第四章《几何图形初步》 4.3 角 一、选择题 1.（2021 七下·商河期中）若∠A＝23°，则它的补角的度数为（ ） A. 57° B. 67° C. 147° D. 157° 【完整解答】 D 解：∵∠A＝23°， ∴∠A 的补角为 180°﹣23°＝157°． 故答案为：D． 【思路引导】根据互为补角的两角的和等于 180°列式进行计算即可得解。 2.（2021 七下·碑林月考）如图所示，OB，OC 是∠AOD 的任意两条射线，OM 平分∠AOB，ON 平分∠COD， 若∠MON＝α，∠BOC＝β，则表示∠AOD 的代数式是（ A. 2α﹣β B. α﹣β C. α+β D. 以上都不正确 ） 【完整解答】 A 解：∵∠MON＝α，∠BOC＝β ∴∠MON﹣∠BOC＝∠CON+∠BOM＝α﹣β 又∵OM 平分∠AOB，ON 平分∠COD ∴∠CON＝∠DON∠AOM＝∠BOM 由题意得∠AOD＝∠MON+∠DON+∠AOM＝∠MON+∠CON+∠BOM＝α+（α﹣β）＝2α﹣β. 故答案为：A. 【思路引导】根据 从一个角的顶点引出一条射线，把这个角分成两个完全相同的角，这条射线叫做这个角 的角平分线 ，进行有关计算即可. 3.（2021 七下·深圳月考）下列图形中的两个角互为补角的是（ ） A. ①和② B. ①和③ C. ①和④ D. ②和④ 【完整解答】 C 解：∵①④两个角相加为 180°， ∴①④互为补角． 故答案为：C． 【思路引导】根据互补两角之和为 180°求解即可． 4.（2021 七上·华容期末）下列说法正确的是( ) A. 一个平角就是一条直线 B. 连结两点间的线段，叫做这两点的距离 C. 两条射线组成的图形叫做角 D. 经过两点有一条直线，并且只有一条直线 【完整解答】 D 解：A、平角与直线是两个不同的概念，平角的两条边在一条直线上，故本选项错误； B、距离是一个长度，而线段是一个图形，故连接两点的线段的长度叫做两点间的距离，故此选项错误； C、有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，故此选项错误； D、经过两点有一条直线，并且只有一条直线，正确. 故答案为：D. 【思路引导】分别利用角的概念、两点间的距离的定义以及直线的性质等进行判断即可. 5.（2021 七上·灵山期末）将一副三角尺按如图位置摆放，则图中的 ∠� ， ∠� 的和等于（ A. 180° B. 195° C. 205° D. 225° ） 【完整解答】 D 解：由题意得， ∠� = 180° − ∠2 ， ∠� = 180° − ∠1 ， ∵ ∠2 = 180° − 90° − 30° = 60° ∴ ∠� = 180° − 60° = 120° ∵ ∠1+∠60°+∠3 = 180° ∴ ∠60°+∠3=180° − ∠1 ∴ ∠� = ∠60°+∠3 ∵ ∠4 = 45° ∴ ∠3 = 90° − 45° = 45° ∴ ∠� = ∠60° + ∠3 = 60° + 45° = 105° ∴ ∠� + ∠� = 120° + 105° = 225° ， 故答案为：D. 【思路引导】由图可知：∠�与∠1 互补、∠�与∠2 互补，且∠1+∠3+60°=180°，∠2+60°=90°，∠3+∠4=90°， 则∠�+∠�可求解. 6.（2021 七下·南浔期末）如图，将一块三角板的直角顶点放在直尺的一边上。当∠1=50°时，则∠2 的度数 为（ ） A. 25° B. 40° 【完整解答】 B 解：如图添加字母和标角如下： C. 50° D. 130° ∵AB∥CD， ∴∠2 =∠3， ∵∠DEG=90°， ∴∠3+∠1=90°， ∵∠1=50° ， ∴∠3=40°， ∴∠2 =40° 故答案为：B。 【思路引导】先根据平行线的性质得 ∠2 =∠3，再根据∠3+∠1=90°即可求解． 7.（2021 七下·利辛期末）如图，已知 AD∥EF∥BC，BD∥GF，且 BD 平分∠ADC，则图中与∠1 相等的 角(∠1 除外)共有( ) A. 4 个 【完整解答】 D 解：如图， ∵∠1 和∠3 是对顶角， B. 5 个 C. 6 个 D. 7 个 ∴∠3=∠1， ∵AD∥EF∥BC， ∴∠ADB=∠1，∠DBC=∠1， ∵BD 平分∠ADC， ∴∠BDC=∠ADB=∠1， ∵BD∥GF， ∴∠EFG=∠1，∠GFC=∠BDC=∠1，∠FGC=∠DBC=∠1， ∴图中与∠1 相等的角(∠1 除外)共有 7 个. 故答案为：D. 【思路引导】根据对顶角相等得出∠3=∠1，根据角平分线的定义和平行线的性质得出∠ADB=∠1， ∠DBC=∠1，∠BDC=∠ADB=∠1，∠EFG=∠1，∠GFC=∠BDC=∠1，∠FGC=∠DBC=∠1，即可得出答 案. 8.（2021 七下·滨海新期末）如图，AB⊥CD 于 D A. 30° ， DE⊥DF B. 45° C. 60° ， 若∠BDE = 60°，则∠CDF 为( ) D. 120° 【完整解答】 C 解 ：因 为 AB⊥CD ， DE⊥DF， 所 以 ∠��� = ∠��� = 90∘ ∠CDF=∠BDE=60°，故选 C。 【思路引导】由垂直的定义可得∠��� = ∠��� = 90∘ ） A. 32° 【完整解答】 A B. 42° ， 所以 ， 从而得到∠CDF=∠BDE，可求的答案。 9.（2021 七下·浑源期中）如图，直线 AB、CD 相交于点 O 等于（ ， 所 以 ∠��� + ∠��� = 90∘ ， 若 �� ⊥ �� ， ∠��� = 58° ，则 ∠��� C. 48° D. 58° 解：∵OE⊥AB ， ∴∠BOE＝90°， ∵∠DOE＝58°， ∴∠BOD＝90°-∠DOE＝32°， ∴∠AOC＝∠BOD＝32°， 故答案为：A ． 【思路引导】求出∠BOD，根据对顶角相等求出∠���的度数。 二、填空题 10.（2021 七下·青羊开学考）已知∠α＝67°32'，则∠α的的补角等于________. 【完整解答】 112°28′ 解：∵∠α＝67°32'， ∴∠α的补角＝180°﹣67°32'＝112°28′. 答案为：112°28′. 【思路引导】 本题涉及两个角的度数和为 180°时，这两个角互为补角 . 11.（2021 七下·杭州开学考）38°45' + 72.5° = ________.（结果用度表示） 【完整解答】 111.25° 解：38°45’+72.5° =38°45’+72°30’ =110°75’ =111.25°, 故答案为：111.25°. 【思路引导】先统一表示方法，再计算两者之和，最后根据度分秒的换算关系把结果用度表示即可. 12.（2021 七上·长沙期末）已知∠α=35°30′，则∠α的余角为________. 【完整解答】 54°30′ 解：∵∠α=35°30′， ∴∠α的余角=90°-35°30′=54°30′， 故答案为：54°30′. 【思路引导】如图两个角的和是 90°，那么这两个角互为余角，其中一个角是另一个角的余数据此即可列出 算式算出答案. 13.（2021 七上·沿河土家族自治期末）如果 ∠� = 29°35' ，那么 ∠� 的余角的度数为________. 【完整解答】 60º25' 解：如果 ∠� = 29°35' ，那么 ∠� 的余角等于 90°-29°35′=60°25′. 故答案为：60º25'. 【思路引导】互余的两个角之和为 90°，根据互余的性质解答即可. 14.（2021 七上·灵山期末）已知 ∠� = 110°27' ，则这个角的补角等于________ ° ________ ' （填上度和 分）. 【完整解答】 69；33 设这个角的补角为 � ， ∴ � + 110°27' = 180° ， 解得： � = 69°33' ， 故答案为：69,33 【思路引导】设这个角的补角为 � ，根据和为 180 度的两个角互为补角可得关于 x 的方程，解方程可求解. 15.（2021 七下·槐荫期末）如图，以 △ ��� 的顶点 � 为圆心， �� 长为半径画弧，交 �� 边于点 � ， 连接 �� ．若 ∠��� = 100° ， ∠� = 50° ，则 ∠��� 的大小为________度． 【完整解答】 75 解：∵∠BAC=100°，∠C=50°， ∴∠B=180°-∠BAC-∠C=30°， 由作图可得：AB=BD， ∴∠BAD=∠ADB=（180°-∠B）÷2=75°， 故答案为：75°． 【思路引导】先求出∠B=180°-∠BAC-∠C=30°，再根据 AB=BD，计算求解即可。 16.（2021 七下·黄浦期末）如图，在△ABC 中，∠A＝42°，点 D 是边 A 上的一点，将△BCD 沿直线 CD 翻 折斜到△B′CD，B′C 交 AB 于点 E，如果 B′D∥AC，那么∠BDC＝________度． 【完整解答】 111 解：设∠BCD 为α，∠CBD 为β， ∵B′D∥AC， ∴∠B'DC+∠ACD=180°， 由对称性知∠BDC=∠B'DC， ∴180°-（α+β）+180°-42°-（α+β）=180°， ∴α+β=69°， ∴∠BDC=180°-69°=111°， 故答案为 111． 【思路引导】设∠BCD 为α，∠CBD 为β，列出关于α+β的方程，求出α+β，即可求出∠BDC 的度数。 17.（2021 七下·利辛期末）已知：AB∥CD，点 C 在点 D 的右侧，BE 平分∠ABC，DE 平分∠ADC，BE， DE 所在直线交于点 E，∠ADC=70°。 （1）∠CDE=________度 ； （2）若∠ABC=n°，则∠BED 的度数是________(用含 n 的式子表示) 【完整解答】 （1）35 1 （2）2 n°+35° （1）∵DE 平分∠ADC，∠ADC=70°， 1 ∴∠CDE=2∠ADC=35°， 故答案为：35°； （2）如图，过点 E 作 EF∥AB， ∵AB∥CD， ∴AB∥CD∥EF， 1 ∴∠FEB=∠ABE=2n°，∠FED=∠CDE=35°， 1 ∴∠BED=∠FEB+∠FED= n°+35°， 2 1 故答案为： n°+35°. 2 1 【思路引导】(1)根据角平分线的定义得出∠CDE=2∠ADC，即可得出答案； （2）过点 E 作 EF∥AB，根据平行公理得出 AB∥CD∥EF，再结合角平分线的定义得出∠FEB=∠ABE= 1 2 n°，∠FED=∠CDE