专题 08 与线段有关的动点问题 类型一、求值问题 例.如图，点 C 在线段 AB 上，图中有三条线段 AB 、 AC 和 BC ，若其中一条线段的长度是另一条线段长 的 2 倍，则称点 C 是线段 AB 的“巧点”， 若已知线段 AB  20 ，点 C 是线段 AB 的“巧点”，则 AC =__________． 【答案】 20 40 或 或 10 3 3 【解析】当点 C 是线段 AB 的“巧点”时，可能有 BC  2 AC 、 AC  2 BC 、 A B  2 A C  2 B C 三种情况， 1 1 20 AB   20  ， 3 3 3 2 2 40 ② AC  2 BC 时， AC  AB   20  ， 3 3 3 1 1 ③ A B  2 A C  2 B C 时， AC  AB   20  10 ． 2 2 20 40 故答案为： ， 或 10． 3 3 ① BC  2 AC 时， AC  【变式训练 1】如图 1，点 C 在线段 AB 上，图中共有三条线段 AB，AC 和 BC，若其中有一条线段的长度是 另外一条线段长度的 2 倍，则称点 C 是线段 AB 的“巧点”． （1）线段的中点__这条线段的“巧点”；（填“是”或“不是”）； （2）如图 2，已知 AB＝15cm．动点 P 从点 A 出发，以 2cm/s 的速度沿 AB 向点 B 匀速运动；点 Q 从点 B 出 发，以 1cm/s 的速度沿 BA 向点 A 匀速运动，点 P，Q 同时出发，当其中一点到达终点时，运动停止．设移 动的时间为 t（s） ，当 t＝__s 时，Q 为 A，P 的“巧点”． 【答案】是 7.5 或 45 7 【解析】（1）若线段中点为 C 点，AB＝2AC，所以中点是这条线段“巧点” （2）设 A 点为数轴原点，作数轴，设运动时间为 t 秒；t 最大＝7.5，A：0，P：0+2t＝2t，Q：15﹣t， ①Q 为 AP 中点， 15  t  2t  0 ，∴t＝7.5； 2 ②AQ＝2PQ，AQ＝15﹣t﹣0＝15﹣t，PQ＝2t﹣（15﹣t）＝3t﹣15， ∵AQ＝2PQ，∴15﹣t＝2（3t﹣15），∴ t  45 ； 7 ③PQ＝2AQ，得 3t﹣15＝2（15﹣t），∴t＝9  7.5（舍去）．综上所述：t＝7.5 或 故答案为： （1）是；（2）7.5 或 45 ． 7 45 ． 7 【变式训练 2】如图，数轴上有两点 A, B ，点 C 从原点 O 出发，以每秒 1cm 的速度在线段 OA 上运动，点 D 从点 B 出发，以每秒 4cm 的速度在线段 OB 上运动．在运动过程中满足 OD  4 AC ，若点 M 为直线 OA 上一点，且 AM  BM  OM ，则 【答案】1 或 AB 的值为_______． OM 5 3 【解析】设运动的时间为 t 秒，点 M 表示的数为 m 则 OC=t，BD=4t，即点 C 在数轴上表示的数为-t，点 D 在数轴上表示的数为 b-4t， ∴AC=-t-a，OD=b-4t， 由 OD=4AC 得，b-4t=4（-t-a），即：b=-4a， ①若点 M 在点 B 的右侧时，如图 1 所示： 由 AM-BM=OM 得，m-a-（m-b）=m，即：m=b-a； ∴ AB b  a m =  1 OM m m ②若点 M 在线段 BO 上时，如图 2 所示： 由 AM-BM=OM 得，m-a-（b-m）=m，即：m=a+b； ∴ AB b  a b  a 4a  a 5 =    OM m a  b a  4a 3 ③若点 M 在线段 OA 上时，如图 3 所示： 由 AM-BM=OM 得，m-a-（b-m）=-m，即： m  a  b a  4a   a 3 3 ∵此时 m＜0，a＜0，∴此种情况不符合题意舍去； ④若点 M 在点 A 的左侧时，如图 4 所示： 由 AM-BM=OM 得，a-m-（b-m）=-m，即：m=b-a=-5a；而 m＜0，b-a＞0， 因此，不符合题意舍去， 综上所述， AB 5 的值为 1 或 ． OM 3 类型二、证明定值问题 例.如图，已知线段 AB  m ， CD  n ，线段 CD 在直线 AB 上运动（点 A 在点 B 的左侧，点 C 在点 D 的左 侧），若 m  12   6  n   0 ． 2 （1）求线段 AB ， CD 的长； （2）若点 M ， N 分别为线段 AC ， BD 的中点， BC  4 ，求线段 MN 的长； （3）当 CD 运动到某一时刻时，点 D 与点 B 重合，点 P 是线段 AB 的延长线上任意一点，下列两个结论： ① PA  PB PA  PB 是定值，② 是定值，请选择你认为正确的一个并加以说明． PC PC 【答案】（1） AB  12 ， CD  6 ；（2）9；（3）②正确， PA  PB  2 ，见解析 PC 【解析】（1）由 m  12   6  n   0 ， m  12  0，  6  n   0 ， m  12=0，6  n=0 ， 2 得 m  12 ， n  6 ，所以 AB  12 ， CD  6 ； （2）当点 C 在点 B 的右侧时，如图， 因为点 M ， N 分别为线段 AC ， BD 的中点， BC  4 ， 2 所以 AM  1 1 1 1 1 1 AC   AB  BC    12  4   8 ， DN  BD   CD  BC    6  4   5 ， 2 2 2 2 2 2 又因为 AD  AB  BC  CD  12  4  6  22 ， 所以 MN  AD  AM  DN  22  8  5  9 ， 当点 C 在点 B 的左侧时，如图， 因为点 M ， N 分别为线段 AC ， BD 的中点， 1 1 1 AC   AB  BC   12  4   4 ， 2 2 2 1 1 1 BN  ND  BD   CD  BC    6  4   1 ， 2 2 2 所以 AM  MC  所以 AD  AB  CD  BC  12  6  4  14 所以 MN  AD  AM  DN  14  4  1  9 ． 综上，线段 MN 的长为 9； （3）②正确，且 PA  PB  2 ．理由如下： PC 因为点 D 与点 B 重合，所以 BC  DC ， 所以 AC  AB  BC  AB  DC  6 ，所以 AC  BC ， 所以 PA  PB  PC  AC    PC  BC  2PC  AC  BC 2PC     2． PC PC PC PC 【变式训练 1】已知线段 AB＝m，CD＝n，线段 CD 在直线 AB 上运动（A 在 B 的左侧，C 在 D 的左侧），且 m，n 满足|m－12|＋（n－4）2＝0. （1）m＝ ，n＝ ； （2）点 D 与点 B 重合时，线段 CD 以 2 个单位长度/秒的速度向左运动． ①如图 1，点 C 在线段 AB 上，若 M 是线段 AC 的中点，N 是线段 BD 的中点，求线段 MN 的长； ②P 是直线 AB 上 A 点左侧一点，线段 CD 运动的同时，点 F 从点 P 出发以 3 个单位/秒的向右运动，点 E 是 线段 BC 的中点，若点 F 与点 C 相遇 1 秒后与点 E 相遇．试探索整个运动过程中，FC－5DE 是否为定值，若 是，请求出该定值；若不是，请说明理由． 【解析】（1）∵|m－12|＋（n－4）2＝0，∴m－12=0，n－4=0，∴m=12，n=4；故答案为：12；4． （2）由题意，①∵AB=12，CD=4， 1 1 AC ，DN=BN= BD 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ∴MN=CM+CD+DN= AC +CD+ BD= AC + CD+ BD+ CD= (AC +CD+BD)+ CD= (AB +CD)=8； 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ∵M 是线段 AC 的中点，N 是线段 BD 的中点，∴AM=CM= ②如图，设 PA=a，则 PC=8+a，PE=10+a， 依题意有： a +8 a + 10 +1 = ，解得：a=2，在整个运动的过程中：BD=2t，BC=4+2t， 3+2 3 +1 ∵E 是线段 BC 的中点，∴CE= BE= 1 BC=2+t； 2 Ⅰ．如图 1，F，C 相遇，即 t=2 时 F，C 重合，D，E 重合，则 FC=0，DE=0，∴FC-5 DE =0； Ⅱ．如图 2，F，C 相遇前，即 t<2 时 FC =10-5t，DE =BE-BD=2+t-2t=2-t，∴FC-5 DE =10-5t -5（2-t）=0； Ⅲ．如图 3，F，C 相遇后，即 t＞2 时 FC =5t-10，DE = BD - BE=2t –(2+t)= t-2，∴FC-5 DE =5t-10 -5（t-2）=0； 综合上述：在整个运动的过程中，FC - 5 DE 的值为定值，且定值为 0． 【变式训练 2】如图，B 是线段 AD 上一动点，沿 A→D→A 以 2cm/s 的速度往返运动 1 次，C 是线段 BD 的中 点， AD  10cm ，设点 B 运动时间为 t 秒（ 0  t  10 ）． （1）当 t  2 时，① AB  ________cm， ②此时线段 CD 的长度=_______cm； （2）用含有 t 的代数式表示运动过程中 AB 的长； （3）在运动过程中，若 AB 中点为 E，则 EC 的长度是否变化？若不变，求出 EC 的长；若变化，请说明理由． 【答案】 （1）①4；②3； （2） AB  2tcm  0  t  5 ， AB   20  2t  cm  5  t  10  ； （3）不变，EC  5 ． 【解析】（1）①当 t  2 时， AB  2  2  4 （cm）， ②此时， BD  10  4  6 （cm） ，∵C 是线段 BD 的中点，则 CD  3cm ； （2）①∵B 是线段 AD 上一动点，沿 A→D→A 以 2cm/s 的速度往返运动， ∴当 0  t  5 时， AB  2