专题 01 绝对值的化简 绝对值版块的内容在我们这学期比重较大，尤其是绝对值的化简。并且，在压轴题中，常见的题型是 利用数轴化简绝对值和利用其几何意义化简绝对值，本专题就这两块难点详细做出分析。 【知识点梳理】 1.绝对值的定义 一般地，数轴上表示数 a 的点与原点的距离叫做数 a 的绝对值， 记作|a| 2.绝对值的意义 ①代数意义：正数的绝对值是它本身；负数的绝对值是它的相反数；0 的绝对值是 0； ②几何意义：一个数的绝对值就是表示这个数的点到原点的距离，离原点的距离越远，绝对值越大；离 原点的距离越近，绝对值越小。 a 3.绝对值的化简： | a |   0  a  ( a  0) (a  0) ( a  0) 类型一、利用数轴化简绝对值 例 1．在数轴上表示 a，0，1，b 四个数的点如图所示，已知 OA＝OB，求|a+b|+ a +|a-1|的值． b 例 2．若用 A、B、C 分别表示有理数 a、b、c，0 为原点如图所示．已知 a＜c＜0，b>0． （1）化简|a-c|+|b-a|-|c-a|； （2）|-a+b|-|-c-b|+|-a+c| 【变式训练 1】有理数 a ， b ， c 在数轴上的位置如图所示，且 a  b ． （1）填空： ac ______ 0 ； a  b ______ 0 ．（用“  ”或“  ”或“  ”填空） （2）化简代数式： a  c  a  b  b  2a ． 【变式训练 2】有理数 a、b、c 在数轴上的位置如图． （1）判断正负，用“>”或“<”填空： b  c 0，ab 0 ， a  c （2）化简： | b  c |  | a  b | ∣ a  c| 【变式训练 3】有理数 a ， b 在数轴上的对应点如图所示： （1）填空： b  a ______0； b  1 ______0； a  1 ______0；（填“＜”、“＞”或“＝”） （2）化简： b  a  b  1  a  1 0． 类型二、利用几何意义化简绝对值 例 1.同学们都知道，|5-（-2）|表示 5 与-2 之差的绝对值，实际上也可理解为 5 与-2 两数在数轴上所对的两 点之间的距离．试探索 （1）求|5-（-2）|=________； （2）同样道理|x+1008|=|x-1005|表示数轴上有理数 x 所对点到-1008 和 1005 所对的两点距离相等，则 x=________； （3）类似的|x+5|+|x-2|表示数轴上有理数 x 所对点到-5 和 2 所对的两点距离之和，请你找出所有符合条件 的整数 x，使得|x+5|+|x-2|=7，这样的整数是__________． （4）由以上探索猜想对于任何有理数 x，|x-3|+|x-6|是否有最小值？如果有，写出最小值；如果没有，说 明理由． 【变式训练 1】数学实验室： 点 A、B 在数轴上分别表示有理数 a，b，A、B 两点之间的距离表示为 AB，在数轴上 A、B 两点之间的距离 AB = a - b ． 利用数形结合思想回答下列问题： （1）数轴上表示 2 和 6 两点之间的距离是_______；数轴上表示 1 和 4 的两点之间的距离是_______． （2）数轴上表示 x 和 6 的两点之间的距离表示为_______；数轴上表示 x 和 3 的两点之间的距离表示为 _______． （3）若 x 表示一个有理数，则 | x  1|  | x  4 | 的最小值  ________． （4）若 x 表示一个有理数，且 | x  1|  | x  3 | 4 ，则满足条件的所有整数 x 的和为________． （5）若 x 表示一个有理数，当 x 为______，式子 | x  2 |  | x  3 |  | x  4 | 有最小值为________． 【变式训练 2】结合数轴与绝对值的知识回答下列问题： （1）数轴上表示 4 和 1 的两点之间的距离是 ；数轴上表示﹣3 和 2 两点之间的距离是 ；一般地， 数轴上表示数 m 和数 n 的两点之间的距离可以表示为|m﹣n|．那么，数轴上表示数 x 与 5 两点之间的距离 可以表示为 ，表示数 y 与﹣1 两点之间的距离可以表示为 （2）如果表示数 a 和﹣2 的两点之间的距离是 3，那么 a＝ ． ；若数轴上表示数 a 的点位于﹣4 与 2 之间，求|a+4|+|a﹣2|的值； （3）当 a＝ 时，|a+5|+|a﹣1|+|a﹣4|的值最小，最小值是 ． 课后训练 1．有理数 a、b、c 在数轴上位置如图，求 | a  b |  | b  c |  | 2b  a | ． 2．已知实数 a，b，c 在数轴上对应点如图所示，化简：|a|-|a-b|+|c-b|+|b-c|． 3．有理数 a、b、c 在数轴上的位置如图，化简求  b  b  a  c 的值． 4．如图，数轴上有点 a，b，c 三点． （1）用“＜”将 a，b，c 连接起来． （2）c－b_____0， c－a______0（填“＜”“＞”，“＝”） ； （3）化简|c－b|－|c－a|＋|a－1|． 5．（问题提出） a  1  a  2  a  3      a  2021 的最小值是多少？ （阅读理解） 为了解决这个问题，我们先从最简单的情况入手． a 的几何意义是 a 这个数在数轴上对应的点到原点的距 离，那么 a  1 可以看作 a 这个数在数轴上对应的点到 1 的距离； a  1  a  2 就可以看作 a 这个数在数轴上 对应的点到 1 和 2 两个点的距离之和．下面我们结合数轴研究 a  1  a  2 的最小值． 我们先看 a 表示的点可能的 3 种情况，如图所示： （1）如图①， a 在 1 的左边，从图中很明显可以看出 a 到 1 和 2 的距离之和大于 1． （2）如图②， a 在 1，2 之间（包括在 1，2 上） ，看出 a 到 1 和 2 的距离之和等于 1． （3）如图③， a 在 2 的右边，从图中很明显可以看出 a 到 1 和 2 的距离之和大于 1．因此，我们可以得出 结论：当 a 在 1，2 之间（包括在 1，2 上）时， a  1  a  2 有最小值 1． （问题解决） （1） a  4  a  7 的几何意义是 ，请你结合数轴探究： a  4  a  7 的最小值是 ，由此可以得出 a 为 （2）请你结合图④探究 a  1  a  2  a  3 的最小值是 （3） a  1  a  2  a  3  a  4  a  5 的最小值为 （4） a  1  a  2  a  3      a  2021 的最小值为 ． ． （拓展应用） 如图，已知 a 使到-1，2 的距离之和小于 4，请直接写出 a 的取值范围是 ． ． ．