专题 09 几何中的动角问题 类型一、判断角的数量关系 例.直线 AB、CD 相交于点 O，∠EOF 在∠AOD 的内部． （1）如图 1，当∠AOD＝150°，∠EOF＝30°时，求∠AOF 与∠EOD 的度数和； （2）在（1）的条件下，请直接写出图中与∠BOC 互补的角； （3）如图 2，若射线 OM 平分∠AOD（OM 在∠EOD 内部），且满足∠EOD＝2∠FOM，请判断∠AOF 与∠EOF 的大小关系并说明理由． 【变式训练 1】如图①，O 是直线 AB 上的一点， COD 是直角， OE 平分 BOC ． （1）若 AOC  30 ，则 BOD  ____________°， DOE  ____________°； （2）将图①中的 COD 绕顶点 O 顺时针旋转至图②的位置，其他条件不变，若 AOC   ，求 DOE 的度数（用含  的式子表示）； （3）将图①中的 COD 绕顶点 O 顺时针旋转至图③的位置，其他条件不变，直接写出 AOC 和 DOE 的度数之间的关系：__________________．（不用证明） 【变式训练 2】如图所示，O 是直线 AB 上的一点， COD 是直角， OE 平分 BOC ． （1）如图①，若 AOC  28 ，求 DOE 的度数； （2）在图①，若 AOC   ，直接写出 DOE 的度数_________（用含 a 的代数式表示）； （3）将图①中的 COD 绕顶点 O 顺时针旋转至图②的位置． ①探究 AOC 和 DOE 的度数之间的关系，写出你的结论，并说明理由； ②在 AOC 的内部有一条射线 OF ，满足 AOC  4AOF  2BOE  AOF ，试确定 AOF 与 DOE 的度数之间的关系，说明理由． 【变式训练 3】已知 O 为直线 AB 上的一点，∠COE＝90°，射线 OF 平分∠AOE． （1）在图 1 中，当∠COF＝36°时，则∠BOE＝ ∠COF 和∠BOE 之间的数量关系是 ，当∠COF＝m°时，则∠BOE＝ ；以此判断 ； （2）若将∠COE 绕点 O 旋转至图 2 的位置，试问（1）中∠COF 和∠BOE 之间的数量关系是否发生变化？若 不发生变化，请你加以证明；若发生变化，请你说明理由； （3）若将∠COE 绕点 O 旋转至图 3 的位置，继续探究∠COF 和∠BOE 之间的数量关系，并说明理由． 类型二、求值问题 例.如图 1， O 为直线 AB 上一点，过点 O 作射线 OC ， AOC  30 ，将一直角三角板（ M  30 ）的 直角顶点放在点 O 处，一边 ON 在射线 OA 上，另一边 OM 与 OC 都在直线 AB 的上方． （注：本题旋转角 度最多 180 ．） （1）将图 1 中的三角板绕点 O 以每秒 3 的速度沿顺时针方向旋转．如图 2，经过 t 秒后，AON  ______ 度（用含 t 的式子表示），若 OM 恰好平分 BOC ，则 t  ______秒（直接写结果） ． （2）在（1）问的基础上，若三角板在转动的同时，射线 OC 也绕 O 点以每秒 6 的速度沿顺时针方向旋转， 如图 3，经过 t 秒后， AOC  ______度（用含 t 的式子表示）若 OC 平分 MON ，求 t 为多少秒？ （3）若（2）问的条件不变，那么经过秒 OC 平分 BOM ？（直接写结果） 【变式训练 1】在同一平面内已知∠AOB＝150°，∠COD＝90°，OE 平分∠BOD． （1）当∠COD 的位置如图 1 所示时，且∠EOC＝35°，求∠AOD 的度数； （2）当∠COD 的位置如图 2 所示时，作∠AOC 的角平分线 OF，求∠EOF 的度数； （3）当∠COD 的位置如图 3 所示时，若∠AOC 与∠BOD 互补，请你过点 O 作射线 OM，使得∠COM 为∠AOC 的余角，并求出∠MOE 的度数．（题中的角都是小于平角的角） 【变式训练 2】如图①，直线 AB ､ CD 相交于点 O，射线 OE  CD ，垂足为点 O，过点 O 作射线 OF 使 BOF  130 ． （1）将图①中的直线 CD 绕点 O 逆时针旋转至图②，OE 在 BOF 的内部，当 OE 平分 BOF 时，OC 是否平分 AOF ，请说明理由； （2）将图①中的直线 CD 绕点 O 逆时针旋转至图③， OD 在的内部，探究 AOE 与∠DOF 之间的数量 关系，并说明理由； （3）若 BOE  20 ，将图①中的直线 CD 绕点 O 按每秒 5°的速度逆时针旋转度  度（ 0    180 ） ， 设旋转的时间为 t 秒，当 AOC 与 EOF 互余时，求 t 的值． 【变式训练 3】如图 1，点 A、O、B 依次在直线 MN 上，现将射线 OA 绕点 O 沿顺时针方向以每秒 2 的速 度旋转，同时射线 OB 绕点 O 沿逆时针方向以每秒 4 的速度旋转，如图 2，设旋转时间为 t (0  t  90) ． （1）用含 t 的代数式表示： MOA  _______  ， MOB  _______  ． （2）在运动过程中，当 AOB  60 时，求 t 的值． （3）在旋转过程中是否存在这样的 t，使得直线 OB 平分由射线 OM 、射线 OA 、射线 ON 中的任意两条射 线组成的角（大于 0 而小于 180 ）？ 课后作业 1．如图，已知 AOB  120 ，COD  50 ，OM 平分 BOD ，即 1  2 ，ON 平分 AOC ，即 3  4 ； 1 若 BOD  30 ，则 MON  ________；  2  若 COD 可以在 AOB 内部绕点 O 作任意旋转（射线 OC 与射线 OA 不重合，射线 OD 与射线 OB 不重合）则 MON 的大小是否改变？试说明理由． 2.如图，射线 OC 在 AOB 的外部， BOC  a （ a 为锐角）且 OM 平分 AOC ， ON 平分 BOC ． （1）若 AOB  90 ，求 MON 的度数； （2）若 AOB   （  为锐角）不变，当 BOC 的大小变化时， MON 的度数是否变化？说明理由； （3）从（1）（2）的结果来看你能看出什么规律． 3．已知：O 是直线 AB 上的一点， COD 是直角，OE 平分 BOC ． （1）如图 1．若 AOC  30 ．求 DOE 的度数； （2）在图 1 中， AOC  a ，直接写出 DOE 的度数（用含 a 的代数式表示）； （3）将图 1 中的 DOC 绕顶点 O 顺时针旋转至图 2 的位置，探究 AOC 和 DOE 的度数之间的关系．写 出你的结论，并说明理由． 4．如图，∠AOB=90°，OM 是∠AOC 的角平分线，ON 是∠BOC 的角平分线； （1）当∠BOC=40°时，求∠MON 的大小？ （2）当∠BOC 的大小发生变化时，∠MON 的大小是否发生改变？说明理由.