专题 05 整式中的规律探索问题 类型一、数字类规律探索 例.a 是不为 1 的有理数，我们把 1 1 1 1  ，  -1 ，－1 的差倒数为 称为 a 的差倒数，如 2 的差倒数为 1  (1) 2 1-a 1-2 已知 a1  5 ， a2 是 a1 差倒数， a3 是 a2 差倒数， a4 是 a3 差倒数，以此类推……， a2021 的值是（ A．5 B．  1 4 C． 4 3 D． ） 4 5 【变式训练 1】阅读解答： （1）填空： 21  2 0  _____  2 ( ) ； 2 2  21  _____  2 ( ) ； 23  2 2  _____  2 ( ) …… （2）探索（1）中式子的规律，试写出第 n 个等式_________； （3）根据上述规律，计算： 20  21  2 2  23  2 4    2 2021 ． 【变式训练 2】有 2021 个数排成一行，对于任意相邻的三个数，都有中间数等于前后两数的和，如果第一 个数是 0，第二个数是 1， 那么前 6 个数的和是______， 这 2021 个数的和是______． 【变式训练 3】已知整数 a1 ， a2 ，…， an （n 为正整数）满足 a1  0 ， a2   a1  1 ， a3   | a2  2 | ， a4   a3  3 ，…，以此类推，则 a2021 =__________． 类型二、图形类规律探索 例.观察下列一组图形中点的个数，其中第 1 个图形中共有 4 个点，第 2 个图形中共有 10 个点，第 3 个图形 中共有 19 个点，… 解答下面的问题： （1）按此规律第 6 个图形中共有点的个数是_______． （2）若 n 个图形中共有 166 个点，求 n 的值． 【变式训练 1】将黑色圆点按如图所示的规律进行排列，图中黑色圆点的个数依次为：1，3，6，10，……， 将其中所有能被 3 整除的数按从小到大的顺序重新排列成一组新数据，则新数据中的第 33 个数为 ___________． 【变式训练 2】如图，是用棋子摆成的图案，摆第 1 个图案需要 7 枚棋子，摆第 2 个图案需要 19 枚棋子， 摆第 3 个图案需要 37 枚棋子，按照这样的方式摆下去，摆第 n 个图案需要_______________枚棋子． 【变式训练 3】如图是某广场用地板铺设的部分图案，中央是一块正六边形的地板砖，周围是正三角形和正 方形的地板砖．从里向外的第 1 层包括 6 个正方形和 6 个正三角形，第 2 层包括 6 个正方形和 18 个正三角 形，依此递推，第 10 层中含有正三角形个数为___个，第 n 层含有正三角形个数为___个． 【变式训练 4】观察下列图形： 它们是按一定规律排列的，依照此规律，用 6064 个五角星摆出的图案应该是第_______个图形． 课后训练 1．下列图形都是由同样大小的黑色正方形纸片组成，其中第 1 个图有 3 张黑色正方形纸片，第 2 个图有 5 张黑色正方形纸片，第 3 个图有 7 张黑色正方形纸片，…，按此规律排列下去，若第 n 个图中有 201 张黑色 正方形纸片，则 n 的值为（ A．99 ） B．100 C．101 D．102 2．计算： 21  1  1 ， 22  1  3 ， 23  1  7 ， 2 4  1  15 ， 25  1  31 ，…归纳各计算结果中各位数字的规律， 猜测 2 2021 1 的个位数字是______． 3．如图，按此规律，第 6 行最后一个数字是_____，第_____行最后一个数是 2020． 4．如图，每个图形中的三个数之间均具有相同的规律．根据此规律，若图形中 m  11 ， n  12 ，则 M 的值 为________． 5．一张长方形桌子需配 6 把椅子，按如图方式将桌子拼在一起，那么 5 张桌子需配椅子____把． 6．今年“10.1”黄金周，适逢祖国 70 大庆，广西柳州赛长桌宴，民族风情浓郁，吸引了大量游客如果长桌宴 按下图方式就坐（其中□代表桌子，〇代表座位），则拼接 n（n 为正整数）张桌子时，最多可就坐_____人． 7．在日历上，我们可以发现其中某些数满足一定的规律，如图是 2012 年 8 月份的日历．我们任意选择其 中所示的方框部分，将每个方框部分中 4 个位置上的数交又相乘，再相减，例如： 7  13  6  14  7 ， 17  23  16  24  7 ，不难发现，结果都是 7． 2012 年 8 月 日 一 二 三 四 五 六 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 26 27 28 29 30 31 25 （1）请你再选择两个类似的部分试一试，看看是否符合这个规律； （2）换一个月的月历试一下，是否有同样的规律？ （3）请你利用整式的运算对以上的规律加以证明． 8．（1）你知道下面每一个图形中各有多少个小圆圈吗？第 5 个图形中应该有多少个小圆圈？为什么？ （2）完成下表： 边上的小圆圈数 1 2 3 4 5 每个图中小圆圈的总数 （3）如果用 n 表示六边形边上的小圆圈数，m 表示这个六边形中小圆圈的总数，那么 m 和 n 的关系是什么？