专题 08 与线段有关的动点问题 类型一、求值问题 例.如图，点 C 在线段 AB 上，图中有三条线段 AB 、 AC 和 BC ，若其中一条线段的长度是另一条线段长 的 2 倍，则称点 C 是线段 AB 的“巧点”， 若已知线段 AB  20 ，点 C 是线段 AB 的“巧点”，则 AC =__________． 【变式训练 1】如图 1，点 C 在线段 AB 上，图中共有三条线段 AB，AC 和 BC，若其中有一条线段的长度是 另外一条线段长度的 2 倍，则称点 C 是线段 AB 的“巧点”． （1）线段的中点__这条线段的“巧点”；（填“是”或“不是”）； （2）如图 2，已知 AB＝15cm．动点 P 从点 A 出发，以 2cm/s 的速度沿 AB 向点 B 匀速运动；点 Q 从点 B 出 发，以 1cm/s 的速度沿 BA 向点 A 匀速运动，点 P，Q 同时出发，当其中一点到达终点时，运动停止．设移 动的时间为 t（s） ，当 t＝__s 时，Q 为 A，P 的“巧点”． 【变式训练 2】如图，数轴上有两点 A, B ，点 C 从原点 O 出发，以每秒 1cm 的速度在线段 OA 上运动，点 D 从点 B 出发，以每秒 4cm 的速度在线段 OB 上运动．在运动过程中满足 OD  4 AC ，若点 M 为直线 OA 上一点，且 AM  BM  OM ，则 AB 的值为_______． OM 类型二、证明定值问题 例.如图，已知线段 AB  m ， CD  n ，线段 CD 在直线 AB 上运动（点 A 在点 B 的左侧，点 C 在点 D 的左 侧），若 m  12   6  n   0 ． 2 （1）求线段 AB ， CD 的长； （2）若点 M ， N 分别为线段 AC ， BD 的中点， BC  4 ，求线段 MN 的长； （3）当 CD 运动到某一时刻时，点 D 与点 B 重合，点 P 是线段 AB 的延长线上任意一点，下列两个结论： ① PA  PB PA  PB 是定值，② 是定值，请选择你认为正确的一个并加以说明． PC PC 【变式训练 1】已知线段 AB＝m，CD＝n，线段 CD 在直线 AB 上运动（A 在 B 的左侧，C 在 D 的左侧），且 m，n 满足|m－12|＋（n－4）2＝0. （1）m＝ ，n＝ ； （2）点 D 与点 B 重合时，线段 CD 以 2 个单位长度/秒的速度向左运动． ①如图 1，点 C 在线段 AB 上，若 M 是线段 AC 的中点，N 是线段 BD 的中点，求线段 MN 的长； ②P 是直线 AB 上 A 点左侧一点，线段 CD 运动的同时，点 F 从点 P 出发以 3 个单位/秒的向右运动，点 E 是 线段 BC 的中点，若点 F 与点 C 相遇 1 秒后与点 E 相遇．试探索整个运动过程中，FC－5DE 是否为定值，若 是，请求出该定值；若不是，请说明理由． 【变式训练 2】如图，B 是线段 AD 上一动点，沿 A→D→A 以 2cm/s 的速度往返运动 1 次，C 是线段 BD 的中 点， AD  10cm ，设点 B 运动时间为 t 秒（ 0  t  10 ）． （1）当 t  2 时，① AB  ________cm， ②此时线段 CD 的长度=_______cm； （2）用含有 t 的代数式表示运动过程中 AB 的长； （3）在运动过程中，若 AB 中点为 E，则 EC 的长度是否变化？若不变，求出 EC 的长；若变化，请说明理由． 类型三、数量关系 例.数轴上 A、 B 两点对应的数分别是 4,12 ，线段 CE 在数轴上运动，点 C 在点 E 的左边，且 CE  8, 点 F 是 AE 的中点． （1）如图 1，当线段 CE 运动到点 C , E 均在 A, B 之间时，若 CF  1 ，则 AB  _________，点 C 对应的数 为________， BE  ________； （2）如图 2，当线段 CE 运动到点 A 在 C、E 之间时，画出草图并求 BE 与 CF 的数量关系． 【变式训练】如图，点 A ， B 在数轴上所对应的数分别为－5，7（单位长度为 1cm ）， P 是 A ， B 间一点， C ， D 两点分别从点 P ， B 出发，以 1cm / s ， 2cm / s 的速度沿直线 AB 向左运动（点 C 在线段 AP 上， 点 D 在线段 BP 上），运动的时间为 ts ． （1） AB  ______ cm ． （2）若点 C ， D 运动到任一时刻时，总有 PD  2 AC ，请求出 AP 的长． （3）在（2）的条件下， Q 是数轴上一点，且 AQ  BQ  PQ ，求 PQ 的长． 课后作业 1.已知：如图 1，点 M 是线段 AB 上一定点，AB＝12cm，C、D 两点分别从 M、B 出发以 1cm/s、2cm/s 的速 度沿直线 BA 向左运动，运动方向如箭头所示（C 在线段 AM 上，D 在线段 BM 上） （1）若 AM＝4cm，当点 C、D 运动了 2s，此时 AC＝ ，DM＝ ； （直接填空） （2）当点 C、D 运动了 2s，求 AC+MD 的值． （3）若点 C、D 运动时，总有 MD＝2AC，则 AM＝ （填空） （4）在（3）的条件下，N 是直线 AB 上一点，且 AN﹣BN＝MN，求 MN 的值． AB 2.已知有理数 a，b，c 在数轴上对应的点从左到右顺次为 A，B，C，其中 b 是最小的正整数，a 在最大的负 整数左侧 1 个单位长度，BC=2AB． （1）填空：a= ，b= ，c= （2）点 D 从点 A 开始，点 E 从点 B 开始， 点 F 从点 C 开始，分别以每秒 1 个单位长度、1 个单位长度、4 个单位长度的速度在数轴上同时向左运动，点 F 追上点 D 时停止动，设运动时间为 t 秒．试问： ①当三点开始运动以后，t 为何值时，这三个点中恰好有一点为另外两点的中点？ ②F 在追上 E 点前，是否存在常数 k，使得 DF  k  EF 的值与它们的运动时间无关，为定值．若存在，请 求出 k 和这个定值；若不存在，请说明理由． 3．如图，点 C 在线段 AB 上，点 M , N 分别是 AC、BC 的中点． （1）若 AC  9cm, CB  6cm ，求线段 MN 的长； （2）若 C 为线段 AB 上任一点，满足 AC  CB  acm ，其它条件不变，你能求出 MN 的长度吗？请说明理由． （3）若 C 在线段 AB 的延长线上，且满足 AC  BC  bcm, M , N 分别为 AC、BC 的中点，你能求出 MN 的长 度吗？请画出图形，写出你的结论，并说明理由． 4．点 A、B 在数轴上所对应的数分别是 x，y，其中 xy 满足（x﹣3）2+|y+5|＝0． （1）求 A、B 两点间的距离． （2）数轴上在点 A 的右边有一点 D，使得 AD+BD＝ 7 AB，求点 D 所对应的数． 4 （3）在直线 AB 上取一点 P，恰好使 AP＝3PB，点 Q 为线段 PB 的中点，则 AQ 的长为 ． 5．如图，已知线段 AB＝12 cm，点 C 为线段 AB 上的一动点，点 D，E 分别是 AC 和 BC 中点． （1）若点 C 恰好是 AB 的中点，则 DE＝ cm； （2）若 AC＝4 cm，求 DE 的长； （3）试说明无论 AC 取何值（不超过 12 cm），DE 的长不变．