专题 02 数轴上的三种动点问题 数轴的动点问题，无论在平时练习，还是月考，期中期末考试中属于压轴题的版块，其过程复杂，情况 多变。那么，本专题对其中常考的三种题型（求时间、求距离或者对应点、定值问题）做出详细分析与梳 理。 【知识点梳理】 1.数轴上两点间的距离 数轴上 A、B 两点表示的数为分别为 a、b，则 A 与 B 间的距离 AB=|a－b|； 2.数轴上点移动规律 数轴上点向右移动则数变大（增加） ，向左移动数变小（减小）； 当数 a 表示的点向右移动 b 个单位长度后到达点表示的数为 a+b；向左移动 b 个单位长度后到达点表示的 数为 a－b. 类型一、求时间 例 1．如图在数轴上 A 点表示数 a，B 点表示数 b，a、b 满足|a+2|+|b﹣8|＝0 （1）点 A 表示的数为 ；点 B 表示的数为 ； （2）若在原点 O 处放一挡板，一小球甲从点 A 处以 1 个单位/秒的速度向左运动；同时另一小球乙从点 B 处以 2 个单位/秒的速度也向左运动，在碰到挡板后（忽略球的大小，可看作一点）以原来的速度向相反的 方向运动，设运动的时间为 t（秒） ， ①当 t＝1 时，甲小球到原点的距离＝ 点的距离＝ ；乙小球到原点的距离＝ ；乙小球到原点的距离＝ ；当 t＝5 时，甲小球到原 ； ②试探究：甲，乙两小球到原点的距离可能相等吗？若不能，请说明理由．若能，请直接写出甲，乙两小 球到原点的距离相等时经历的时间． 【答案】（1）-2，8；（2）①3，6；7，2；②可能，2 秒或 10 秒 【分析】（1）根据绝对值的非负性求解即可； （2）①首先求出甲、乙两球运动的路程，再根据它的初始位置求解即可； ②分两种情况：乙球碰到挡板前和乙球碰到挡板后，分别建立方程求解即可． 【详解】（1）∵|a+2|+|b﹣8|＝0， a  2  0, b  8  0 ，  a  2, b  8 ， ∴点 A 表示的数为-2；点 B 表示的数为 8； （2）∵一小球甲从点 A 处以 1 个单位/秒的速度向左运动；同时另一小球乙从点 B 处以 2 个单位/秒的速度 也向左运动，∴当 t＝1 时，甲小球运动的路程为 1 1  1个单位，乙小球运动的路程为 1 2  2 个单位， ∴当 t＝1 时，甲小球到原点的距离为 2  1  3  3 ；乙小球到原点的距离为 8  2  6 ； 同理，当 t＝5 时，甲小球运动的路程为 1  5  5 个单位，乙小球运动的路程为 2  5  10 个单位，此时乙小球 会碰到挡板而向相反的方向运动， ∴当 t＝5 时，甲小球到原点的距离为 2  5  7  7 ；乙小球到原点的距离为 10  8  2 ； ②∵点 B 表示的数为 8，乙小球的速度为 2 个单位/秒， ∴乙小球碰到挡板所用的时间为 8  2  4 （秒） ， 当运动时间小于等于 4 秒时， 2  t  8  2t ，解得 t  2 ； 当运动时间大于 4 秒时， 2  t  2t  8 ，解得 t  10 ， ∴甲，乙两小球到原点的距离可能相等，甲，乙两小球到原点的距离相等时经历的时间为 2 秒或 10 秒． 【变式训练 1】如图，有两条线段， AB  2 （单位长度）， CD  1 （单位长度）在数轴上，点 A 在数轴上表 示的数是-12，点 D 在数轴上表示的数是 15． （1）点 B 在数轴上表示的数是______，点 C 在数轴上表示的数是______，线段 BC 的长=______； （2）若线段 AB 以 1 个单位长度秒的速度向右匀速运动，同时线段 CD 以 2 个单位长度秒的速度向左匀速运 动．当点 B 与 C 重合时，点 B 与点 C 在数轴上表示的数是多少？ （3）若线段 AB 以 1 个单位长度秒的速度向左匀速运动，同时线段 CD 以 2 个单位长度/秒的速度也向左匀 速运动．设运动时间为 t 秒，当 t 为何值时，点 B 与点 C 之间的距离为 1 个单位长度？ 【答案】-10，14，24；(2) -2；(3) t= 23 25 或 3 3 【分析】(1)根据 AB、CD 的长度结合点 A、D 在数轴上表示的数，即可求出点 B、C 在数轴上表示的数，再 根据两点间的距离公式求出线段 BC 的长度； (2)设相遇时间为 a,分别用 a 表示出相遇时 B、C 两点所表示的数,让其相等即可求出; (3) 分线段 AB 与线段 CD 在相遇之前与相遇之后两种情况，利用两点间的距离公式结合 BC=1，得出关于 t 的的一元一次方程，解之即可得出结论； 【详解】（1）∵AB=2，点 A 在数轴上表示的数是-12，∴点 B 在数轴上表示的数是-12+2=-10； ∵CD=1，点 D 在数轴上表示的数是 15，∴点 C 在数轴上表示的数是 15-1=14．∴BC=14-（-10）=24． 故答案为：-10，14，24； （2）设运动时间为 a 秒时 B、C 相遇， 此时点 B 在数轴上表示的数为-10+a，点 C 在数轴上表示的数为 14-2a ∵B、C 重合，∴-10+a=14-2a，解得 a=8 此时点 B 与点 C 在数轴上表示的数是-10+a=-10+8=-2；故答案为：-2 (3)当运动时间为 t 秒时，点 B 在数轴上表示的数为-10+t，点 C 在数轴上表示的数为 14-2t ∴BC= 10  t  (14  2t ) = 3t  24 ∵BC=1，∴ 3t  24 =1，∴t1= 23 23 25 25 ，t2= ，综上所述：当 BC=1 时，t= 或 ； 3 3 3 3 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，两点间的距离，数轴等知识，解题的关键是：根据点与点之间 的位置关系求出点 B、C 在数轴上表示的数． 【变式训练 2】如图，A，B 两点在数轴上对应的数分别为 a，b，且点 A 在点 B 的左侧，|a|＝10，a＋b＝ 60，ab＜0． （1）求出 a，b 的值； （2）现有一只蚂蚁 P 从点 A 出发，以每秒 4 个单位长度的速度向右运动，同时另一只蚂蚁 Q 从点 B 出发， 以每秒 2 个单位长度的速度向右运动． ①两只蚂蚁经过多长时间相遇？ ②设两只蚂蚁在数轴上的点 C 处相遇，求点 C 对应的数； ③经过多长时间，两只蚂蚁在数轴上相距 30 个单位长度？ 【答案】（1）a＝﹣10，b＝70； （2）①两只蚂蚁经过 40 秒长时间相遇；②点 C 对应的数为 150；③经过 25 秒或 55 秒长时间，两只蚂蚁在数轴上相距 30 个单位长度． 【分析】（1）根据两个数乘积小于 0 说明两数异号即可求解； （2）①根据相遇问题列一元一次方程即可求解； ②根据路程=速度×时间，列出算式计算即可求解； ③分两种情况讨论：相遇前相距和相遇后相距 30 个单位长度列一元一次方程即可求解． 【详解】解：（1）∵|a|＝10，∴a＝10 或﹣10， ∵ab＜0，∴a，b 异号， ∵a＋b＝60，当 a＝10 时，b＝50，不合题意，舍去．当 a＝﹣10 时，b＝70，符合题意． 答：a＝﹣10，b＝70． （2）①设 Q 从 B 出发 t 秒与 P 相遇．根据题意得 4t﹣2t＝80，解得 t＝40． 故两只蚂蚁经过 40 秒长时间相遇； ②设两只蚂蚁在数轴上的点 C 处相遇，则点 C 对应的数为 70+40×2＝150； ③根据题意，得相遇前：4t﹣2t＝80﹣30，解得 t＝25； 相遇后：4t﹣2t＝80+30，解得 t＝55． 故经过 25 秒或 55 秒长时间，两只蚂蚁在数轴上相距 30 个单位长度． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用、数轴以及绝对值的非负性，解题的关键是：（1）利用绝对值的 非负性，求出 a，b 的值； （2）找准等量关系，分情况讨论相遇前后的距离变化正确列出一元一次方程． 【变式训练 3】在数轴上，点 A 表示的数为 a，点 B 表示的数为 b，且|a+2|+（b﹣3）2＝0． （1）a＝ ，b＝ ； （2）在（1）的条件下，点 A 以每秒 0.5 个单位长度沿数轴向左移动，点 B 以每秒 1 个单位长度沿数轴向右 移动，两点同时移动，当点 A 运动到﹣4 所在的点处时，求 A、B 两点间距离； （3）在（2）的条件下，现 A 点静止不动，B 点沿数轴向左运动时，经过多长时间 A、B 两点相距 3 个单位 长度？ 【答案】（1） 2, 3 ； （2）11；（3）经过 8 或 14 时，A、B 两点相距 3 个单位长度 【分析】（1）利用非负性即可求解； （2）设 t 秒时，点 A 运动到 4 ，求出所需时间 t  4 ，4 秒后，点 B 运动到 3  4 1  7 ，即求出两点间距离； （3）分两种情况进行讨论，即点 B 需要运动到 1 或 7 处． 【详解】解：（1）根据绝对值与平方的非负性得， a  2  0, b  3  0 ， a  2, b  3 ，故答案是： 2, 3 ； （2）设 t 秒时，点 A 运动到 4 ，则 2  0.5t  4 ，解得： t  4 ， 4 秒后，点 B 运动到 3  4 1  7 ， 7  (4)  11 ，即 A, B 两点间的距离为 11 ； （3） A, B 分别位于 4, 7 ，要使 A、B 两点相距 3 个单位长度，则点 B 需要运动到 1 或 7 处， 设经过 t 秒，当 7  t  1 ，解得： t  8 ，当 7  t  7 ，解得： t  14 ，  经过 8 或 14 秒，A、B 两点相距 3 个单位长度． 【点睛】本题考查了绝对值和完全平方公式的非负性、数轴上的动点问题、数轴上两点间的距离问题，解 题的关键是利用数形结合的思想进行解答． 类型二、求距离或对应点 例.如图所示，在数轴上点 A 表示的数是 4，点 B 位于点 A 的左侧，与点 A 的距离是 10 个单位长度． （1）点 B 表示的数是 ，并在数轴上将点 B 表示出来． （2）动点 P 从点 B 出发，沿着数轴的正方向以每秒 2 个单位长度的速度运动．经过多少秒点 P 与点 A 的距 离是 2 个单位长度？ （3）在（2）的条件下，点 P 出发的同时，点 Q 也从点 A 出发，沿着数轴的负方向，以 1 个单位每秒的速 度运动．经过多少秒，点 Q 到点 B 的距离是点 P 到点 A 的距离的 2 倍？ 【答案】 （1）-6，见解析； （2）经过 4 秒或 6 秒点 P 与点 A 的距离是 2 个单位长度； （3）经过 10