专题 02 数轴上的三种动点问题 数轴的动点问题，无论在平时练习，还是月考，期中期末考试中属于压轴题的版块，其过程复杂，情况 多变。那么，本专题对其中常考的三种题型（求时间、求距离或者对应点、定值问题）做出详细分析与梳 理。 【知识点梳理】 1.数轴上两点间的距离 数轴上 A、B 两点表示的数为分别为 a、b，则 A 与 B 间的距离 AB=|a－b|； 2.数轴上点移动规律 数轴上点向右移动则数变大（增加） ，向左移动数变小（减小）； 当数 a 表示的点向右移动 b 个单位长度后到达点表示的数为 a+b；向左移动 b 个单位长度后到达点表示的 数为 a－b. 类型一、求时间 例 1．如图在数轴上 A 点表示数 a，B 点表示数 b，a、b 满足|a+2|+|b﹣8|＝0 （1）点 A 表示的数为 ；点 B 表示的数为 ； （2）若在原点 O 处放一挡板，一小球甲从点 A 处以 1 个单位/秒的速度向左运动；同时另一小球乙从点 B 处以 2 个单位/秒的速度也向左运动，在碰到挡板后（忽略球的大小，可看作一点）以原来的速度向相反的 方向运动，设运动的时间为 t（秒） ， ①当 t＝1 时，甲小球到原点的距离＝ 点的距离＝ ；乙小球到原点的距离＝ ；乙小球到原点的距离＝ ；当 t＝5 时，甲小球到原 ； ②试探究：甲，乙两小球到原点的距离可能相等吗？若不能，请说明理由．若能，请直接写出甲，乙两小 球到原点的距离相等时经历的时间． 【变式训练 1】如图，有两条线段， AB  2 （单位长度）， CD  1 （单位长度）在数轴上，点 A 在数轴上表 示的数是-12，点 D 在数轴上表示的数是 15． （1）点 B 在数轴上表示的数是______，点 C 在数轴上表示的数是______，线段 BC 的长=______； （2）若线段 AB 以 1 个单位长度秒的速度向右匀速运动，同时线段 CD 以 2 个单位长度秒的速度向左匀速运 动．当点 B 与 C 重合时，点 B 与点 C 在数轴上表示的数是多少？ （3）若线段 AB 以 1 个单位长度秒的速度向左匀速运动，同时线段 CD 以 2 个单位长度/秒的速度也向左匀 速运动．设运动时间为 t 秒，当 t 为何值时，点 B 与点 C 之间的距离为 1 个单位长度？ 【变式训练 2】如图，A，B 两点在数轴上对应的数分别为 a，b，且点 A 在点 B 的左侧，|a|＝10，a＋b＝ 60，ab＜0． （1）求出 a，b 的值； （2）现有一只蚂蚁 P 从点 A 出发，以每秒 4 个单位长度的速度向右运动，同时另一只蚂蚁 Q 从点 B 出发， 以每秒 2 个单位长度的速度向右运动． ①两只蚂蚁经过多长时间相遇？ ②设两只蚂蚁在数轴上的点 C 处相遇，求点 C 对应的数； ③经过多长时间，两只蚂蚁在数轴上相距 30 个单位长度？ 【变式训练 3】在数轴上，点 A 表示的数为 a，点 B 表示的数为 b，且|a+2|+（b﹣3）2＝0． （1）a＝ ，b＝ ； （2）在（1）的条件下，点 A 以每秒 0.5 个单位长度沿数轴向左移动，点 B 以每秒 1 个单位长度沿数轴向右 移动，两点同时移动，当点 A 运动到﹣4 所在的点处时，求 A、B 两点间距离； （3）在（2）的条件下，现 A 点静止不动，B 点沿数轴向左运动时，经过多长时间 A、B 两点相距 3 个单位 长度？ 类型二、求距离或对应点 例.如图所示，在数轴上点 A 表示的数是 4，点 B 位于点 A 的左侧，与点 A 的距离是 10 个单位长度． （1）点 B 表示的数是 ，并在数轴上将点 B 表示出来． （2）动点 P 从点 B 出发，沿着数轴的正方向以每秒 2 个单位长度的速度运动．经过多少秒点 P 与点 A 的距 离是 2 个单位长度？ （3）在（2）的条件下，点 P 出发的同时，点 Q 也从点 A 出发，沿着数轴的负方向，以 1 个单位每秒的速 度运动．经过多少秒，点 Q 到点 B 的距离是点 P 到点 A 的距离的 2 倍？ 【变式训练 1】（知识储备） （1）数轴上点 A 表示的数为 a，若向右移动 m 个长度单位后表示的数是 后表示的数是 ；若向左移动 n 个长度单位 ． （2）在数轴上 A 点表示数 a，B 点示数 b，A 在 B 的右边，A、B 两点间的距离等于 a-b． （解决问题） 已知数轴上两点 A、B 对应的数分别为﹣3、1，点 P 为数轴上一动点，其对应的数为 x． （1）若点 P 到点 A、点 B 的距离相等，求点 P 对应的数； （2）数轴上是否存在点 P，使点 P 到点 A、点 B 的距离之和为 10？若存在，请求出 x 的值；若不存在，说 明理由； （3）现在点 A、点 B 分别以 2 个单位长度/秒和 0.5 个单位长度/秒的速度同时向右运动，点 P 以 6 个单位 长度/秒的速度同时从原点向左运动．当点 A 与点 B 之间的距离为 3 个单位长度时，求点 P 所对应的数是多 少？ 【变式训练 2】我们知道，在数轴上，|a|表示数 a 表示的点到原点的距离，这是绝对值的几何意义．进一 步地，数轴上两个点 A、B，分别用 a，b 表示，那么 A、B 两点之间的距离为：AB＝|a﹣b|． 利用此结论，回答以下问题： （1）数轴上表示 1 和 4 的两点的距离是 （2）|a﹣1|＝2，则 a＝ ，数轴上表示﹣1 和﹣4 的两点之间的距离是 ，|a﹣1|+|a+3|＝6，则 a＝ ． ． （3）当|a﹣1|+|a+3|取最小值时，此时符合条件的非负整数 a 是 ． （4）如图，已知 A，B 分别为数轴上的两点，点 A 表示的数是﹣30，点 B 表示的数是 50； 现有一只蚂蚁 P 从点 B 出发，以每秒 3 个单位长度的速度沿数轴向左移动，同时另一只蚂蚁 Q 恰好从点 A 出发，以每秒 2 个单位长度的速度沿数轴向右移动，设 t 秒后两只蚂蚁相距 10 个单位长度，求此时点 P 表 示的数是多少？ 类型三、求定值 例.已知若数轴上点 A 、点 B 表示的数分别为 a, b ，则 AB ∣a  b∣，线段 AB 的中点表示的数为 ab ．如 2 图，数轴上点 A 表示的数为 2 ，点 B 表示的数为 8，点 P 从点 A 出发，以每秒 3 个单位长度的速度沿数轴 向右匀速运动，同时点 Q 从点 B 出发，以每秒 2 个单位长度的速度向左匀速运动．设运动时间为 t 秒 (t  0) ． （1）填空： ① A, B 两点间的距离 AB  ______，线段 AB 的中点表示的数为_____； ②用含 t 的代数式表示： t 秒后，点 P 表示的数为_______；点 Q 表示的数为______． （2）求当 t 为何值时， P, Q 两点相遇，并写出相遇点所表示的数． （3）若点 M 为 PA 的中点，点 N 为 PB 的中点，点 P 在运动过程中，线段 MN 的长度是否发生变化？若 变化，请说明理由；若不变，请求出线段 MN 的长． 【变式训练 1】如图，数轴上原点为 O，A，B 是数轴上的两点，点 A 对应的数是 a，点 B 对应的数是 b，且 2 a，b 满足 (a  2)  b  4 ＝0 ，动点 M，N 同时从 A，B 出发，分别以 1 个单位/秒和 3 个单位/秒的速度沿 着数轴正方向运动，设运动时间为 x 秒（x＞0）． （1）A、B 两点间的距离是 ；动点 M 对应的数是 （用含 x 的代数式表示） ；动点 N 对应的数是 ； （用含 x 的代数式表示） （2）几秒后，线段 OM 与线段 ON 恰好满足 3OM＝2ON？ （3）若 M，N 开始运动的同时，R 从﹣1 出发以 2 个单位/秒的速度沿着数轴正方向运动，当 R 与 M 不重合 时，求 MB  NB 的值． RM 【变式训练 2】已知：b 是最小的正整数，且 a、b 满足  c  5   a  b  0 ，请回答问题： 2 （1）请直接写出 a、b、c 的值：a= ，b= ，c= ． （2）在（1）的条件下数 a，b，c 分别在数轴上对应的点 A，C 有两只电子蚂蚁甲、乙分别从 A，C 两点同 时出发相向而行，甲的速度为 2 个单位/秒，乙的速度为 4 个单位/秒点，当两只电子蚂蚁在数轴上点 M 处 相遇时，求点 M 表示的数． （3）在（1）的条件下，点 a，b，c 分别对应点 A、B、C 开始在数轴上运动，若点 A 以每秒 1 个单位长度 的速度向左运动．同时，点 B 和点 C 分别以每秒 2 个单位长度和 5 个单位长度的速度向右运动，假设 t 秒钟 过后，若点 B 与点 C 之间的距离表示为 BC，点 A 与点 B 之间的距离表示为 AB．请问：BC-AB 的值是否随着 时间 t 的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值． 课后训练 1．数学实验室：点 A、B 在数轴上分别表示有理数 a、b，A、B 两点之间的距离表示为 AB，在数轴上 A、B 两点之间的距离 AB=|a﹣b|．利用数形结合思想回答下列问题： （1）数轴上表示 2 和 5 的两点之间的距离是_____，数轴上表示 1 和－3 的两点之间的距离是 （2）数轴上若点 A 表示的数是 x，点 B 表示的数是－2，若 AB＝2，那么 x 为 （3）当 x 是 ； ； 时，代数式 | x  2 |  | x  1| 5 ； （4）若点 A 表示的数－1，点 B 与点 A 的距离是 10，且点 B 在点 A 的右侧，动点 P、Q 同时从 A、B 出发沿 数轴正方向运动，点 P 的速度是每秒 3 个单位长度，点 Q 的速度是每秒 1 个单位长度，求运动几秒后，PQ ＝1？（请写出必要的求解过程） 2．已知数轴上 A、B 两点表示的数分别为 a，b，且 a，b 满足|a+20|+(b-13)2=0，点 C 表示的数为 16，点 D 表示的数为-7． （1）A，C 两点之间的距离为__________； （2）已知|m－n|可理解为数轴上表示数 m、n 的两点之间的距离． 若点 P 在数轴上表示的数为 x，则满足|x+2|+|x-3|=5 的所有的整数 x 的和为_______________；满足 |x+2|+|x-3|=9 的 x 值为______________． （3）点 A，B 从起始位置同时出发相向匀速运动，点 A 的速度为 6 个单位长度/秒，点 B 的速度为 2 个单位 长度/秒，当点 A 运动到点 C 时，迅速以原来的速度返回，到达出发点后，又折返向点 C 运动，点 B 运动至 点 D