第6讲 1. 2. 3. 4. 5. 整式 掌握代数式的概念以及理解字母表示数的意义； 会用含字母的式子表示实际问题的数量关系； 掌握单项式、多项式以及整式的相关概念； 会判别代数式、单项式、多项式以及整式； 掌握多项式的升幂和降幂排列。 知识点 01 代数式及书写规范 用运算符号“＋ － × ÷ …… ”连接数及表示数的字母的式子称为代数式.注意：用字母表示数 有一定的限制，首先字母所取得数应保证它所在的式子有意义，其次字母所取得数还应使实际生活或生产 有意义；单独一个数或一个字母也是代数式；用基本运算符号把数和字母连接而成的式子叫做代数式，如 n,-1,2n+500,abc。 代数式书写规范 （1）数与字母相乘，或字母与字母相乘中通常使用“· ” 乘，或省略不写； （2）数与数相乘，仍应使用“×”乘，不用“· ”乘，也不能省略乘号； （3）数与字母相乘时，一般在结果中把数写在字母前面，如 a×5 应写成 5a； （4）带分数与字母相乘时，要把带分数改成假分数形式，如 a× 1 1 3 应写成 a； 2 2 （5）在代数式中出现除法运算时，一般用分数线将被除式和除式联系，如 3÷a 写成 3 的形式； a （6）a 与 b 的差写作 a-b，要注意字母顺序；若只说两数的差，当分别设两数为 a、b 时，则应分类，写做 a-b 和 b-a . 出现除式时，用分数表示； (7)若运算结果为加减的式子，当后面有单位时，要用括号把整个式子括起来。 1．下列各式符合代数式书写规范的是（ A．m×6 ） B． C．x﹣7 元 D．2 xy2 【解答】解：A、不符合书写要求，应为 6m，故此选项不符合题意； B、 符合书写要求，故此选项符合题意； C、不符合书写要求，应为（x﹣7）元，故此选项不符合题意； xy2，故此选项不符合题意． D、不符合书写要求，应为 故选：B． 2．代数式 的意义是（ ） A．x 除以 y 加 3 B．y 加 3 除 x C．y 与 3 的和除以 x D．x 除以 y 与 3 的和所得的商 【解答】解： 的意义是 x 除以 y 与 3 的和所得的商． 故选：D． 3．举例说明代数式 8a3 的意义： 体积是 8a3 如一个正方体的棱长是 a，一个正方体的体积是 a3，那么 8 个正方体的 ． 【解答】解：如一个正方体的棱长是 a，一个正方体的体积是 a3，那么 8 个正方体的体积是 8a3． 故答案为：如一个正方体的棱长是 a，一个正方体的体积是 a3，那么 8 个正方体的体积是 8a3． 4．下列各式：ab•2，m÷2n， xy，1 a， 其中符合代数式书写规范的有 【解答】解：在 ab•2，m÷2n， xy，1 a， 2 个． 中，符合代数式书写规范的有 xy， ，共 2 个； 故答案为：2． 5．请你用实例解释下列代数式的意义． （1）﹣4+3； （2）3a； （3） （ ）3． 【解答】解：（1）﹣4+3 表示气温从﹣4℃，上升 3℃后的温度； （2）3a 表示一辆车以 akm/h 的速度行驶 3 小时的路程； （3）（ ）3 表示棱长为 的正方体的体积 知识点 02 单项式 定义：表示数与字母的乘积的代数式叫单项式。单独的一个数或一个字母也是代数式。 单项式的系数：单项式中的数字因数；单项式中不为零的数字因数，叫单项式的数字系数，简称单项式的 系数； 单项式的次数：一个单项式中，所有字母的指数和 6．下列代数式中，为单项式的是（ A． ） B．a D．x2+y2 C． 【解答】解：A、分母中含有字母，不是单项式； B、符合单项式的概念，是单项式； C、分母中含有字母，不是单项式； D、不符合单项式的概念，不是单项式． 故选：B． 7．单项式﹣xy2 的系数是（ A．﹣1 ） B．1 C．2 D．3 C．3 D．2 【解答】解：单项式﹣xy2 的系数是﹣1， 故选：A． 8．单项式 22xy2 的次数是（ A．5 ） B．4 【解答】解：单项式 22xy2 的次数是 1+2＝3． 故选：C． 9．单项式﹣ 的系数是 【解答】解：单项式﹣ ﹣ ，次数是 5 ． 的系数是﹣ ，次数是 5． 故答案为：﹣ ，5． 10．观察下列关于 x 的单项式：﹣x，4x2，﹣7x3，10x4，﹣13x5，16x6，…，按照上述规律，第 2021 个单 项式是 ﹣6061x2021 ． 【解答】解：∵一列关于 x 的单项式：﹣x，4x2，﹣7x3，10x4，﹣13x5，16x6……， ∴第 n 个单项式为：（﹣1）n•（3n﹣2）xn， ∴第 2021 个单项式是（﹣1）2021•（3×2021﹣2）x2021＝﹣6061x2021， 故答案为：﹣6061x2021． 11．已知 x2y|a|+（b+2）是关于 x、y 的五次单项式，求 a2﹣3ab 的值． 【解答】解：∵x2y|a|+（b+2）是关于 x，y 的五次单项式， ∴ ， 解得： ， 则当 a＝﹣3，b＝﹣2 时，a2﹣3ab＝9﹣18＝﹣9； 当 a＝3，b＝﹣2 时，a2﹣3ab＝9+18＝27． 知识点 03 多项式 几个单项式的和叫做多项式。每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项。 多项式里次数最高项的次数，叫做这个多项式的次数。常数项的次数为 0。 2 2 注意： （若 a、b、c、p、q 是常数）ax +bx+c 和 x +px+q 是常见的两个二次三项式 12．多项式 3m3+4m2n2﹣1 的次数是（ A．2 ） B．3 C．4 D．7 【解答】解：多项式 3m3+4m2n2﹣1 的次数是 4， 故选：C． 13．多项式 4x2﹣ A．3 ﹣ x+1 的三次项系数是（ B．﹣3 ） C．﹣ 【解答】解：多项式 4x2﹣ ﹣ x+1 的三次项是﹣ D．﹣ ，三次项系数是﹣ ． 故选：C． 14．多项式﹣5xy+xy2﹣1 是（ A．二次三项式 ） B．三次三项式 C．四次三项式 D．五次三项式 【解答】解：多项式﹣5xy+xy2﹣1 是三次三项式， 故选：B． 15．多项式 3a2﹣2a﹣7a3+4 是 三 次 四 项式． 【解答】解：∵多项式的次数是“多项式中次数最高的项的次数”， ∴多项式 3a2﹣2a﹣7a3+4 中次数最高的项是三次，由四个单项式组成， 故答案为：三；四． 16．已知整式（a﹣1）x3﹣2x﹣（a+3） ． （1）若它是关于 x 的一次式，求 a 的值并写出常数项； （2）若它是关于 x 的三次二项式，求 a 的值并写出最高次项． 【解答】解：（1）若它是关于 x 的一次式，则 a﹣1＝0， ∴a＝1，常数项为﹣（a+3）＝﹣4； （2）若它是关于 x 的三次二项式，则 a﹣1≠0，a≠1，a+3＝0， ∴a＝﹣3，所以最高次项为﹣4x3． 知识点 04 整式 单项式和多项式统称为整式，即凡不含有除法运算，或虽含有除法运算但除式中不含字母的代数式叫整式.  单项式 整式分类为： 整式   多项式 . 注意：分母上含有字母的不是整式 17．下列各式中不是整式的是（ A．3a ） B． C． D．0 【解答】解：A、3a 是单项式，是整式，故本选项不符合题意； B、 既不是单项式，又不是多项式，不是整式，故本选项符合题意； C、 是单项式，是整式，故本选项不符合题意； D、0 是单项式，是整式，故本选项不符合题意； 故选：B． 18．下列各式﹣ mn，m，8， ，x2+2x+6， A．3 个 B．4 个 ， ， 中，整式有（ C．6 个 【解答】解：整式有﹣ mn，m，8，x2+2x+6， ） D．7 个 ， ， 故选：C． 19．在①1﹣a；② ；③ ；④﹣ ；⑤ ；⑥（x+1）（x+2）＝0 中， ①②④ 是 整式．（填写序号） 【解答】解：①1﹣a；② ② ；④﹣ ；③ 是整式． ；④﹣ ；⑤ ；⑥（x+1）（x+2）＝0 中①1﹣a； 故答案为：①②④． 知识点 05 多项式的升幂和降幂排列 把一个多项式的各项按某个字母的指数从小到大（或从大到小）排列起来，叫做按这个字母的升幂排列（或 降幂排列）.注意：多项式计算的最后结果一般应该进行升幂（或降幂）排列. 20．把多项式 3xy2﹣2x2y+1﹣x3 按字母 x 的降幂排列为 ﹣x3﹣2x2y+3xy2+1 ． 【解答】解：多项式 3xy2﹣2x2y+1﹣x3 的各项为 3xy2，﹣2x2y，1，﹣x3， 按 x 的降幂排列为﹣x3﹣2x2y+3xy2+1． 故答案为：﹣x3﹣2x2y+3xy2+1． 21．把多项式 4x2y+3xy2﹣2y3+x3 按照 x 的降幂排列是： x3+4x2y+3xy2﹣2y3 ，按照 x 的升幂排列是： ﹣ 2y3+3xy2+4x2y+x3 ﹣2y3 ，按照 y 的降幂排列是： ﹣2y3+3xy2+4x2y+x3 ，按照 y 的升幂排列是： x3+4x2y+3xy2 ． 【解答】解：∵多项式 4x2y+3xy2﹣2y3+x3 包含四项，分别为 4x2y、3xy2、﹣2y3、x3， ∴该多项式按照 x 的降幂排列是 x3+4x2y+3xy2﹣2y3，按照 x 的升幂排列是﹣2y3+3xy2+4x2y+x3，按照 y 的 降幂排列是﹣2y3+3xy2+4x2y+x3，按照 y 的升幂排列是 x3+4x2y+3xy2﹣2y3． 故答案为：x3+4x2y+3xy2﹣2y3，﹣2y3+3xy2+4x2y+x3，﹣2y3+3xy2+4x2y+x3，x3+4x2y+3xy2﹣2y3． 22．把多项式 a3﹣b3﹣3a2b+3ab2 重新排列． （1）按 a 升幂排列； （2）按 a 降幂排列． 【解答】解：（1）多项式 a3﹣b3﹣3a2b+3ab2 按 a 的升幂排列是﹣b3+3ab2﹣3a2b+a3； （2）按 a 的降幂排列的是 a3﹣3a2b+3ab2﹣b3． 一．选择题 1．下列代数式符合规范书写要求的是（ A．﹣1x B．1 xy ） C．0.3÷x D．﹣ a 【解答】解：A、原书写错误，应该写成﹣x，故此选项不符合题意； B、原书写错误，应写成 xy，故此选项不符合题意； C、原书写错误，应写成 ，故此选项不符合题意； D、原书写正确，故此选项符合题意． 故选：D． 2．用代数式表示：a 与 3 差的 2 倍．下列表示正确的是（ A．2a﹣3 B．2a+3 ） C．2（a﹣3） D．2（a+3） 【解答】解：a