第一章《有理数》 1.2 有理数 一、选择题 1.（2021·曾都模拟）下列各式中，结果是 100 的是（ A. −( + 100) B. −( − 100) 【完整解答】 B ） C. −| + 100| D. −| − 100| 解：A、 −( + 100)=-100 ，故错误 B、 −( − 100)=100 ，故正确 C、 −| + 100| =-100，故错误 D、 −| − 100| =-100，故错误 【思路引导】直接根据负号的个数和绝对值的定义化简即可 2.（2021·枣庄模拟）a 的相反数为﹣3，则 a 等于（ A. ﹣3 ） B. 3 C. ±3 D. 1 3 【完整解答】 B 解：因为-3 的相反数是 3，所以 a=3. 故答案为：B 【思路引导】考查相反数的求法，求一个数的相反数的方法是在这个数的前面添加一个“-”，所以-3 的相反 数是-（-3）=3，即可求出 a 的值。 3.（2021 七下·利辛期中）下列各数中是有理数的是（ A. � ） B. -3 C. 2 3 D. 5 【完整解答】 B 解：π， 2 ， 3 5为无理数，-3 为有理数. 故答案为：B. 【思路引导】根据有理数的定义：整数和分数统称为有理数，逐项进行判断即可得到答案. 4.（2021 七下·蚌埠期中）比较 255 与 333 大小，结果是（ A. 前者大 【完整解答】 A B. 一样大 ） C. 后者大 D. 无法确定 解：∵255 = 25 ∴255＞333 11 = 3211 ， 333 = 33 11 = 2711 ， ， 故答案为：A. 【思路引导】根据幂的乘方把 255 化为 3211 的形式，把 333 化为 2711 ， 再进行比较大小，即可得出答案. 5.（2021 七下·凤山月考）下列命题是真命题的是（ A. 如果 a+b=0，那么 a，b 互为相反数; C. 过一点有且只有一条直线与已知直线平行; ） B. 同位角相等; D. 两条直线被第三条直线所截，内错角相等。 【完整解答】 A 解：A、如果 a+b=0，那么 a，b 互为相反数，故 A 符合题意； B、两直线平行，同位角相等，故 B 不符合题意； C、过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故 C 不符合题意； D、两条直线平行，内错角相等，故 C 不符合题意； 故答案为：A. 【思路引导】利用两数之和为 0，则这两个数互为相反数，可对 A 作出判断；利用平行线的性质，可对 B， D 作出判断；利用过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，可对 C 作出判断. 6.（2021 七下·北京月考）若 �2 = 25 ， |�| = 3 ，则 � + � 所有可能的值为（ ） A. 8 B. 8 或 2 【完整解答】 D C. 8 或 −2 D. ±8 或 ±2 解：∵ �2 = 25 ， ∴a=±5， ∵ |�| = 3 ， ∴b=±3， 当 a=5，b=3 时， � + � = 8 ； 当 a=5，b=-3 时， � + � = 2 ； 当 a=-5，b=3 时， � + � =− 2 ； 当 a=-5，b=-3 时， � + � =− 8 ； 故答案为：D． 【思路引导】先求出 a、b 的值，再计算即可． 7.（2021 七下·自贡开学考）在数轴上，表示数 � 的点的位置如下图所示，则化简 |� + 1| − |� − 2| 结果为 （ ） A. 3 B. -3 【完整解答】 C C. 2� − 1 D. 1 − 2� 解：∵-1<x<0， ∴ |� + 1| − |� − 2| =x+1-（2-x） =2x-1， 故答案为：C. 【思路引导】根据 x 在数值上的位置，确定 x 的范围，据此再去绝对值化简即可. 8.（2021 七上·长沙期末）已知 a，b 是有理数， |� + �| =− (� + �) ， |� − �| = � − � ，若将 a，b 在数轴 上表示，则图中有可能（ A. ） B. C. D. 【完整解答】 B 解：∵|a+b|=-（a+b），|a-b|=a-b， ∴a+b≤0，a-b≥0， ∴a≥b， A、由图知，a＞0，b＞0，所以 a+b＞0，所以此选项不合题意； B、由图知，a＜0，b＜0，a＞b，所以 a+b＜0，所以此选项符合题意； C、由图知，a＜0，b＞0，a＜b，所以此选项不合题意； D、由图知，a＞0，b＜0，|a|＞|b|，所以 a+b＞0，所以此选项不合题意. 故答案为：B. 【思路引导】根据绝对值的非负性得出 a+b≤0，a-b≥0，再根据有理数的加减法法则得出 a≥b，且 a，b 中至 少有一个数是负数，且负数的绝对值较大，进而结合数轴上的点所表示的数的特点：原点右边的点所表示 的数是正数，原点左边的点所表示的数是负数，右边的点所表示的数总比左边的点所表示的数大，从而即 可一一判断得出答案. 9.（2021 七上·郓城期末）数轴上表示整数的点称为整点，某数轴的单位长度为 1cm 条长 2020cm 的线段 AB A. 2020 ， 则线段 AB 盖住的整点个数是（ B. 2021 C. 2020 或 2021 ， 若在数轴上画出一 ） D. 2019 或 2020 【完整解答】 C 解：依题意得： ①当线段 AB 起点在整点时覆盖 2021 个数， ②当线段 AB 起点不在整点，即在两个整点之间时覆盖 2020 个数， 综上所述，盖住的点为：2020 或 2021． 故答案为：C ． 【思路引导】分类讨论，求出盖住的点即可。 二、填空题 10.（2021 七下·杭州开学考）若 |�| = 5 ，则 � = ________. 【完整解答】 ±5 解：∵ |�| = 5 ， ∴a=±5, 故答案为：±5. 【思路引导】根据绝对值的性质求解，即一个正数的绝对值等于这个正数，一个负数的绝对值等于它的相 反数，零的绝对值是零. 11.（2021 七下·江油开学考）﹣8 的相反数是________．如果﹣a＝2，则 a＝________． 【完整解答】 8；﹣2 解：-8 的相反数是 8， ∵-a=2, ∴a=-2， 故答案为：8，-2. 【思路引导】根据相反数的定义求解，即只有符号不同的两个数叫做互为相反数，据此解答即可. 12.（2021 七上·未央期末）在 1， −2 ，0， −1 四个数中，最小的数是________. 【完整解答】 −2 有理数的大小比较法则：正数大于 0，负数小于 0，负数绝对值大的反而小， 则 −2 <− 1 < 0 < 1 ， 因此，在这四个数中，最小的数是 −2 ， 故答案为： −2 . 【思路引导】正数大于 0，负数小于 0，负数绝对值大的反而小，据此解答即可. 13.（2021 七上·沿河土家族自治期末）数轴上有一点到原点的距离是 5，那么这个点表示的数是________. 【完整解答】 ±5 解：∵数轴上有一点到原点的距离是 5， ∴该点表示为±5. 故答案为：±5. 【思路引导】分该点在原点的左边还是右边两种情况考虑即可. 14.（2021 七下·包河期中）若|2a-7|=7-2a，则 a=________（请写出一个符合条件的正无理数）. 【完整解答】 2 解：∵|2a-7|=7-2a ∴2a-7≤0 ∴a≤ 7 2 ∴符合条件的可以为 2. 【思路引导】根据绝对值的性质，求出 a 的取值范围，根据无理数的含义求出答案即可。 15.（2021 七下·长兴开学考）已知|x|＝3，|y|＝5，且 xy＜0，则 x﹣y 的值等于________. 【完整解答】 8 或-8 解： |x|＝3， ∴x=±3， ∵ |y|＝5， ∴y=±5， ∵xy<0， ∴x=3, y=-5 或 x=-3, y=5, ∴x-y=8 或-8. 故答案为：8 或-8 【思路引导】先解绝对值方程，再结合 xy<0，确定 x、y 的值，最后分两种情况求值即可. 16.（2021 七下·重庆开学考）如图是一个正方体的展开图，若此正方体的相对面上的数互为相反数，则 � − (� − �) = ________. 【完整解答】 -2 解：由正方形的展开图可知，a 与 c 是对面，b 和-2 是对面， ∵正方体的相对面上的数互为相反数， ∴a=-c，b=2 ∴ � − (� − �) = � + � − � =− 2 故答案为：-2. 【思路引导】根据正方体的展开图，先判断 a、b、c 的相对面分别是哪个数字，然后根据相反数的意义求出 数字的值代入关系式即可解决. 17.（2021 七下·重庆开学考）已知有理数 � 、 � 在数轴上对应点的位置如图所示，则 2|� + 2� + 1| − |� − 3�| = ________. 【完整解答】 3a+b+2 解：由图可知： -1＜a＜0＜1＜b， ∴a+2b+1＞0，a-3b＜0， ∴ 2|� + 2� + 1| − |� − 3�| = 2(� + 2� + 1) + (� − 3�) = 2� + 4� + 2 + � − 3� = 3� + � + 2 故答案为：3a+b+2. 【思路引导】先由数轴得到 a、b 的范围，得到 a+2b+1＞0，a-3b＜0，接着去绝对值，再合并同类项即可. 18.（2021 七下·江油开学考）若 x、y 都是整数，且（2y+3）2+|x﹣1|＝1，则 x﹣y＝________． 【完整解答】 2 或 3 解：∵ （2y+3）2+|x﹣1|＝1， ∴（2y+3）2≥1-|x﹣1|， ∵ x、y 都是整数， （2y+3）2≥0， ∴|x﹣1|=0， ∴x=1, ∴（2y+3）2=1， ∴2y+3=±1， ∴y=-1 或-2， ∴x-y=1-(-1)=2 或 x-y=1-(-2)=3, 故答案为： 2 或 3. 【思路引导】根据非负数的性质，结合 x、y 都是整数，分别求出 x、y 的值，分两种情况再代入原式求值 即可. 三、解答题 19.（2020 七上·渠县期中）在数轴上表示下列各数，并按从小到大的顺序用“＜”把这些数连接起来： －3.5，0，－2，2，1.6，－ 1 3 ． 【完整解答】 解：将各数表示在数轴上，如图， 1 ∴− 3.5 <− 2 <− < 0 < 1.6 < 2 3 【思路引导】利用刻度处画出数轴，在数轴上表示出相应的数，利用数轴的性质进行比较大小，数轴上右 边的数大于左边的数。 20.（2020 七上·山东月考）已知 a 的相反数等于 2 ， |b| = 3 ，求 a,b 的值. 【完整解答】 解：因为 a 的相反数