第一章《有理数》 1.5 有理数的乘方 一、选择题 1.（2021·苏家屯模拟）国产科幻电影《流浪地球》上映 17 日，票房收入突破 40 亿人民币，将 40 亿用科学 记数法表示为（ ） A. 40 × 108 【完整解答】 B B. 4 × 109 C. 40 × 1010 D. 0.4 × 1011 解：40 亿用科学记数法表示为： 4 × 109 ， 故答案为：B． 【思路引导】 用科学记数法表示绝对值较大的数时，一般形式为 a×10n， 其中 1≤|a|＜10，n 为整数，需要 注意的是 n 为原原数整数数位与 1 的差． 2.（2021·枣庄模拟）据央视网消息，全国广大共产党员积极响应党中央号召，踊跃捐款，表达对新冠肺炎 疫情防控工作的支持．据统计，截至 2020 年 3 月 26 日，全国已有 7901 万多名党员自愿捐款，共捐款 82.6 亿元．82.6 亿用科学记数法可表示为（ A. 8.26×109 ） B. 0.826×10l0 C. 8.26×108 D. 82.6×108 【完整解答】 A 解：82.6 亿=8260000000=8.26×109 故答案为：A 【思路引导】本题考查科学记数法的表示方法，科学记数法要求把一个数写成 a×10n 的形式，其中 1＜|a|＜ 10，n 为整数，先把 82.6 亿展开，然后小数点左移 9 位到 8 的后面，再乘 109 即可。 2 1 1 3 � 2 3.（2021 七下·姑苏期中）若 � = ( − )−2 ， � = ( − )0 ， � = ( )2 ，则 � 、 � 、 � 的大小关系是（ A. � < � < � 【完整解答】 C 2 � = ( − )−2 = 3 ∵ 1 4 <1< 9 4 ∴ �<�<� 9 4 B. � < � < � 1 1 ， � = ( − )0 =1， � = ( 2 )2 = � 1 4 ， C. � < � < � D. � < � < � ） 故答案为：C. 【思路引导】根据负整数指数幂：底变倒，指变反以及非 0 数的 0 指数幂结果为 1 以及有理数的乘方可分 别计算 a、b、c，再比较即可. 4.（2020 七上·广西壮族自治月考）太阳半径约为 696000 千米，把数据 696000 用科学记数法表示为（ A. 0.696 × 106 B. 69.6 × 104 【完整解答】 D C. 6.96 × 106 ） D. 6.96 × 105 解：696000 = 6.96 × 100000 = 6.96 × 105 故答案为：D 【思路引导】根据科学记数法的表示形式为：a×10n ， 其中 1≤|a|＜10，此题是绝对值较大的数，因此 n= 整数数位-1. 5.（2021 七下·丽水期中）已知关于 x ， y 的方程组 { ， y 的值互为相反数；③x+2y＝3；④当 3x+y＝81 时，a＝2．其中 方程组总有一组解；②当 a＝﹣2 时，x 正确的是（ � + 3� = 4 − � ，给出下列结论：①不论 a 取何值， � − � = 3� ） A. ①②③④ B. ①②③ C. ②③ D. ①③④ 【完整解答】 A 解： ① 1 1 ≠ 3 −1 ② 当 a=-2， { ③∵{ ， ∴ 不论 a 取何值，方程组总有一组解，正确； � + 3� = 6① � − � =− 6② � + 3� = 4 − � � − � = 3� ， ， ∴①+②得 x+y=0，∴x、y 互为相反数，正确； � = 2� + 1 解得{ , ∴x+2y=2a+1+2-2a=3，正确； �=1−� ④ ∵x+3y+x-y=4-a+3a，∴2x+2y=4+2a，x+y=2+a，∴2+a=4，解得 a=2，正确； 故答案为：A 【思路引导】根据二元一次方程组有解的条件判断 ① ；把方程组的两边直接相加化简即可判断②解方程 组，把方程组的解用 a 表示，代入 x+2y=3 中判断 ③ ；先根据方程组求得 x+y=2+a，代入 3x+y＝81 中求解 即可. 6.（2021 七下·相城月考）对于代数式: A. 有最大值 1 【完整解答】 B �2 − 2� + 2 ，下列说法正确的是（ B. 有最小值 1 C. 有最小值 2 ） D. 无法确定最大最小值 解：代数式可化为： �2 − 2� + 2 = (� − 1)2 + 1 ， ∴当 � = 1 时，代数式有最小值 1， 故答案为：B. 【思路引导】对代数式进行配方，可得(x-1)2+1，然后根据平方的非负性解答即可. 7.（2020 七上·江都月考）观察下列算式， 21 = 2 ， 22 = 4 ， 23 = 8 ， 24 = 16 ， 25 = 32 ， 26 = 64 ， 27 = 128 ， 28 = 256 ， A. 2 用你所发现的规律得出 22020 的末位数字是（ B. 4 C. 6 ） D. 8 【完整解答】 C 解：由题意可知，末位数字分别为 2，4，8，6 每 4 个是一个周期， ∵2020÷4=505 ∴22020 的末位数字与 24 的末位数字相同，为 6， 故答案为：C． 【思路引导】观察可知，末位数字每 4 个数是一个周期，末位分别为 2，4，8，6．把 2020 除以 4，正好整 除，所以 22020 的末位数字与 24 的末位数字相同，从而即可得出答案. 8.（2020 七上·江津月考）计算：21-1=1,22-1=3,23-1=7,24-1=15,25-1=31，归纳各计算结果中的个位数字规律， 猜测 22020 − 1 的个位数字是（ A. 1 ） B. 3 C. 7 D. 5 【完整解答】 D 解：2 的指数运算结果是 21=2，22=4，23=8，24=16，25=32，…，2n,2 的指数运算结果的末位数字是 2，4， 8，6，四个一循环，为此 2020÷4=505，则 22020 的末位数字是 6，22020-1 的末位数字为 6-1=5. 故答案为：D. 【思路引导】2 的乘方运算结果是 21=2，22=4，23=8，24=16，25=32，…，2n,2 的乘方运算结果的末位数字 是指数被 4 除余 1，结果为 2，指数被 4 除余 2，解果为 4，指数被 4 除余 3 解果为 8，指数被 4 整除，结果 为 6，四次一循环，为此计算 n÷4 的结果，则 22020 的末位数字是 6，再确定 22020-1 的末位数字. 二、填空题 9.（2021 七下·青羊开学考）根据成都市城市轨道交通第三期的建设规划（2016～2020 年），至 2020 年，我 市将形成 13 条线路，总长 508000 米的轨道交通网，将 508000 用科学记数法表示为________. 【完整解答】 5.08×105 解：将数据 508000 用科学记数表示为 5.08×105. 故答案为：5.08×105. 【思路引导】 科学记数法是一种记数的方法。把一个数表示成 a（1≤a<10，n 为整数）与 10 的幂相乘的形 式，这种记数法叫做科学记数法 . 10.（2021 七下·滦州月考）计算：23+（﹣3）×（﹣2）2 的结果为________． 【完整解答】 -4 解：原式= 8 + ( − 3) × 4 ， = 8 + ( − 12) ， =-4． 故答案为：-4． 【思路引导】按照有理数的运算顺序，先乘方，再乘除，最后算加减即可． 11.（2021 七下·重庆开学考）今年 2 月中下旬，在位于重庆轨道交通 2 号线佛图关段，大面积的美人梅花盛 开，春意盎然，列车穿行在花海中，成为了春日里的一道美丽风景线，从而引来了无数游客打卡留念，据 了解平均每天有 8200 人在此拍照，8200 用科学记数法表示为________. 【完整解答】 8.2×104 解：8200=8.2×104. 故答案为：8.2×104. 【思路引导】用科学记数法表示一个绝对值较大的数，一般表示为 a×10n 的形式，其中 1≤∣a∣＜10，n 等 于原数的整数位数减去 1，据此解题即可. 12.（2021 七上·宝丰期末）计算： − 22 + ( − 2)2 − ( − 1)3 = ________. 【完整解答】 1 解： − 22 + ( − 2)2 − ( − 1)3 =− 4 + 4 − ( − 1) =1 ， 故答案为：1. 【思路引导】先进行有理数乘方的运算，再进行有理数的加减混合运算即得结果. 13.（2021 七下·南城期中）若 (� − 1)�+2 = 1 ，则 a=________. 【完整解答】 -2 或 0 或 2 解：（a-1）a+2=1， ∴a-1=1 或 a+2=0 或 a-1=-1， ∴a=2 或 a=-2 或 a=0. 【思路引导】根据 1 的任何次幂都等于 1，一个不为 0 的数的零次幂等于 1，-1 的偶次幂等于 1，得出 a-1=1 或 a+2=0 或 a-1=-1，即可得出答案. 14.（2021 七下·长春开学考）把数 27460 按四舍五入法取近似值，精确到千位是________． 【完整解答】 2.7 × 104 27460≈ 2.7 × 104 （精确到千位） ． 故答案为： 2.7 × 104 ． 【思路引导】先用科学记数法表示，然后利用近似数的精确度进行四舍五入即可． 15.（2021 七下·自贡开学考）计算 −2 × ( − 3)2 − ( − 1)2020 ÷ 4 的结果是________. 【完整解答】 −18 1 4 解： −2 × ( − 3)2 − ( − 1)2020 ÷ 4 =-2×9-1÷4 1 =-18-4 1 =− 18 . 4 【思路引导】先进行有理数乘方的运算，再进行有理数的乘除法运算，最后进行有理数的减法运算即得结 果. 16.（2021 七下·贺兰期中）已知正整数 a ， b ， c（其中 a≠1）满足 abc＝ab+50，则 a+b+c 的最小值是 ________，最大值是________． 【完整解答】 10；53 解：设 ab=x， ∵ abc＝ab+50， ∴xc=x+50， ∴x(c-1)=50， 50 ∴x=�−1 ， ∴c-1=1,2,5,10,25,50， ①c-1=1，ab=50， 故 c=2, a=50，b=1, a+b+c= 53； ②c-1=2，ab=25，故 c=3, a=5，b=2，a+b+c=10；或 c=3, a=25，b=1, a+ b+c= 29; ③c