故选 B． 【变式训练 1】阅读解答： （1）填空： 21  2 0  _____  2 ( ) ； 2 2  21  _____  2 ( ) ； 23  2 2  _____  2 ( ) …… （2）探索（1）中式子的规律，试写出第 n 个等式_________； （3）根据上述规律，计算： 20  21  2 2  23  2 4    2 2021 ． 【答案】（1）1，0；2，1；4，2；（2）2n-2n-1=2n-1； （3） 22022  1 【解析】（1）21-20=1=20，22-21=2=21，23-22=4=22； （2）由题意可得：2n-2n-1=2n-1； （3）设 S  20  21  22  23  24    22021 ， ∴ 2S  21  22  23  24    22022 ，     1 2 3 4 2022  20  21  22  23  24    22021 = 22022  1 ． ∴ S  2S  S = 2  2  2  2    2 故答案为： （1）1，0；2，1；4，2；（2）2n-2n-1=2n-1；（3） 2 2022 1 【变式训练 2】有 2021 个数排成一行，对于任意相邻的三个数，都有中间数等于前后两数的和，如果第一 个数是 0，第二个数是 1， 那么前 6 个数的和是______， 这 2021 个数的和是______． 【答案】0 1 【解析】由题意得：第 3 个数是 1  0  1 ， 第 4 个数是 1  1  0 ，第 5 个数是 0  1  1 ，第 6 个数是 1  0  1 ， 则前 6 个数的和是 0  1  1  0   1   1  0 ， 第 7 个数是 1  ( 1)  0 ，第 8 个数是 0  ( 1)  1 ， 归纳类推得：这 2021 个数是按 0,1,1, 0, 1, 1 循环往复的，  2021  6  336  5 ，且前 6 个数的和是 0，  这 2021 个数的和与前 5 个数的和相等，即为 0  1  1  0   1  1 ， 故答案为：0，1． 【变式训练 3】已知整数 a1 ， a2 ，…， an （n 为正整数）满足 a1  0 ， a2   a1  1 ， a3   | a2  2 | ， a4   a3  3 ，…，以此类推，则 a2021 =__________． 【答案】 1010 【解析】由题知 a1=0， a2=-|a1+1|=-1，a3=-|a2+2|=-1，a4=-|a3+3|=-2， a5=-|a4+4|=-2，a6=-|a5+5|=-3，…， 所以 n 是奇数时，an=  n 1 n ，n 是偶数时，an=  ， 2 2 ∴a2021=-1010， 故答案为：-1010． 类型二、图形类规律探索 例.观察下列一组图形中点的个数，其中第 1 个图形中共有 4 个点，第 2 个图形中共有 10 个点，第 3 个图形 中共有 19 个点，… 解答下面的问题： （1）按此规律第 6 个图形中共有点的个数是_______． （2）若 n 个图形中共有 166 个点，求 n 的值． 【答案】（1）64；（2）n＝10． 【解析】（1）第 1 个图中共有 1+1×3＝4 个点， 第 2 个图中共有 1+1×3+2×3＝10 个点， 第 3 个图中共有 1+1×3+2×3+3×3＝19 个点，… 第 n 个图点的个数为 1+1×3+2×3+3×3+…+3n＝ n(3n  3) +1． 2 所以第 6 个图中共有点的个数是 1+1×3+2×3+3×3+4×3+5×3+6×3＝64． 故答案为：64； （2）当 n(3n  3) +1＝166 时，解得 n＝10，n=-11（负值舍去）． 2 故答案为： （1）64；（2）n＝10． 【变式训练 1】将黑色圆点按如图所示的规律进行排列，图中黑色圆点的个数依次为：1，3，6，10，……， 将其中所有能被 3 整除的数按从小到大的顺序重新排列成一组新数据，则新数据中的第 33 个数为 ___________． 【答案】1275 【解析】第①个图形中的黑色圆点的个数为：1， 第②个图形中的黑色圆点的个数为： 1  2   2 =3， 第③个图形中的黑色圆点的个数为： 1  3  3 =6， 第④个图形中的黑色圆点的个数为： 1  4   4 =10，... 第 n 个图形中的黑色圆点的个数为 2 2 2 n  n  1 2 ， 则这列数为 1，3，6，10，15，21，28，36，45，55，66，78，91，...， 其中每 3 个数中，都有 2 个能被 3 整除， 33÷2=16...1，16×3+2=50， 则第 33 个被 3 整除的数为原数列中第 50 个数，即 50  51 =1275，故答案为：1275． 2 【变式训练 2】如图，是用棋子摆成的图案，摆第 1 个图案需要 7 枚棋子，摆第 2 个图案需要 19 枚棋子， 摆第 3 个图案需要 37 枚棋子，按照这样的方式摆下去，摆第 n 个图案需要_______________枚棋子．   2 【答案】 3n  3n  1 【解析】 n  1 时，总数是 6  1  7 ； n  2 时，总数为 6  1  2   1  19 ； n  3 时，总数为 6  1  2  3  1  37 枚；…；  n  n 时，有 6  (1  2  3   n)  1  6   2 (n  1)n  1  3 n 2  3 n  1  枚． 2  故答案为： 3n  3n  1 ． 【变式训练 3】如图是某广场用地板铺设的部分图案，中央是一块正六边形的地板砖，周围是正三角形和正 方形的地板砖．从里向外的第 1 层包括 6 个正方形和 6 个正三角形，第 2 层包括 6 个正方形和 18 个正三角 形，依此递推，第 10 层中含有正三角形个数为___个，第 n 层含有正三角形个数为___个． 【答案】114 12 n  6 【解析】根据题意分析可得：从里向外的第 1 层包括 6 个正三角形， 第 2 层包括 18 个正三角形，此后，每层都比前一层多 12 个， 依此递推，第 10 层中含有正三角形个数是 6+12×9=114 个， 则第 n 层中含有正三角形个数是 6+12×（n-1）= 12 n  6 个， 故答案为：114， 12 n  6 ． 【变式训练 4】观察下列图形： 它们是按一定规律排列的，依照此规律，用 6064 个五角星摆出的图案应该是第_______个图形． 【答案】2021 【解析】观察发现，第 1 个图形五角星的个数是：1+3＝4， 第 2 个图形五角星的个数是：1+3×2＝7， 第 3 个图形五角星的个数是：1+3×3＝10， 第 4 个图形五角星的个数是：1+3×4＝13，⋯ 第 n 个图形五角星的个数是：1+3•n＝1+3n， ∵ 6064  1  2021 ， 3 ∴用 6064 个五角星摆出的图案应该是第 2021 个图形， 故答案为：2021． 课后训练 1．下列图形都是由同样大小的黑色正方形纸片组成，其中第 1 个图有 3 张黑色正方形纸片，第 2 个图有 5 张黑色正方形纸片，第 3 个图有 7 张黑色正方形纸片，…，按此规律排列下去，若第 n 个图中有 201 张黑色 正方形纸片，则 n 的值为（ A．99 ） B．100 C．101 【答案】B 【详解】 解：观察图形知： 第一个图中有 3=1+2×1 个正方形， 第二个图中有 5＝1＋2×2 个正方形， 第三个图中有 7＝1＋2×2 个正方形， … 故第 n 个图中有 1＋2×n＝2n+1=201（个）正方形， 解得 n=100 故选 B． D．102 2．计算： 21  1  1 ， 22  1  3 ， 23  1  7 ， 2 4  1  15 ， 25  1  31 ，…归纳各计算结果中各位数字的规律， 猜测 2 2021 1 的个位数字是______． 【答案】1 【详解】 解：由 21  1  1 ， 2 2  1  3 ， 23  1  7 ， 2 4  1  15 ， 25  1  31 ， 26  1  63 ， 27  1  127 ，…，可知计算结 果中的个位数字以 1、3、7、5 为一个循环组依次循环， ∵ 2021  4  505...1 ， ∴ 22021  1的个位数字是 1， 故答案为：1． 3．如图，按此规律，第 6 行最后一个数字是_____，第_____行最后一个数是 2020． 【答案】16 674 【详解】 每一行的最后一个数字分别是 1,4,7,10 ,……，  第 n 行的最后一个数字为： 1+3(n  1)  3n  2 ，  第 6 行最后一个数字为： 3  6  2  16 ； 3n  2  2020 ，解得： n  674 ， 故答案为：16,674． 4．如图，每个图形中的三个数之间均具有相同的规律．根据此规律，若图