专题 09 几何中的动角问题 类型一、判断角的数量关系 例.直线 AB、CD 相交于点 O，∠EOF 在∠AOD 的内部． （1）如图 1，当∠AOD＝150°，∠EOF＝30°时，求∠AOF 与∠EOD 的度数和； （2）在（1）的条件下，请直接写出图中与∠BOC 互补的角； （3）如图 2，若射线 OM 平分∠AOD（OM 在∠EOD 内部），且满足∠EOD＝2∠FOM，请判断∠AOF 与∠EOF 的大小关系并说明理由． 【答案】（1）120°； （2）∠BOD、∠AOC、∠EOF；（3）∠AOF＝∠EOF，见解析 【解析】（1）∵∠DOE+∠EOF+∠AOF＝∠AOD＝150°且∠EOF＝30°， ∴∠DOE+∠AOF＝∠150°﹣30°＝120°； （2）根据补角的定义可知图中与∠BOC 互补的角有∠BOD、∠AOC、∠EOF； （3）∠AOF＝∠EOF，理由如下： ∵OM 平分∠AOD，∴∠DOM＝∠AOM， ∴∠AOF＝∠AOM﹣∠FOM＝∠DOM﹣∠FOM＝∠EOD﹣∠MOE﹣∠FOM＝2∠FOM﹣∠MOE﹣∠FOM ＝∠FOM﹣∠MOE＝∠EOF， ∴∠AOF＝∠EOF． 故答案为： （1）120°；（2）∠BOD、∠AOC、∠EOF；（3）∠AOF＝∠EOF，见解析 【变式训练 1】如图①，O 是直线 AB 上的一点， COD 是直角， OE 平分 BOC ． （1）若 AOC  30 ，则 BOD  ____________°， DOE  ____________°； （2）将图①中的 COD 绕顶点 O 顺时针旋转至图②的位置，其他条件不变，若 AOC   ，求 DOE 的度数（用含  的式子表示）； （3）将图①中的 COD 绕顶点 O 顺时针旋转至图③的位置，其他条件不变，直接写出 AOC 和 DOE 的度数之间的关系：__________________．（不用证明） 【答案】（1）60°，15°；（2）∠DOE   ； （3）∠AOC=360°-2∠DOE． 2 【解析】（1）∵ AOC  30 ，∴∠BOC=180°-∠AOC=150°， ∵OE 平分∠BOC，∴∠COE= 1 1 ∠BOC= ×150°=75°， 2 2 又∵∠COD 是直角，∴∠BOD=90°-∠AOC=60°，∠DOE=∠COD-∠COE=90°-75°=15°， 故答案为：60°，15°； （2）∵ AOC   ，∴∠BOC=180°-∠AOC=180°-α， ∵OE 平分∠BOC，∴∠COE= 1  ∠BOC= 90  ， 2 2 又∵∠COD 是直角，∴∠DOE=∠COD-∠COE= 90  (90    ) ； 2 2 （3）∠AOC=360°-2∠DOE； 理由：∵OE 平分∠BOC，∴∠BOE=∠COE， 则得∠AOC=180°-∠BOC=180°-2∠COE=180°-2（∠DOE-90°），所以得：∠AOC=360°-2∠DOE； 故答案为：∠AOC=360°-2∠DOE． 【变式训练 2】如图所示，O 是直线 AB 上的一点， COD 是直角， OE 平分 BOC ． （1）如图①，若 AOC  28 ，求 DOE 的度数； （2）在图①，若 AOC   ，直接写出 DOE 的度数_________（用含 a 的代数式表示）； （3）将图①中的 COD 绕顶点 O 顺时针旋转至图②的位置． ①探究 AOC 和 DOE 的度数之间的关系，写出你的结论，并说明理由； ②在 AOC 的内部有一条射线 OF ，满足 AOC  4AOF  2BOE  AOF ，试确定 AOF 与 DOE 的度数之间的关系，说明理由． 【答案】（1）14°；（2） 5  ；（3）①∠AOC＝2∠DOE；（2）2∠DOE− ∠AOF＝90° 2 2 【解析】（1）∵∠COD 是直角，OE 平分∠BOC，∠AOC＝28°， ∴∠BOC＝180°−∠AOC＝152°，∠COE＝ 1 ∠BOC，∠COD＝90°． 2 ∴∠COE＝76°，∠DOE＝∠COD−∠COE＝90°−76°＝14°．即∠DOE＝14°； （2）∵∠COD 是直角，OE 平分∠BOC，∠AOC＝a， ∴∠DOE＝90°− 180     ＝ ．故答案是： ； 2 2 2 （3）①∠AOC＝2∠DOE．理由： ∵OE 平分∠BOC，∴∠BOC＝2∠COE． ∵∠COD 是直角，∠AOC＋∠BOC＝180°， ∴∠DOE＋∠COE＝90°，∠AOC＋2∠COE＝180°． ∴∠AOC＋2（90°−∠DOE）＝180°．化简，得∠AOC＝2∠DOE； ②2∠DOE− 5 ∠AOF＝90°． 2 理由：∵ AOC  4AOF  2BOE  AOF ， 1 （∠AOC−∠AOF）， 2 1 1 ∴2∠AOF＋∠BOE＝ ∠AOC− ∠AOF． 2 2 ∴2∠AOF＋∠BOE＝ 又∵∠AOC＝2∠DOE，∴ 5 5 ∠AOF＝∠DOE−∠BOE，∴ ∠AOF＝∠DOB． 2 2 ∵∠DOB＋∠BOC＝90°，∠AOC＋∠BOC＝180°，∠AOC＝2∠DOE． 5 5 ∠AOF＋180°−∠AOC＝90°．∴ ∠AOF＋180°−2∠DOE＝90°． 2 2 5 化简，得 2∠DOE− ∠AOF＝90°． 2 ∴ 故答案为： （1）14°；（2）  5 ； （3）①∠AOC＝2∠DOE；（2）2∠DOE− ∠AOF＝90° 2 2 【变式训练 3】已知 O 为直线 AB 上的一点，∠COE＝90°，射线 OF 平分∠AOE． （1）在图 1 中，当∠COF＝36°时，则∠BOE＝ ∠COF 和∠BOE 之间的数量关系是 ，当∠COF＝m°时，则∠BOE＝ ；以此判断 ； （2）若将∠COE 绕点 O 旋转至图 2 的位置，试问（1）中∠COF 和∠BOE 之间的数量关系是否发生变化？若 不发生变化，请你加以证明；若发生变化，请你说明理由； （3）若将∠COE 绕点 O 旋转至图 3 的位置，继续探究∠COF 和∠BOE 之间的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）72°；2m°；∠BOE=2∠COF；（2）不发生变化，理由见解析；（3）∠BOE+2∠COF=360°，理由 见解析 【解析】（1）∵∠COE＝90°，∠COF＝36°， ∴∠EOF=90°-36°=54°， ∵OF 平分∠AOE，∴∠AOE=2∠EOF =108°， ∴∠BOE=180°-108°=72°；同理可求∠BOE=2m°； 由第一和第二空可知：∠BOE=2∠COF． 故答案为：72°；2m°；∠BOE=2∠COF； （2）∠BOE=2∠COF 不会变化，其证明过程是： 设∠AOC=x°，则∠AOE=(90-x)°， 1 1 ∠AOE=(45- x)°， 2 2 1 1 ∴∠COF=∠COE-∠EOF=90°-(45- x)°=(45+ x)°， 2 2 ∵OF 平分∠AOE，∴∠EOF=∠AOF= ∠BOE=180°-∠AOE=180°-(90-x)°=(90+x)°，∴∠BOE=2∠COF． （3）∠BOE+2∠COF=360°，其理由是： 设∠AOC=x°，则∠AOE=∠AOC-∠COE=(x-90)°． 1 1 ∠AOE=( x-45)°， 2 2 1 1 ∴∠COF=∠AOC-∠AOF=x°-( x-45)°=( x+45)°，∠BOE=180°-∠AOE=180°-(x-90)°=(270-x)°， 2 2 1 ∴∠BOE+2∠COF=(270°-x)°+2( x+45)°=360°． 2 ∵OF 平分∠AOE，∴∠AOF=∠EOF= 故答案为： （1）72°；2m°；∠BOE=2∠COF； （2）不发生变化，理由见解析；（3）∠BOE+2∠COF=360° 类型二、求值问题 例.如图 1， O 为直线 AB 上一点，过点 O 作射线 OC ， AOC  30 ，将一直角三角板（ M  30 ）的 直角顶点放在点 O 处，一边 ON 在射线 OA 上，另一边 OM 与 OC 都在直线 AB 的上方． （注：本题旋转角 度最多 180 ．） （1）将图 1 中的三角板绕点 O 以每秒 3 的速度沿顺时针方向旋转．如图 2，经过 t 秒后，AON  ______ 度（用含 t 的式子表示），若 OM 恰好平分 BOC ，则 t  ______秒（直接写结果） ． （2）在（1）问的基础上，若三角板在转动的同时，射线 OC 也绕 O 点以每秒 6 的速度沿顺时针方向旋转， 如图 3，经过 t 秒后， AOC  ______度（用含 t 的式子表示）若 OC 平分 MON ，求 t 为多少秒？ （3）若（2）问的条件不变，那么经过秒 OC 平分 BOM ？（直接写结果） 【答案】（1） 3t ，5；（2） 30  6t ， 5 ；（3）经过 70 秒 OC 平分 BOM 3 【解析】（1） AON  3t ，∵ AOC  30 ，∴ BOC  150 ∵ OM 平分 BOC ， MON  90 ，∴ COM  75° ，∴ CON  15 ∴ AON  AOC  CON  30°  15° 15°，解得： t  15° 3° 5 秒 （2） AOC   30  6t  度 ∵ MON  90 ， OC 平分 MON ，∴ CON  COM  45° ∴ AOC  AON  CON  45° ，∴ 30  6t  3t  45 解得： t  5 秒 （3）如图： ∵ AON  BOM  90° ， BOC  COM 1  90° 3t  2 1 70 ∵ BOC  AOC  180 ，  30  6t    90  3t   180 ，解得： t  秒 2 3  6t  ，∴ COM  BOC  由题可设 AON 为 3t ， AOC 为  30° 答：经过 70 秒 OC 平分 BOM 3 ． 【变式训练 1】在同一平面内已知∠AOB＝150°，∠COD＝90°，OE 平分∠BOD． （1）当∠COD 的位置如图 1 所示时，且∠EOC＝35°，求∠AOD 的度数； （2）当∠COD 的位置如图 2 所示时，作∠AOC 的角平分线 OF，求∠EOF