专题 06 一元一次方程的四种特殊解问题 类型一、整数解问题 1 2 例.若关于 x 的一元一次方程 ( m ) x 5 3 （ 1 x 的解是整数，则所有满足条件的整数 m 取值之和是 2 ） A．－16 B．－12 C．－10 D．－8 【答案】D 【解析】 m 1 1 x 5 3 x ，∴ m 1 x 8 ， 2 2 若 m=-1，则原方程可整理得：0=8（不成立，舍去） ； 若 m≠-1，则 x 8 ， m 1 ∵解是整数，∴x=1 或-1 或 2 或-2 或 4 或-4 或 8 或-8， 可得：m=7 或-9 或 3 或-5 或 1 或-3 或 0 或-2，∴7-9+3-5+1-3+0-2=-8， 故选 D． 【变式训练 1】使得关于 x 的方程 x A． 21 4 ax x 4 1 的解是正整数的所有整数 a 的积为（ 6 3 C． 6 B． 12 ） D． 12 【答案】B 【解析】 x 4 ax x 4 1 6 3 去分母得， 6 x 4 ax 2 x 4 6 ；去括号得， 6 x 4 ax 2 x 8 6 整理得， 4 a x 6 ，∴ x 6 ， 4a 当 a 2 时 x 1 ，当 a 1 时 x 2 ，当 a 2 时 x 3 ，当 a 3 时 x 6 ， 这些整数 a 的积为 2 1 2 3 12 ， 故选：B． 【变式训练 2】从 4 ，2 ，1 ，1，2，4 中选一个数作为 k 的值，使得关于 x 的方程 1 的解为整数，则所有满足条件的 k 的值的积为（ A． 32 【答案】D B． 16 C．32 ） D．64 2x k 2x k x 4 3 【解析】由 1 2x k 2x k 12 k ， x ，解得： x 2 4 3 ∵关于 x 的方程 1 2x k 2x k x 的解为整数， 4 3 ∴满足条件的 k 的值可以为： 4 ， 2 ，2，4，∴( 4 )×( 2 )×2×4=64， 故选 D． 【变式训练 3】已知关于 x 的方程 x﹣5＝﹣mx 有整数解，则正整数 m 的值为__． 【答案】 4 【解析】整理得（1+m）x＝5，∴ x 5 ， 1 m ∵x 为整数，m 为正整数， ∴m＝4， 故答案为：4． 类型二、含绝对值型 例.有些含绝对值的方程，可以通过讨论去掉绝对值，转化成一元一次方程求解．例如：解方程 x 2 | x | 3 ， 解：当 x 0 时，方程可化为： x 2 x 3 ，解得 x 1 ，符合题意； 当 x 0 时，方程可化为： x 2 x 3 ，解得 x 3 ，符合题意． 所以，原方程的解为 x 1 或 x 3 ． 请根据上述解法，完成以下两个问题： （1）解方程： x 2 | x 1| 3 ； （2）试说明关于 x 的方程 | x 3 | | x 1| a 解的情况． 【答案】（1）x=-1 或 x= 5 ；（2）当 a＞4 时，方程有两个解；当 a=4 时，方程有无数个解；当 a＜4 时，方 3 程无解 【解析】（1）当 x＜1 时，方程可化为： x 2 x 1 3 ，解得 x=-1，符合题意． 当 x≥1 时，方程可化为： x 2 x 1 3 ，解得 x= 所以，原方程的解为：x=-1 或 x= 5 ； 3 5 ，符合题意． 3 （2）当 x＜-3 时，方程可化为： x 3 x 1 a ， 2 x 2 a ， 解得： x a2 ， 2 则 a2 3 ，解得： a 4 ， 2 当-3≤x≤1 时， x 3 x 1 a 方程可化为： 4 a ， 当 x＞1 时， x 3 x 1 a 方程可化为： 2 x 2 a ，解得： x 则 a2 1 ，解得： a 4 ， 2 a2 ， 2 综上：当 a＞4 时，方程有两个解；当 a=4 时，方程有无数个解；当 a＜4 时，方程无解． 【变式训练 1】若 | x 3 | 【答案】 55 65 或 9 9 4 | x 5 | 12 ，则 x ____． 5 【解析】 ①当 x 3 时， 4 4 55 | x 5 | 12 ，∴ x 3 x 4 12 ，解得： x ； 5 9 5 4 4 ②当 3 x 5 时，∵ | x 3 | | x 5 | 12 ，∴ x 3 x 4 12 ， 5 5 ∵| x 3 | 解得： x 25 （舍去）； ③当 x 5 时，∵ | x 3 | 故答案为： 55 65 或 ． 9 9 4 4 65 | x 5 | 12 ，∴ x 3 x 4 12 ，解得： x ． 5 9 5 【变式训练 2】已知关于 x 的方程 | x 1 | a 2 只有一个解，那么 19 x 2018 3a 15 的值为_______． 【答案】40 【解析】∵方程 | x 1 | a 2 只有一个解，∴a+2=0，∴a=-2，∴x=-1， ∴ 19 x 2018 3a 15 = 19 1 2018 3 2 15 = 40 ，故答案为：40． 【变式训练 3】已知方程 2 x x 3 9 的解是负数，则 A． 2 B． 4 2 5x 值是（ 2x 1 C． 3 D． 9 【答案】B 【解析】当 x-3≥0 时，即 x≥3， 2 x x 3 9 ，解得：x=-12，不符合； 当 x-3≤0 时，即 x≤3， 2 x x 3 9 ，解得：x=-2，符合； 将 x=-2 代入 故选 B． 2 5x 2 5x = 4 ， ， 2x 1 2x 1 ） 【变式训练 4】如果 | 2 x 3 ||1 x | ，那么 x 的值为（ A． 2 3 B． 3 或1 2 C． ） 2 或－2 3 D． 2 或－4 3 【答案】D 【解析】由绝对值的性质化简 | 2 x 3 ||1 x | ， 可得 2 x 3 1 x 或 2 x 3 (1 x ) ， 解得： x 2 或 x 4 ， 3 故选 D． 类型三、相同解的问题 例.若关于 x 的方程 4 x 5 x n 和方程 x 【答案】 n x 1 3x 4 2 的解相同，求 n 的值． 2 5 14 11 【解析】方程 x x 1 3x 4 2 ， 2 5 去分母得： 10 x 5 x 5 20 6 x 8 ， 移项合并得： 11x 23 ，解得： x 把x 23 ， 11 23 14 92 23 5 n ，解得： n 代入 4 x 5 x n 中得： ． 11 11 11 11 故答案为： n 14 11 【变式训练 1】已知 m，n 为整数，关于 x 的一元一次方程 (2n 1) x m(n 1) x 1 的解相同，则 m n _________． 【答案】0 或-6 【解析】 (2n 1) x m ， x m ， 2n 1 1 m 1 ， 由题可得： ， n 1 2n 1 n 1 2n 1 2(n 1) 1 1 m 2 ． n 1 n 1 n 1 又 (n 1) x 1 ， x m，n 为整数， n 1 1 或 n 1 1 ， 当 n 1 1 时， n 0 ，代入可得： m 1 ， 当 n 1 1 时， n 2 ，代入可得： m 3 ， m n 0 1 0 或 m n 2 3 6 ．故答案为 0 或 6 ． 【变式训练 2】若关于 x 的方程 【答案】 5 . 2 m 3x x 2 的解与方程 x 1 m 的解相同，则 m 的值为______． 2 【解析】∵ x 1 m ，∴x=m-1； m 3x x 2 ，∴x=4-m， 2 m 3x x 2 的解与方程 x 1 m 的解相同， ∵关于 x 的方程 2 5 ∴4-m=m-1,解得 m= . 2 5 故填 . 2 ∵ 类型四、解的情况 例.已知关于 x 的方程 m 3 x m 2 6n 0 为一元一次方程，且该方程的解与关于 x 的方程 2x 1 xn 1 的解相同． 5 2 （1）求 m，n 的值； （2）在（1）的条件下，若关于 y 的方程|a|y+a＝m+1﹣2ny 无解，求 a 的值． 【答案】（1） m 3, n 2 ；（2） a 4 ． ﹣ 【解析】（1）∵关于 x 的方程（m+3）x|m| 2+6n＝0 是一元一次方程， ∴|m|﹣2＝1，m+3≠0，解得：m＝3， 当 m＝3 时，方程为：6x+6n＝0，解得：x＝﹣n， 2x 1 xn 1 ，2（2x+1）﹣10＝5（x+n），解得：x＝﹣5n﹣8， 5 2 ∴﹣5n﹣8＝﹣n，∴n＝﹣2； （2）把 m＝3，n＝﹣2 代入|a|y+a＝m+1﹣2ny，得：|a|y+a＝4+4y，∴y＝ a 40 ∵y 的方程|a|y+a＝4+4y 无解，∴ 4a 0 4a ， a 4 ，∴a＝﹣4． 故答案为： （1） m 3, n 2 ； （2） a 4 【变式训练 1】．（1）当 k 取何值时，关于 x 的方程 5 3x
专题06 一元一次方程的四种特殊解问题（解析版）.pdf
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